2019-2020学年山东省济南外国语学校七年级（下）期末数学试
卷
一．选择题（共12小题）
1．下列手机软件图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ） A．a2•a3＝a6
B．3a﹣a＝3
C．（b3）2＝b9
D．x6÷x2＝x4
3．将数据0.0000025用科学记数法表示为（ ） A．25×107
﹣
B．0.25×108
﹣C．2.5×107
﹣D．2.5×106
﹣
4．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形网格构成．向游戏板随机投中一枚飞镖，击中黑色区域的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，为估计荔香公园小池塘岸边A、B两点之间的距离，小明在小池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15m，OB＝10m，则A、B间的距离可能是（ ）
A．5m
B．15m
C．25m
D．30m
6．如图，下列条件中，能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠BAC＝∠ACD B．∠1＝∠2
C．∠3＝∠4 1 / 24
D．∠BAD＝∠BCD
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
7．如图，已知∠1＝∠2，添加一个条件，使得△ABC≌△ADC，下列条件添加错误的是（ ）
A．∠B＝∠D
B．BC＝DC
C．AB＝AD
D．∠3＝∠4
8．如图，AE⊥AB，BD⊥AB，C为线段AB上一点，满足CE⊥CD，CE＝CD，若AE＝4，BD＝3，则AB的长为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．12
9．已知a+b＝7，a﹣b＝8，则a2﹣b2的值是（ ） A．11
B．15
C．56
D．60
10．如图，长方形ABCD中∠DAC＝68°，请依据尺规作图的痕迹，求出∠α等于（ ）
A．34°
B．44°
C．56°
D．68°
11．星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60min后回家，图中的折线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离s（km）与行走时间t（min）之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是（ ）
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
A． B．
C． D．
12．如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°，其中正确的结论有（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题（共6小题）
13．计算：（3xy+y2）÷y＝ ．
14．在“success”中，任选一个字母，这个字母为“s”的概率为 ． 15．如果x2﹣6x+m是一个完全平方式，那么m的值为 ；
16．如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠ABC＝40°，则∠BCD的度数是 ．
17．小明爸爸开车带小明去福州游玩，一路上匀速前行，小明记下了如下数据，从9点开始，记汽车行驶的时间为（小时）t，汽车离福州的距离为（skm），则s关于t的关系式为 ． 观察时刻
9：00
9：30
10：00
（注：“福州120km”表示该路牌
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
路牌内容 福州120km 福州80km 福州40km 所在位置离福州的距离为120km） 18．如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝50°，则∠DFE＝ ．
三．解答题 19.计算
（1）（2x5）2﹣（﹣3x3）•2x7
（2）（﹣1）2019+（﹣）2+（3.14﹣π）0
﹣
20.先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a＝﹣6，b＝ 21.如图，已知AD∥BE，∠A＝∠E，求证：∠1＝∠2．
22.如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF． （1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠A＝60°，∠B＝80°，求∠F的度数．
23.如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，四边形ABCD的顶点与点E都是格
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点．
（1）作四边形ABCD关于直线MN对称的四边形A'B'C'D；
（2）若在直线MN上有一点P使得PA+PE最小，请求出此时的PD＝ ．
24.已如一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球． （1）求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？
（2）若往口袋中再放入2个白球，求从口袋中随机收出一个白球的概率是多少？ 25.小凡与小光从学校出发到距学校5千米的图书馆看书，途中小凡从路边超市买了一些学习用品，如图反应了他们俩人离开学校的路程s（千米）与时间t（分钟）的关系，请根据图象提供的信息回答问题：
（1）l1和l2中， 描述小凡的运动过程； （2） 谁先出发，先出发了 分钟； （3） 先到达图书馆，先到了 分钟；
（4）当t＝ 分钟时，小凡与小光在去图书馆的路上相遇；
