课时学案——参数φ,ω,A对函数图象的影响

课时学案——参数φ，ω，A对函数图象的影响

文美

【课前准备】 1．课时目标 〔1〕正确理解五点法求作函数y=sin〔*+φ〕、y=sinω*、y=Asin*的图象，理解参数φ，ω，A对函数y=Asin〔ω*+φ〕图象的影响；〔2〕理解函数的图象变换与函数解析式变化的在联系．

2．根底预探

〔1〕y=sin〔*+φ〕〔*∈R，φ≠0〕的图象，可以看作是把函数y＝sin*的图象上的所有点向________〔当φ>0〕或向________〔当φ<0〕平行移动________个单位长度而得到的．

〔2〕y=sinω*〔*∈R，ω>0，且ω≠1〕的图象，可以看作是把函数y＝sin*的图象上的所有点在纵坐标保持不变的情况下，横坐标________〔0<ω<1〕或________〔ω>1〕到原来的________倍而得到的．

〔3〕y=Asin*〔*∈R，A>0，且A≠1〕的图象，可以看作是把函数y＝sin*的图象上的所有点在横坐标保持不变的情况下，纵坐标________〔当A>1〕或________〔当0【知识训练】

π

1．将函数y＝sin*的图象向左平移φ〔0≤φ<2π〕个单位后，得到函数y＝sin〔*－〕

6的图象，则φ等于〔 〕

π5π7π11πA．B．C．D． 6666

2．函数y=3sin〔2*+〔 〕

A．向右平移C．向左平移

π〕的图象可以由函数y=3sin2*的图象经过以下的变换得到3

B．向右平移D．向左平移

π个单位长度 6π个单位长度 6π个单位长度 3π个单位长度 33．为了得到函数y=sin

1*的图象，只需将y=sin*的图象上每个点〔 〕 211倍D．纵坐标缩小到原来的倍 22A．横坐标扩大到原来的2倍 B．纵坐标扩大到原来的2倍 C．横坐标缩小到原来的

4．函数y=Asin〔*+φ〕与y=Acos〔*+φ〕在〔*0，*0+π〕上交点的个数为_______个．

5．设点P是函数f〔*〕＝cos〔ω*＋φ〕的图象C的一个对称中心，假设点P到图象

C的对称轴的距离的最小值为，则f〔*〕的最小正周期是________．

π4

1

.

π〕． 3〔1〕求它的振幅、周期、初相；

〔2〕用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象． 【学习引领】

正弦型函数y=Asin〔ω*+φ〕〔*∈R，A>0，ω>0〕是三角函数的重要容之一，其图象是研究函数性质的重要工具，而常数A、ω、φ都是决定其图象的重要因素．

1．A对y=Asin〔ω*+φ〕图象的影响

振幅的变化是由A的变化引起的．求解A常用的方法确定函数的最大值与最小值之间的关系．

2．ω对y=Asin〔ω*+φ〕图象的影响

周期的变化是由ω的变化引起的．求解ω常用的方法是观察函数的周期． 3．φ对y=Asin〔ω*+φ〕图象的影响

相位的变化是φ的变化引起的．求解φ常用的方法是〔1〕代点法：把图象中满足条件的点代入对称的三角函数解析式，结合题目的要求分析求解；〔2〕第一零点法：第一零点是距原点距离最近，且在单调递增区间上使f〔*〕=0的点，设*0为第一零点，则由ω*0+φ=0确定φ．

【典例导析】

题型一：函数图象与参数φ，ω，A值问题

例1．a是实数，则函数f〔*〕＝1＋asina*的图像不可能是〔 〕 ．

6．函数y=2sin〔2*+

思路导析：结合参数a的取值情况，综合各选项中对应的函数图象与周期的关系加以分析、判断与排除．

解析：当a=0时f〔*〕=1，选项C符合； 当0<|a|<1时T>2π，选项A符合； 当|a|>1时T<2π，选项B符合；

结合以上分析，可以排除选项A、B、C，应选择答案：D．

点评：在利用实际图象解决三角函数中的参数A，ω，φ的值时，往往要结合三角函数中参数A，ω，φ对y=Asin〔ω*+φ〕图象的影响来综合加以分析与判断．

变式练习1：函数y＝Asin〔ω*＋φ〕〔A，ω，φ为常数，A>0，ω>0〕在闭区间[－π，0]上的图象如下列图，则ω＝________．

题型二：简单的图象平移变换问题

例2．为了得到函数y=sin〔2*－A．向右平移C．向左平移

π〕的图象，可以将函数y=cos2*的图象〔 〕 6

B．向右平移

π个单位长度 6

π个单位长度 3ππ个单位长度 D．向左平移个单位长度 63思路导析：通过简单的三角函数诱导公式变换，把有关正弦函数的解析式转化为余弦函数的解析，再利用φ在平移中所起的作用加以分析与判断．

解析：∵y=sin〔2*－=

cos［2〔*－

πππ2π2π〕=cos［－〔2*－〕］=cos〔－2*〕=cos〔2*－〕62336π〕］， 31

.

