2016年浙江省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
*2
4．（5分）（2016•浙江）命题“∀x∈R，∃n∈N，使得n≥x”的否定形式是（ ）
*2*2
A．∀x∈R，∃n∈N，使得n＜x B．∀x∈R，∀n∈N，使得n＜x
*2*2
C．∃x∈R，∃n∈N，使得n＜x D．∃x∈R，∀n∈N，使得n＜x 7．（5分）（2016•浙江）已知椭圆C1：
+y=1（m＞1）与双曲线C2：
2
﹣y=1（n＞0）
2
的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）
A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1 8．（5分）（2016•浙江）已知实数a，b，c．（ ）
22222
A．若|a+b+c|+|a+b+c|≤1，则a+b+c＜100
22222
B．若|a+b+c|+|a+b﹣c|≤1，则a+b+c＜100
22222
C．若|a+b+c|+|a+b﹣c|≤1，则a+b+c＜100
22222
D．若|a+b+c|+|a+b﹣c|≤1，则a+b+c＜100
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
10．（6分）（2016•浙江）已知2cosx+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=______，b=______． 11．（6分）（2016•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是
23
______cm，体积是______cm．
2
12．（6分）（2016•浙江）已知a＞b＞1，若logab+logba=，a=b，则a=______，b=______． 15．（4分）（2016•浙江）已知向量，，||=1，||=2，若对任意单位向量，均有|•|+|•|≤
，则•的最大值是______．
b
a
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（14分）（2016•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB． （Ⅰ）证明：A=2B （Ⅱ）若△ABC的面积S=
，求角A的大小．
17．（15分）（2016•浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3， （Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．
19．（15分）（2016•浙江）如图，设椭圆C：
+y=1（a＞1）
2
（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）
（Ⅱ）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．
2016年浙江省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，∃n∈N，使得n≥x”
*2
的否定形式是：∃x∈R，∀n∈N，使得n＜x． 故选：D． 7．
【解答】解：∵椭圆C1：
2
2
2
*
2
+y=1（m＞1）与双曲线C2：
2
﹣y=1（n＞0）的焦点重合，
2
∴满足c=m﹣1=n+1，
2222
即m﹣n=2＞0，∴m＞n，则m＞n，排除C，D
222222则c=m﹣1＜m，c=n+1＞n， 则c＜m．c＞n， e1=，e2=， 则e1•e2=•=
2
，
2
则（e1•e2）=（）•（）
2
==＞1，
==1+=1+=1+
∴e1e2＞1， 故选：A． ． 8．
22222
【解答】解：A．设a=b=10，c=﹣110，则|a+b+c|+|a+b+c|=0≤1，a+b+c＞100；
22222
B．设a=10，b=﹣100，c=0，则|a+b+c|+|a+b﹣c|=0≤1，a+b+c＞100；
22222
C．设a=100，b=﹣100，c=0，则|a+b+c|+|a+b﹣c|=0≤1，a+b+c＞100； 故选：D．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
2
【解答】解：∵2cosx+sin2x=1+cos2x+sin2x =1+=
（
cos2x+
sin2x）+1
sin（2x+）+1，
∴A=，b=1， 故答案为：；1．
【解答】解：由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm的小正方体所构成的，
22
则其表面积为2×（24﹣6）=72cm，
3
其体积为4×2=32， 故答案为：72，32
【解答】解：设t=logba，由a＞b＞1知t＞1， 代入logab+logba=得
2
，
即2t﹣5t+2=0，解得t=2或t=（舍去）， 所以logba=2，即a=b，
ba2ba2
因为a=b，所以b=b，则a=2b=b， 解得b=2，a=4， 故答案为：4；2．
【解答】解：由绝对值不等式得
≥|•|+|•|≥|•+•|=|（+）•|，
，
2
于是对任意的单位向量，均有|（+）•|≤∵|（+）|=||+||+2•=5+2•， ∴|（+）|=
，
≤
，
2
2
2
因此|（+）•|的最大值则•≤，
下面证明：•可以取得，
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB， ∴sinB+sinC=2sinAcosB，
∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB
∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB
∴sinB=2=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）
∵A，B是三角形中的角， ∴B=A﹣B， ∴A=2B；
（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=∴bcsinA=
2
，
，
∴2bcsinA=a，
∴2sinBsinC=sinA=sin2B， ∴sinC=cosB，
∴B+C=90°，或C=B+90°， ∴A=90°或A=45°． 【解答】（I）证明：延长AD，BE，CF相交于点K，如图所示，∵平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，
∴AC⊥平面BCK，∴BF⊥AC．
又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK，
∴BF⊥平面ACFD．
（II）方法一：过点F作FQ⊥AK，连接BQ，∵BF⊥平面ACFD．∴BF⊥AK，则AK⊥平面BQF，
∴BQ⊥AK．∴∠BQF是二面角B﹣AD﹣F的平面角． 在Rt△ACK中，AC=3，CK=2，可得FQ=在Rt△BQF中，BF=
，FQ=
．
．
．可得：cos∠BQF=
．
∴二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值为
方法二：如图，延长AD，BE，CF相交于点K，则△BCK为等边三角形， 取BC的中点，则KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，∴KO⊥平面BAC，
以点O为原点，分别以OB，OK的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz． 可得：B（1，0，0），C（﹣1，0，0），K（0，0，
．
=（0，3，0），
=
，
（2，3，0）．
，
），A（﹣1，﹣3，0），
，
设平面ACK的法向量为=（x1，y1，z1），平面ABK的法向量为=（x2，y2，z2），由
可得，
取=．
由，可得，取=．
∴==．
∴二面角B﹣AD﹣F的余弦值为．
19
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：
，可得：（1+ak）x+2kax=0，
22
2
2
得x1=0或x2=
，
直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长为：=．
（Ⅱ）假设圆A与椭圆由4个公共点，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|=|AQ|，
记直线AP，AQ的斜率分别为：k1，k2；且k1，k2＞0，k1≠k2，由（1）可知|AP|=
，|AQ|=
，
故：
2
2
=
，所以，（k1﹣k2）[1+k1+k2+a（2﹣a）
222222
k1k2]=0，由k1≠k2，
222222
k1，k2＞0，可得：1+k1+k2+a（2﹣a）k1k2=0， 因此
a（a﹣2）①，
2
2
2
2
因为①式关于k1，k2；的方程有解的充要条件是：1+a（a﹣2）＞1， 所以a＞．
因此，任意点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为：1＜a＜e==
得，所求离心率的取值范围是：
．
，
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