（5）小凡与小光从学校到图书馆的平均速度各是多少千米/小时？（不包括中间停留的时间）
26.【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．
【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程； 【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．
27.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ACE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）当D在线段BC上时， ①求证：△BAD≌△CAE．
②请判断点D在何处时，AC⊥DE，并说明理由．
（2）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为28°，求∠ADB的度数．
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2019-2020学年山东省济南外国语学校七年级（下）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列手机软件图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误； B、不是轴对称图形，故错误； C、是轴对称图形，故正确； D、不是轴对称图形，故错误． 故选：C．
2．下列运算正确的是（ ） A．a2•a3＝a6
B．3a﹣a＝3
C．（b3）2＝b9
D．x6÷x2＝x4
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则和合并同类项法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误； B、3a﹣a＝2a，故此选项错误； C、（b3）2＝b6，故此选项错误； D、x6÷x2＝x4，正确． 故选：D．
3．将数据0.0000025用科学记数法表示为（ ） A．25×107
﹣
B．0.25×108
﹣C．2.5×107
﹣D．2.5×106
﹣﹣
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
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【解答】解：0.0000025＝2.5×106．
﹣
故选：D．
4．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形网格构成．向游戏板随机投中一枚飞镖，击中黑色区域的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】击中黑色区域的概率等于黑色区域面积与正方形总面积之比． 【解答】解：随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是故选：B．
5．如图，为估计荔香公园小池塘岸边A、B两点之间的距离，小明在小池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15m，OB＝10m，则A、B间的距离可能是（ ）
＝，
A．5m
B．15m
C．25m D．30m
【分析】根据三角形的三边关系定理得到5＜AB＜25，根据AB的范围判断即可． 【解答】解：连接AB，根据三角形的三边关系定理得： 15﹣10＜AB＜15+10， 即：5＜AB＜25，
则AB的值在5和25之间． 故选：B．
6．如图，下列条件中，能判断AB∥CD的是（ ）
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
A．∠BAC＝∠ACD B．∠1＝∠2
C．∠3＝∠4
D．∠BAD＝∠BCD
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行判断即可．
【解答】解：A、根据∠BAC＝∠ACD，可得AB∥CD，符合题意； B、根据∠1＝∠2，可得AD∥BC，不符合题意； C、根据∠3＝∠4，可得AD∥BC，不符合题意；
D、根据∠BAD＝∠BCD，不能判断AB∥CD，不符合题意． 故选：A．
7．如图，已知∠1＝∠2，添加一个条件，使得△ABC≌△ADC，下列条件添加错误的是（
A．∠B＝∠D
B．BC＝DC
C．AB＝AD
D．∠3＝∠4
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：A、∵在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC（AAS），故本选项不符合题意；
B、BC＝DC，AC＝AC，∠1＝∠2不能推△ABC∽△ADC，故本选项符合题意； C、∵在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC（SAS），故本选项不符合题意； D、∵在△ABC和△ADC中
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）
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
∴△ABC≌△ADC（ASA），故本选项不符合题意； 故选：B．
8．如图，AE⊥AB，BD⊥AB，C为线段AB上一点，满足CE⊥CD，CE＝CD，若AE＝4，BD＝3，则AB的长为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．12
【分析】由“AAS”可证△AEC≌△BCD，可得AC＝BD＝3，BC＝AE＝4，即可求解． 【解答】解：∵CE⊥CD，AE⊥AB，
∴∠AEC+∠ACE＝90°，∠ACE+∠DCB＝90°， ∴∠AEC＝∠DCB，且CE＝CD，∠EAC＝∠DCB＝90°， ∴△AEC≌△BCD（AAS）， ∴AC＝BD＝3，BC＝AE＝4， ∴AB＝AC+BC＝7， 故选：A．