π个单位长度，应选择答案：B． 3点评：参数A、ω、φ对y=Asin〔ω*+φ〕图象的影响：振幅的变化是由A的变化引起的，周期的变化是由ω的变化引起的，相位的变化是φ的变化引起的，正确理解其作用可以用于简单的图象平移变换．

∴将函数y=cos2*的图象向右平移

π个单位，得到函数____________的图象；再3把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数____________的图象．

题型三：图象与解析式确实定问题 例3．函数f〔*〕=Asin〔*+φ〕〔A>0，0<φ<π〕，*∈R的最大值是1，其图象经过点

变式练习2：把y=sin*的图象向左平移M〔

1，〕．求f〔*〕的解析式． 32思路导析：结合函数的最大值可以确定A的值，把图像经过点M的坐标代入相应的关系式，结合φ的取值确定φ的值，从而解得对应的解析式．

解析：依题意有A=1，则f〔*〕=sin〔*+φ〕，

115，〕代入得sin〔+φ〕=，而0<φ<π，则+φ=π，解得φ=，

2623233故f〔*〕=sin〔*+〕=cos*．

2将点M〔

点评：求解三角函数解析式最常用的方法是代点法：把满足条件的点代入对应的三角函数解析式，结合题目的要求分析求解出φ的值．也可以采用第一零点法：第一零点距原点距离最近，且在单调递增区间上使f〔*〕=0的点．设*0为第一零点，则由ω*0+φ=0确定φ．

变式练习3：假设函数f〔*〕=2sin〔ω*+φ〕，*R〔其中ω>0，|φ|<周期是π，且f〔0〕=3，则ω=________，φ=________．

【随堂练习】

1．要得到函数y=sin*的图象，只需将函数y=cos〔*－A．向右平移

〕的最小正2〕的图象〔 〕 3π个单位 B．向右平移个单位 63πC．向左平移个单位 D．向左平移个单位

632．如果函数f〔*〕=sin〔π*+θ〕〔0＜θ＜2π〕的最小正周期是T，且当*=2时取得最

大值，则〔 〕

A．T=2，θ=3．最大值为

ππ B．T=1，θ=πC．T=2，θ=πD．T=1，θ= 2212π，周期为，初相是的函数表达式可能是〔 〕 2361xπxπA．y=sin〔+〕 B．y=2sin〔－〕

236261π1πC．y=sin〔3*+〕 D．y=sin〔2*－〕

26261

.

4．将函数y=2sin

11*的图象上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的，得到新函22数的图象，则这个新函数的解析式是________．

5．函数f〔*〕=sin〔ω*－调减少，则ω=________．

6．函数 f〔*〕=－1+22sin〔2*+

44〕〔ω>0〕在〔0，〕单调增加，在〔，2π〕单

336〕，则f〔*〕能否通过平移变换，使得变换后的4函数g〔*〕的图象关于原点对称．如果能，写出其中的一个变换；如果不能，请说明理由．

【课后作业】

**

1．要得到函数y=cos〔－〕的图象，只需将y=sin图象〔 〕

242pp

A．向左平移B．向左平移C．向左平移D．向右平移

24242．把函数y=cos〔*+最小值是〔 〕

A．

4π〕的图象向左平移φ个单位，所得的函数为偶函数，则φ的3B．

4π 3

2π 3 C．

π 3 D．

5π 33．假设f〔*〕=2sinω*〔0<ω<1〕在区间［0，］上的最大值是2，则ω＝________． 4．函数f〔*〕=3sin〔ω*－

3π〕〔ω>0〕和g〔*〕=2cos〔2*+φ〕+1的图象的对称轴6p

完全一样．假设*∈[0，]，则f〔*〕的取值围是________．

2

5．函数y=2sin〔要使函数值

2k1π*－〕〔其中k∈N*〕，对任意实数a，在区间[a，a+3]上361出现的次数不少于4次且不多于8次，试求对应的正整数k的值． 2p36．函数f〔*〕=Asin〔ω*+φ〕〔A>0，ω>0，|φ|<〕的图象与y轴交于点〔0，〕，

22它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为〔*0，3〕，〔*0+2π，－3〕．

〔1〕求函数f〔*〕的解析式； 〔2〕用五点法作出函数在一个周期的图象，并说明它是由y=sin*的图象依次经过哪些变换而得到的. 答案：

【课前准备】 2．根底预探

〔1〕左，右，|φ|；〔2〕伸长，缩短，

1；〔3〕伸长，缩短，A； 1

.

