必修4-模块测试卷(北师大版必修4)

期中练习卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列说法中正确的是( )

①一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底； ②两个非零向量平行，则它们所在直线平行；

③△ABC中，若AB²AC＞0，则△ABC为锐角三角形； ④△ABC中，若AB²AC＜0，则△ABC为钝角三角形.

A.①③ B.②④ C.③ D. ④ 2．在△ABC中，①sin(A+B)+sinC；②cos(B+C)+cosA；③tan

ABCBCAtan；④cossin，2222其中恒为定值的是（ ）

A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 3．向量a,b满足a=2,a²b=A.

3,a+b =22,则向量a,b夹角的余弦为( ) 23143 B. C. D.

22544．已知函数y=sin2x－m在0，上有两个零点，则m的取值范围为（ ）

62111１1 B. 1，－ C.，１1A. ， D.－，－ 22２25．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b=(p,q)，令a⊙b=mq－np，下面说法错误的是（ ）

A.若a与b共线，则a⊙b=0 B.a⊙b=b⊙a

C.对任意的λ∈R，有(λa)⊙b=λ(a⊙b) D.(a⊙b)2+(a²b)2=|a|2|b|2

6．平面上有四个互异的点A，B，C，D，满足(AB－BC)²(AD－CD)＝0，则三角形ABC

是( )

A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形

7． 设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(3sin A，sin B)，n＝(cos B，3cos A)，若m²n＝1＋cos(A＋B)，则C等于 ( )

 B. C. D. 63362222228．已知点O为△ABC所在平面内一点，且OA+BC＝OB＋CA＝OC＋AB，则O一A.

定为△ABC的( )

A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心

9．北京召开的国际数学家大会会标如图1所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐

角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是图1

1,则sin2θ－cos2θ的值等于（ ） 252477 C. D.－ 25252510．使函数f(x)=sin(2x+θ)+ 3cos(2x+θ)是奇函数，且在0，上是减函数的θ的一个值

4是（ ）

A.1 B.－

 B. C. D. 3333二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．已知向量a＝(1,3)，b＝(－3，4)，则a在b方向上 的投影为______. A.

)的部分图 2像如图2所示,则f(x)的解析式为______. 图2 12．函数f(x)＝Asin(ωx＋) (x∈R，A＞0，ω＞0,0＜＜

113²BD,则四边形13．在四边形ABCD中，AB=DC=（1,1），²BA+²BC=BABCBDABCD的面积为______.

14．不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R成立，则实数a的取值范围为______. 15．给出下列命题：

; 3(2)若α，β是锐角△ABC的内角，则sinα>cosβ;

2(3)函数y＝sinx－是偶函数；

23(4)函数y＝sin2x的图像向右平移个单位，得到y＝sin2x+的图像.

44(1)存在实数x，使sinx+cosx＝

其中正确命题的序号是______.

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或步骤） 16．求函数y=(sinα+a)(cosα+a)(0＜a≤2)的最值.

17．设向量a,b满足|a|=|b|=1,|3a－b|=5. （1）求|a+3b|的值；

（2）求3a－b与a+3b夹角的正弦值.

318．已知向量a=(sinx,－1)，b=cosx，.

2(1)当a∥b时，求cos2x－3sin2x的值；

(2)求f(x)=(a+b)²b的最小正周期和单调递增区间.

19．已知定义在R上的函数f(x)=asinωx+bcosωx(ω>0)的周期为π，且对一切x∈R，都有

f(x)≤f  =4 ；

12（1）求函数f(x)的表达式；

（2）若g(x)=f －x,求函数g(x)的单调增区间.

6

1，x (m是常数). 20．已知向量a=(mx2,－1),b=1mx－1是奇函数，求m的值; ab(2)若向量a,b的夹角θ为0，中的值，求实数x的取值范围.

2

3x3xxx21 已知向量a＝cos,sin，b＝cos,sin，且x∈0，.

22222(1)求a²b及|a＋b|的值； (1)若f(x)=

(2)若f(x)＝a²b－2λ|a＋b|的最小值是－

参考答案及点拨

一、1．D 点拨：平面内任意两个不共线向量都可以作为基底，故①错；平行向量包含两

向量在一条直线上的情况，故②错；AB²AC＞0，只能说明∠A是锐角，不能排除∠B或

3，求λ的值. 2

∠C是钝角，故③错，；AB²AC＜0说明∠A是钝角，故④对.

2．B 点拨：①sin(A+B)+sinC=2sinC；②cos(B+C)+cosA=0；③tan

ABCtan=1；④22BCAAsin=sin2,故选B. 2223．D 点拨：设向量a,b的夹角为θ. cos

∵|a+b|=22,∴a2+2a²b+b2=8,∴|b|=1，∴cosθ=

ab3 =. ab44．C 点拨：问题等价于函数f(x)=sin2x的图像与直线y=m在0，上有两个交点，

6211.正确答案为C. 所以m的取值范围为，25．B 点拨：因为b⊙a=pn－qm，而a⊙b=mq－np，所以a⊙b≠b⊙a，故选项B错误，选B.