9．已知a+b＝7，a﹣b＝8，则a2﹣b2的值是（ ） A．11
B．15
C．56
D．60
【分析】根据平方差公式将a2﹣b2分解为（a+b）（a﹣b），代入数据后即可得出结论． 【解答】解：∵a+b＝7，a﹣b＝8， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝7×8＝56． 故选：C．
10．如图，长方形ABCD中∠DAC＝68°，请依据尺规作图的痕迹，求出∠α等于（ ）
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
A．34°
B．44°
C．56°
D．68°
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理解决问题即可．
【解答】解：如图，由作图可知，EF垂直平分线段AC，AE平分∠DAC， ∴∠AOE＝90°，∠EAC＝∠DAC＝34°， ∴α＝∠AEO＝90°﹣34°＝56°， 故选：C．
11．星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60min后回家，图中的折线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离s（km）与行走时间t（min）之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是（ ）
A． B．
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
C． D．
【分析】根据给定s关于t的函数图象，分析AB段可得出该段时间蕊蕊妈妈绕以家为圆心的圆弧进行运动，由此即可得出结论． 【解答】解：观察s关于t的函数图象，发现：
在图象AB段，该时间段蕊蕊妈妈离家的距离相等，即绕以家为圆心的圆弧进行运动， ∴可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是B． 故选：B．
12．如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°，其中正确的结论有（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】由已知条件可知∠ABC+∠ACB＝90°，又因为CD、BE分别是△ABC的角平分线，所以得到∠FBC+∠FCB＝45°，所以求出∠CFB＝135°；有平行线的性质可得到：∠ABG＝∠ACB，∠BAG＝2∠ABF．所以可知选项①③④正确． 【解答】解：∵AB⊥AC． ∴∠BAC＝90°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°
∵CD、BE分别是△ABC的角平分线， ∴2∠FBC+2∠FCB＝90° ∴∠FBC+∠FCB＝45° ∴∠BFC＝135°故④正确． ∵AG∥BC， ∴∠BAG＝∠ABC ∵∠ABC＝2∠ABF
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∴∠BAG＝2∠ABF 故①正确． ∵AB⊥AC，
∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∵AG⊥BG，
∴∠ABG+∠GAB＝90° ∵∠BAG＝∠ABC，
∴∠ABG＝∠ACB 故③正确． 故选：C．
二．填空题（共6小题）
13．计算：（3xy+y2）÷y＝ 3x+y ．
【分析】利用多项式除以单项式的法则计算即可求出值． 【解答】解：（3xy+y2）÷y＝3x+y， 故答案为：3x+y．
14．在“success”中，任选一个字母，这个字母为“s”的概率为
．
【分析】任选一个字母，共有7种等可能结果，其中所选字母是“s”的有3种结果，再利用概率公式求解可得．
【解答】解：单词“success”一共7个字母，任选一个字母，共有7种等可能结果，其中所选字母是“s”的有3种结果，
∴任选一个字母，这个字母为“s”的概率为， 故答案为：．
15．如果x2﹣6x+m是一个完全平方式，那么m的值为 9 ； 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【解答】解：∵x2﹣6x+m是一个完全平方式， ∴m＝9． 故答案为：9．
16．如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠ABC＝40°，则∠BCD的度数是 130° ．
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
【分析】过C作HK∥AB．利用平行线的性质得出∠B＝∠BCK，∠KCD＝90°，进而得出答案．
【解答】解：如图，过C作HK∥AB． ∴∠BCK＝∠ABC＝40°． ∵CD⊥EF， ∴∠CDF＝90°． ∵HK∥AB∥EF． ∴∠KCD＝90°．
∴∠BCD＝∠BCK+∠KCD＝130°． 故选答案为：130°．
17．小明爸爸开车带小明去福州游玩，一路上匀速前行，小明记下了如下数据，从9点开始，记汽车行驶的时间为t（小时），汽车离福州的距离为s（km），则s关于t的关系式为 s＝120﹣80t ． 观察时刻
9：00
9：30
10：00
（注：“福州120km”表示该路牌
路牌内容 福州120km 福州80km 福州40km 所在位置离福州的距离为120km） 【分析】由表格得出每小时行驶80km，用开始时离福州的距离减去行驶的距离即可得． 【解答】解：由表格可知，每半小时行驶40km， ∴每小时行驶80km， 则s＝120﹣80t， 故答案为：s＝120﹣80t．
18．如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
＝AB，∠AFB＝50°，则∠DFE＝ 40° ．
