中考数学“图形变换”知识点与中考典型例题

【知识点与典型例题】

（一）平移（3~5分）（共2题） 1、定义

把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的 完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。

2、 关键：平移不改变图形的 和 ，也不会改变图形的方向． 3、平移性质： （1）对应线段、对应角分别 ，

（2）•对应点所连的线段 （或共线且相等）．

例1、（2011青岛）如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若 BC＝32，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1＝ ．

练习：（2011聊城）如图，矩形OABC的顶点O是坐标原点，边OA在

x轴上，边OC在y轴上．若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似，

1

且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的，则点B1的坐标是

4

A．(3，2) B．(－2，－3)

C．(2，3)或(－2，－3) D．(3，2)或(－3，－2)

（二）、旋转（3~8分）（共4题）

1、定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，•这样的图形运动称为旋转． 2、关键：旋转不改变图形的 和 ，但改变图形的 ． 3、性质： （1）对应点到旋转中心的 。

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 。

例题2（2011淄博）36.（淄博3分）一副三角板按图1所示的位置摆放.将△DEF绕点A（F）逆时针旋转60°后（图2），测得CG=10cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为 A． 75cm2

B． (25253)cm2

(25C．

253)3cm2

(25D．

503)3cm2

例题3、（2011威海）我们学习过：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这

样的图形运动叫做旋转，这个定点称为旋转中心。

⑴如图①，△ABC≌△DEF。△DEF能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画

1

出旋转中心，若不能，试简要说明理由；

⑵如图②，△ABC≌△MNK。△MNK能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规 画出旋转中心，若不能，试简要说明理由。

D N （保留必要的作图痕迹）

K

F

A B E A B M

C C

图① 图②

练习1、（2011滨州）如图．在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4cm，将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A'B'C的位置，且A、C、B'三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为

A、43cm

16cm8cmB、8cm C、3 8cmD、3

练习2、（2011聊城）2.（聊城8分）将两块大小相同的含30º角的直

角三角板(∠BAC＝∠BA1C＝30º)按图1的方式放 置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直 角顶点C顺时针方向旋转(旋转角小于90º)至图2 所示的位置，AB与A1C交于点E，AC与A1B交 于点F，AB与A1B1交于点O． (1)求证：△BCE≌△B1CF； (2)当旋转角等于30º时，AB与A1B1垂直吗？请说明理由．

（三）、轴对称（3~5分）（共6题）

1、定义

把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。

2、性质

（1）关于某条直线对称的两个图形是 。

（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的 。

（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在 上。 3、判定

2

如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 4、轴对称图形 把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称 图形，这条直线就是它的对称轴。 （四）、中心对称（3分） 1、定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 2、性质 （1）关于中心对称的两个图形是 。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过 ，并且被对称中心 。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段 。 3、判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4、中心对称图形 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 5、特殊图形的对称性 平行四边形 轴对称图形 中心对称图形 矩形 菱形 正方形 正五边形 正六边形 等边三角形 等腰梯形 直角梯形 角 线段 圆 例题4、（2011烟台）通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形.

练习1、（2011泰安）下列图形：

其中是中心对称图形的个数为 A、1 B、2 C、3 D、4 练习2、（2011枣庄）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

（五）、坐标系中对称点的特征（3分）（规律：关于谁对称谁不变）

1、关于原点对称的点的特征

两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）

3

2、关于x轴对称的点的特征

两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y） 3、关于y轴对称的点的特征

两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y） （六）、视图与投影（3分）（共13题） 1、试图

①主视图 从正面看到的图 ②左视图 从左面看到的图 ③俯视图 从上面看到的图 注：长对正,高平齐,宽相等. 2、虚实

在画图时,看的见部分的轮廓通常画成 ,看不见部分的轮廓线通常画成 . 例题5、（2011威海）如图是由一些大小相同的小立方体组成的几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小立方体的个数不可能是 A．3 B．4 C．5 D．6

例题6、（2011东营）如图，观察由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图①中：共有1个小立方体．其中1个看得见，0个看不见；如图②中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不 见；如图③中：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不

见；……，则第⑥个图中．看得见的小立方体有 个。

练习1、（2011东营）一个几何体的三视图如图所示．那么这个几何体是

练习2、（2011莱芜）如图所示是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是 A、3 B、4 C、5 D、6

练习3、（2011聊城）如图，空心圆柱的左视图是

4

练习4、（2011菏泽）如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的 数字之和的最小值的是

练习5、（2011日照）如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，

小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为 ( )

练习6、（2011济宁）如图，是某几何体的三视图及相关数据， 则下面判断正确的是

A. a>c B. b>c C. a+4b2=c 2 D. a2+b2=c 2

(七)拼图问题（共3题） 例题7、（2011滨州）如图，在一张△ABC纸片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为 A、1 B、2 C、3 D、4

练习1、（2011枣庄）如图，这是一个正面为黑、反面为白的未拼完的拼木盘，给出

如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘使其颜色一致．那么应该选择的拼木是

练习2、（2011枣庄）如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长 为3，则另一边长是 A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D．2m+6

（八）图形变化规律类（共6题） 例题8、（2011德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），…，则第n个图形的周长是

5

A、2n B、4n C、2n+1 D、2n+2

例题9、（2011临沂）如图，上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形．则在第10个这样的图形中共有 个等腰梯形．

例题10、（2011山东烟台） 如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7……叫做“正

K，K，KK，KK，KK，KK，……的圆心依次按点A，B，C，六边形的渐开线”，其中FK12123344556D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，…….当AB＝1时，l2 011等于（ ）

A.20112201132011420116 B. C. D.

K5 K6 K4 D E F C B A K1 K3 K2 K7

练习1、（2011聊城）如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数为 A．5n B．5n－1 C．6n－1 D．2n2＋1

练习2、（2011青岛）如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积Sn＝ ．

6

（九）网格格点问题（共1题）

例题11、（2011枣庄）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）画线段AD∥BC且使AD =BC，连接CD；

（2）线段AC的长为 ，CD的长为 ，AD的长为 ； （3）△ACD为 三角形，四边形ABCD的面积为 ； （4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是 ．

练习1、（勾股定理）如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可

A

C

得△ABC，则AC 边上的高是（ ）．

A、

32 2 B、35 10 C、35 5 D、45 5B

yB练习2、（分类讨论）已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为( )

OCxAA．3个； B．4个； C．5个； D．6个

（十）图形翻折类（共6题）

翻折问题的解决方法：抓住翻折后与翻折的图形是以折痕为轴的轴对称图形这一关键，找出翻折前后的相等的线段、相等的角，利用代数方程方法均可解决。 例题12、（2011泰安）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为

A、23

33B、2 C、3

D、6

例题13、（2011莱芜）已知：矩形纸片ABCD，AB＝2，BC＝3。 操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上。 探究：（1）如图①，若点B与A重合，你认为△EDA′和△FDC全等吗？如果全等给出证明，如果不全等请说明理由；

（2）如图②，若点B与CD中点重合，求△FCB′与△B′DG的周长之比。

7

练习1、（2011菏泽）如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为

练习2、（2011济宁）如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的是 A. 22cm B.20cm C. 18cm D.15cm

A、6

B、3 C、23 D、3 1如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一

次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为 ．

练习4、（2011威海）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK。

C B D C D N K 1 A B A M

⑴若∠1=70°，求∠MKN的度数；

1⑵△MNK的面积能否小于2？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；

⑶如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值。D C D C A

B A 备用图

B

8