【知识训练】

π11π

1．D；解析：由题意，得sin〔*＋φ〕＝sin〔*－〕，又0≤φ<2π，故φ＝；

662．C；解析：由于y=3sin〔2*+

πππ〕=3sin2〔*+〕，则可将y=3sin2*中的*换成*+，366π个单位长度而得到； 63．A；解析：横坐标在伸缩上的变换为“反变〞，伸缩倍数即为自变量*的系数； 4．1；解析：可以取A=1，φ=0加以特殊化，利用两函数的图象在半个周期的情况加以分析与判断；

5．π；解析：由图象特点可知，图象C的一个对称中心到其对称轴的最小值恰为其周即可由函数y=3sin2*的图象向左平移1

期的，所以T=π；

4

2πππ〕的振幅A=2，周期T==π，初相φ=； 332〔2〕列出下表，并描点画出对应的图象： 6．解析：〔1〕函数y=2sin〔2*+

2*+π 3* 0 π 2π －π 6π 122 y=2sin〔2*+【典例导析】 π〕 30 π 30 3π 27π 12－2 2π 5π 60 2π2π

变式练习1：3；解析：由图可知，T＝，∴ω＝＝3；

3T变式练习2：y=sin〔*+代*，得到函数y=sin〔*+

π1πππ〕，y=sin〔*+〕；解析：向左平移个单位，即以*+32333π1〕，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以*321π*+〕； 23代*，得到函数：y=sin〔

变式练习3：2，；解析：由T=

32=π，则ω=2，由〔f0〕=3，代入可得2sinφ=3，

解得sinφ=

3，而|φ|<，则φ=； 223【随堂练习】

〕= cos〔－*〕=sin[－〔－*〕]=sin〔*+〕，

2333故只需将函数y=cos〔*－〕的图象向右平移个单位；

361．A；解析：由于y=cos〔*－

1

.

2．A；解析：T=

2π=2，又当*=2时，sin〔π·2+θ〕=sin〔2π+θ〕=sinθ，要使上ππ； 2式取得最大值，可取θ=

3．C；解析：对于函数y=Asin〔ω*+φ〕，A=表达式为y=

221，φ=，=，即ω=3，则其231sin〔3*+〕； 21〔2*〕，即y=sin*； 214445．；解析：由题意可得f〔〕=sin〔ω－〕=1，则ω－=2kπ+，

2333662311k∈Z，解得ω=k+，k∈Z，又ω>0，令k=0得ω=；

2224．y=sin*；解析：用2*代替*，用2y代替y，得到2y=2sin

6．解析：要使f〔*〕通过平移变换，变换后的函数g〔*〕的图象关于原点对称，可以先将f〔*〕向右平移

个单位，得f1〔*〕=－1+22sin[2〔*－〕+]=－1+22sin2*， 884再将f1〔*〕向上平移1个单位，得g〔*〕=22sin2*，此时g〔*〕是奇函数，对应的图象关于原点对称，

所以，只要将f〔*〕的图象向右平移

个单位，再向上平移1个单位，变换后的函数8g〔*〕=22sin2*的图象关于原点对称．

【课后作业】

*p**1p

1．A；解析：由于y=cos〔－〕=sin[＋〔－〕]=sin〔＋〕=sin[〔*＋〕]，

242242422*p

故只需将y=sin图象向左平移即可得；

22

2．B；解析：把函数y=cos〔*+〔*+φ+

4π〕的图象向左平移φ个单位，所得的函数为y=cos34π〕，依次把各选项的答案代入加以分析与判断即可得； 323；解析：∵0<ω<1，∴T＝>2π，∴f〔*〕在［0，］区间上为单调递增函433数，∴f〔*〕ma*＝f〔〕，即2sin=2，又∵0<ω<1，∴解得ω＝；

3433．4．[－

p3ππ5π，3]；解析：由题意知ω=2，因为*∈[0，]，所以2 *－∈[－，]，

22666pπ3由三角函数图象知：f〔*〕的最小值为3sin〔－〕=－，最大值为3sin=3；

2621

.

2k112k11π*－〕=，得sin〔π*－〕=， 3234661因为函数y=sin*在每个周期出现函数值为的有2次，

45．解析：由2sin〔

又由于区间[a，a+3]的长度为3，为了使长度为3的区间出现不少于4次且不多于8次的

1，则必须使3不少于2个周期长度且同时不大于4个周期长度， 43722即2T≤3≤4T，则2×≤3≤4×，解得≤k≤，

2k12k12233又k∈N*，则对应的正整数k的值为2或3．

6．解析：〔1〕由题意可得A=3，

由在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为〔*0，3〕，〔*0+2π，－3〕，

T1= *0+2π－*0=2π，∴T=4π，从而ω=，

22331又图象与y轴交于点〔0，〕，∴=3sinφ，即sinφ=，

222得

pπ1π而|φ|<，∴φ=，故函数的解析式为f〔*〕=3sin〔*+〕；

2626〔2〕列表： 1π*+ 26* y 0 －π 2π  32 33 5 30 3π 28 3－3 2π 11 30 0 描点连线成图〔如下列图〕： ππ个单位，得到函数y=sin〔*+〕的图象；再将所得661π函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的两倍得到函数y=sin〔*+〕的图象；最

261π后将所得函数的图象横坐标不变，纵坐标伸长为原来的3倍得到函数y=3sin〔*+〕的

26将函数y=sin*的图象向左平移图象．

1