【分析】连接AE、BD，证△DAB≌△BCF，得出BD＝BF，根据等腰三角形的性质推出∠BDF＝∠BFD，求出∠AFE＝∠BFD＝45°即可求出答案． 【解答】解：连接BD、AE，
∵DA⊥AB，FC⊥AB， ∴∠DAB＝∠BCF＝90°， 在△DAB和△BCF中，
，
∴△DAB≌△BCF（SAS）， ∴BD＝BF，∠ADB＝∠ABF， ∴∠BDF＝∠BFD， ∵∠DAB＝90°， ∴∠ADB+∠DBA＝90°，
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
∴∠DBF＝∠ABD+∠ABF＝90°， ∴∠BFD＝∠BDF＝45°， 同理∠AFE＝45°，
∴∠DFE＝45°+45°﹣50°＝40°， 故答案为：40°． 三．解答题 19.计算
（1）（2x5）2﹣（﹣3x3）•2x7
（2）（﹣1）2019+（﹣）2+（3.14﹣π）0
﹣
【考点】2C：实数的运算；47：幂的乘方与积的乘方；49：单项式乘单项式；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
【专题】511：实数；61：数感；66：运算能力；69：应用意识．
【分析】（1）根据积的乘方、幂的乘方和整式的加减的计算法则进行计算即可； （2）利用负整数指数幂、零次幂的意义进行计算即可． 【解答】解：（1）（2x5）2﹣（﹣3x3）•2x7， ＝4x10+6x10， ＝10x10；
（2）（﹣1）2019+（﹣）2+（3.14﹣π）0，
﹣
＝﹣1+4+1， ＝4；
20.先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a＝﹣6，b＝ 【考点】4J：整式的混合运算—化简求值． 【专题】11：计算题；512：整式．
【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2+8b2＝4ab， 当a＝﹣6，b＝时，原式＝﹣8．
21.如图，已知AD∥BE，∠A＝∠E，求证：∠1＝∠2．
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
【考点】JB：平行线的判定与性质． 【专题】14：证明题．
【分析】由AD与BE平行，利用两直线平行同位角相等得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到DE与AC平行，利用两直线平行内错角相等即可得证． 【解答】证明：∵AD∥BE， ∴∠A＝∠3， ∵∠A＝∠E， ∴∠3＝∠E， ∴DE∥AB， ∴∠1＝∠2．
22.如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF． （1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠A＝60°，∠B＝80°，求∠F的度数．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】11：计算题；14：证明题；553：图形的全等；66：运算能力；67：推理能力． 【分析】（1）求出AC＝DF，根据SSS推出△ABC≌△DEF．
（2）由（1）中全等三角形的性质得到：∠A＝∠EDF，进而得出结论即可． 【解答】证明：（1）∵AC＝AD+DC，DF＝DC+CF，且AD＝CF， ∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
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，
∴△ABC≌△DEF（SSS）． （2）由（1）可知，∠F＝∠ACB， ∵∠A＝60°，∠B＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（60°+80°）＝40°， ∴∠F＝∠ACB＝40°．
23.如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，四边形ABCD的顶点与点E都是格点．
（1）作四边形ABCD关于直线MN对称的四边形A'B'C'D；
（2）若在直线MN上有一点P使得PA+PE最小，请求出此时的PD＝ 3 ．
【考点】KQ：勾股定理；P7：作图﹣轴对称变换；PA：轴对称﹣最短路线问题． 【专题】558：平移、旋转与对称；64：几何直观．
【分析】（1）利用网格特点画出A、B、C关于直线MN的对称点A′、B′、C′即可； （2）连接EA′交MN于P点，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件，从而得到PD的长．
【解答】解：（1）如图，四边形A'B'C'D为所作；
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（2）如图，点P为所作；此时PD＝3． 故答案为3．
24.已如一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球． （1）求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？
（2）若往口袋中再放入2个白球，求从口袋中随机收出一个白球的概率是多少？ 【考点】X4：概率公式．
【专题】543：概率及其应用；65：数据分析观念．
【分析】（1）直接利用概率公式直接得出取出一个黑球的概率； （2）用白球的总个数除以所有球的总数即可求得答案．
【解答】解：（1）∵一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球， ∴从中随机抽取出一个黑球的概率是：；
（2）∵往口袋中再放入2个白球， ∴共有9个球，其中白球有5个，
∴往口袋中再放入2个白球，从口袋中随机收出一个白球的概率是．
25.小凡与小光从学校出发到距学校5千米的图书馆看书，途中小凡从路边超市买了一些学习用品，如图反应了他们俩人离开学校的路程s（千米）与时间t（分钟）的关系，请根据图象提供的信息回答问题：
