北师大版高中数学必修2教案备课直线的倾斜角和斜率

§1 直线与直线的方程 1．1 直线的倾斜角和斜率

学 习 目 标 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点) 2．掌握过两点的直线斜率的计算公式．(重点) 核 心 素 养 1.通过直线的倾斜角和斜率的概念培养数学抽象素养． 2．通过学习过两点的直线的斜率公式的应用培养数学运算素养.

1．直线的确定及直线的倾斜角

(1)直线的确定：在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向．

(2)直线的倾斜角：①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，通常用α表示．

②范围：0°≤α<180°.

思考1：若一条直线的倾斜角为0°时，此直线与x轴什么关系？ 提示：平行或重合． 2．直线的斜率 (1)直线的斜率：

，tan α，α≠90°

直线倾斜角α的正切值叫作直线的斜率，即k＝

.不存在，α＝90°(2)经过两点的直线斜率的计算公式：

y2－y1经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. x2－x1

(3)斜率与倾斜角的关系： 图示 倾斜角 (范围) 斜率 (范围) 思考2：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？

提示：不是．若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为90°.

思考3：在同一直线(与x轴不重合)上任意取不同的两点的坐标计算的斜率都相等吗？

提示：相等．对于一条直线来说其斜率是一个定值，与所选择点的位置无关，所以取任意不同的两点的坐标计算同一条直线的斜率一定相等．

1．若直线l的倾斜角为60°，则该直线的斜率为________． 3 [k＝tan 60°＝3.]

2．经过两点A(3,2)，B(4,7)的直线的斜率是________． 5 [k＝

y2－y17－2

＝＝5.] x2－x14－3

α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α ＜180° k＜0 k＝0 k＞0 不存在 3．经过两点P(1，－4)，Q(－1，－4)的直线的倾斜角是________． y2－y1－4＋4

0° [k＝tan α＝＝＝0，∴α＝0°.]

x2－x1－1－1

α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )

A．α

B．180°－α

直线的倾斜角 【例1】 一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向的夹角为

C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α

D [如图，当直线l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当直线l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.

]

求直线的倾斜角的方法及两点注意：

1方法：结合图形，构造含倾斜角的特殊三角形求解.

2两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；

②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [跟进训练]

1．设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线l1，有下列四个选项：①α＋45°；②α＋135°；③α－45°；④135°－α，则直线l1的倾斜角可能的取值是( )

A．①② C．③④

B．②③ D．①④

B [当α≥45°时，直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线l1的倾斜角为α－45°；当0°≤α<45°时，直线l1的倾斜角为180°－(45°－α)＝135°＋α，故选B.]

求直线的斜率 【例2】 (1)已知点A(4，－5)，B(2，－3)，则直线AB的斜率kAB＝________； (2)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________． [思路探究] 利用直线的斜率公式求解． (1)－1 (2)0 [(1)kAB＝

－3－－52

＝＝－1.

2－4－2

(2)当m＝3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在． 当m≠3时，k＝

－2－13＝－＝1，解得m＝0.] m－3m－3

1．熟记斜率公式是解答本题的关键．

2．求直线的斜率有两种思路：一是公式，二是定义．当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在．

[跟进训练]

2．已知直线l经过两点P1(2,1)和P2(m,2)(m∈R)． (1)求直线l的斜率；

(2)若直线l的倾斜角α为45°，求m的值．

[解] (1)当m＝2时，x1＝x2＝2，∴直线l垂直x轴，故直线l的斜率不存在． 2－11当m≠2时，直线l的斜率k＝＝.

m－2m－2(2)∵α＝45°，∴k＝tan α＝1， ∴

1

＝1，即m－2＝1，∴m＝3. m－2

[探究问题] 1．若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，k)在同一条直线上，求k的值． 提示：∵A，B，C在同一条直线上，∴kAB＝kBC， ∴

3－－3k－3

＝，解得k＝6. 4－25－4

斜率的应用 2．已知点A(－1，－3)，B(0，－1)，C(4,7)，试判断这三点是否共线？ 提示：∵kAB＝∴kAB＝kAC.

∴直线AB与AC重合，∴点A，B，C共线．

【例3】 已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1)． (1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；

(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围． [思路探究] (1)解题时可利用斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2)可采用数形结合法来解．

－1－－37－－3

＝2，kAC＝＝2，

0－－14－－1

[解] (1)由斜率公式得

1－13＋1－1

kAB＝＝0，kBC＝＝3，

1－－12－1kAC＝

3＋1－13

＝3.

2－－1

∵tan 0°＝0，∴AB的倾斜角为0°； tan 60°＝3，∴BC的倾斜角为60°； 3tan 30°＝3，∴AC的倾斜角为30°.

(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值3范围是，3.

3

1．将本例(2)中条件改为“若点D为BC边上的一动点”，其它条件不变，试求直线AD斜率k的变化范围． [解] 依题意直线AD与BC始终有交点， 33所以kAB≤kAD≤kAC，所以0≤kAD≤3，所以直线AD斜率的范围为0，. 32．将本例(2)中条件改为“若点D为AC边上的一动点”，其它条件不变，试求直线BD斜率k的变化范围． [解] 依题意，直线BD始终与AC有交点， 所以应有kBD≥kBC或kBD≤kAB， 所以kBD≥3或kBD≤0. 所以直线BD斜率的变化范围为(－∞，0]∪(3，＋∞)．

1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．

2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在．

3.

y2－y1

的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题． x2－x1

1．求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围．

2．求直线斜率时，一定要根据题目条件对斜率是否存在做出判断，以免漏解． 3．当直线的倾斜角α∈[0°，90°)时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(90°，180°)时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大．

1．思考辨析

(1)任何一条直线都有斜率．

( ) ( ) ( )

(2)斜率相等的两直线倾斜角相等．

(3)直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大． [答案] (1)× (2)√ (3)×

2．若经过P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率为1，则m等于( ) A．1 C．1或3

A [由题意，得kPQ＝

B．4 D．1或4

4－m

＝1，解得m＝1.] m＋2

3．在平面直角坐标系中，直线AB的位置如图所示，则直线AB的倾斜角为________，斜率为________．

3

30° 3 [根据倾斜角定义可知直线AB的倾斜角为30°， 3∴k＝tan 30°＝3.]

4．如图，四边形OABC为等腰梯形，其中上底长为1，下底长为3，高为1，

求梯形各边所在直线的倾斜角和斜率．

[解] 如图，分别过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为D和E，

则有OE＝ED＝DA＝1，CE＝BD＝1，所以C(1,1)，B(2,1)，A(3,0)，所以kOC1

＝1＝1，kOA＝kBC＝0，所以OA，BC，CO三边所在直线的倾斜角分别为0°，0°，45°.又OC与AB倾斜角互补，则直线AB的倾斜角为180°－45°＝135°，直线AB的斜率kAB＝tan 135°＝－1.