（1）l1和l2中， l1 描述小凡的运动过程； （2） 小凡 谁先出发，先出发了 10 分钟；
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（3） 小光 先到达图书馆，先到了 10 分钟；
（4）当t＝ 34 分钟时，小凡与小光在去图书馆的路上相遇；
（5）小凡与小光从学校到图书馆的平均速度各是多少千米/小时？（不包括中间停留的时间）
【考点】E6：函数的图象． 【专题】53：函数及其图象．
【分析】（1）根据函数图象和题意可以解答本题； （2）根据函数图象中的数据可以解答本题； （3）根据函数图象中的数据可以解答本题； （4）根据函数图象中的数据可以解答本题；
（5）根据函数图象中的数据可以分别求得小凡与小光从学校到图书馆的平均速度． 【解答】解：（1）由图可得， l1和l2中，l1描述小凡的运动过程， 故答案为：l1； （2）由图可得，
小凡先出发，先出发了10分钟， 故答案为：小凡，10； （3）由图可得，
小光先到达图书馆，先到了60﹣50＝10（分钟）， 故答案为：小光，10；
（4）小光的速度为：5÷（50﹣10）＝千米/分钟，
小光所走的路程为3千米时，用的时间为：3÷＝24（分钟）， ∴当t＝10+24＝34（分钟）时，小凡与小光在去学校的路上相遇， 故答案为：34；
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（5）小凡的速度为：＝10（千米/小时），
小光的速度为：＝7.5（千米/小时），
即小凡与小光从学校到图书馆的平均速度分别为10千米/小时、7.5千米/小时． 26.【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．
【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程； 【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．
【考点】KY：三角形综合题．
【专题】152：几何综合题；551：线段、角、相交线与平行线；553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形；67：推理能力． 【分析】【探究发现】
（1）由等腰直角三角形的性质可得∠CAB＝∠CBA＝45°，由平行线的性质可得∠CBA＝∠DCB＝45°，即可证DB＝DP； 【数学思考】
（2）通过证明△CDP≌△GDB，可得DP＝DB． 【解答】【探究发现】
证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC ∴∠CAB＝∠CBA＝45° ∵CD∥AB
∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD ∴∠DCB＝∠DBC＝45°
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∴DB＝DC 即DP＝DB； 【数学思考】
证明：（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45° ∴∠DCG＝∠DGC＝45°
∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°， ∵∠BDP＝∠CDG＝90° ∴∠CDP＝∠BDG ，在△CDP和△GDB中，∴△CDP≌△GDB（ASA） ∴DP＝DB．
27.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ACE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）当D在线段BC上时， ①求证：△BAD≌△CAE．
②请判断点D在何处时，AC⊥DE，并说明理由．
（2）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为28°，求∠ADB的度数．
，
【考点】KY：三角形综合题．
【专题】15：综合题；553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形；66：运算能力；67：推理能力；69：应用意识． 【分析】（1）①根据SAS即可证明；
②D运动到BC中点（H点）时，AC⊥DE；利用等腰三角形的三线合一即可证明； （2）分D在线段BC上、当点D在CB的延长线上、点D在BC的延长线上，画出四种图形，如图，根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解答】（1）①证明：∵∠DAE＝∠BAC，
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∴∠DAB＝∠EAC， 在△ABD和△ACE中， ∵
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）． ②当AC⊥DE时， ∵AC平分∠DAE，
∴∠DAB＝∠CAE＝∠CAD， ∴AD平分∠CAB， ∴BD＝CD，
∴当点D在BC中点时，或AD⊥BC时，AC⊥DE；
（2）解：当CE∥AB时，则有∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ①如图1：此时∠BAD＝28°，
∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣28°﹣60°＝92°． ②如图2，此时∠ADB＝28°，
③如图3，此时∠BAD＝28°，∠ADB＝60°﹣28°＝32°．
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④如图4，此时∠ADB＝28°．
综上所述，满足条件的∠ADB的度数为28°或32°或92°．
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