6．B 点拨：由(AB－BC)²(AD－CD)＝0，得(AB－BC)²(AD+DC)＝0，即(AB－22BC)²AC＝0，(AB－BC)²(AB+BC)＝0，即AB－BC＝0，所以|AB|＝|BC|，故三

角形ABC为等腰三角形.

7．C 点拨：依题意得，3 sin Acos B＋3cos Asin B＝1＋cos(A＋B)，3sin(A＋B)＝11＋cos(A＋B)，3sin C＋cos C＝1，2sinC＝1，sinC＝.又＜C＋＜，

662666＝，C＝，选C. 6638．C 点拨：由OA2+BC2＝OB2＋CA2,得OA2+OCOB因此C＋

2

＝OB2＋OAOC2

,得

OCOB=OAOC.∴OC²AB=0,O在边AB的高线上.同理O在边AC的高线上，即O为

△ABC的垂心.

9．D 点拨：(cosθ－sinθ)2=

11cosθ－sinθ=±，∵θ∈0，,∴cosθ－sinθ25541241=,2cosθsinθ=， ∴sin2θ－cos2θ=(sinθ+cosθ)(sinθ－cosθ)=－(sinθ+cosθ)= 5255－

241171+=－1+2sincos =－. 25552510．B 点拨：∵f(x)=sin(2x+θ)+3 cos(2x+θ)=2sin2x++是奇函数，∴f(0)=0，故

3A,C错误；又∵f(x)在0，上是减函数,∴当θ=时f(x)=－2sin2x成立.

43ab133499二、11． 点拨：a在b方向上的投影为＝＝.

2b55342

T3312． f(x)＝2sinx+ 点拨:由题图知A＝2，＝，则＝4³，∴ω＝.又f

43324263＝2sin+＝2sin＝0，∴sin＝0，∵0＜＜，∴＜＜，

442444263∴＝0，即＝，∴f(x)的解析式为f(x)＝2sinx+.

444213．3 点拨：由AB=DC=(1,1)可得|AB|=|DC|=2且四边形ABCD是平行四边形，再113BDBABA由²+²BC=²可知D在∠ABC的平分线上，且以及BC上单位BABCBD向量为边的平行四边形的一条对角线(如答图1)是PB=3,因此∠ABC=S

四边形ABCD=ABsin

,AB=BC,所以 3²BC=2³2sin=3,该题由AB=DC=(1,1)考查向量相等的概念，33113²BD考查向量的加法的几何意义. 由²BA+²BC=BABCBD 答图1

14．a≥1或a≤－2

点拨：由题意，acosx+a2≥cos2x+cosx，即cos2x+（1－a）cosx－a2≤0对任意x∈R成立.令

f10，f（t）=t+（1－a）t－a(t=cosx,－1≤t≤1),∴f102

221+1aa0,解得a≤－2211aa0.或a≥1.

15．（1）（2）（3） 点拨：(1) sinx+cosx=2sinx+∈[－2，2]，而∈[－2，2],43故（1）成立;

(2)锐角△ABC中，α+β＞α＞－βsinα＞sinsinα＞cosβ;

222222(3) y=sinx=sinx4=cosx是偶函数；

22333(4) y=sin2x的图像向右平移个单位为y=sin2x=sin2x的图像，与y＝

424sin2x+的图像不同；故其中正确命题的序号是：（1）（2）（3）.

4三、16．解： 设sinα+cosα=t(－2≤t≤2),

t21则sinαcosα=,于是

21y= (t2－1)+at+a2 2==

121t+at+a2－ 22111 (t+a)2+a2－. 222∵0121a－； 221. 25.6当t=2时，y最大=a2+2a+

17．解：(1)由|3a－b|=5,得(3a－b)2=5,所以9a2－6a²b+b2=5,因为a2=b2=1,所以a²b=因此(a+3b)2=a2+6a²b+9b2=15,所以|a+3b|=15. (2)设3a－b与a+3b的夹角为θ,因为(3a－b)²(a+3b)=3a2+8a²b－3b2=

20,则cosθ3202433343=3=,因为0°≤θ≤180°,所以sinθ=1cos2 =1=,所以3a－b99953与a+3b的夹角的正弦值为18．解：(1)由a∥b得

2

33. 932sinx+cosx=0，即tanx=－， 2345cos2x6sinxcosx16tanx所以cosx－3sin2x= = =.

1tan2x13sin2xcos2x31(2) 因为a=(sinx,－1)，b=cosx,；所以a+b=sinxcosx,；

22f(x)=(a+b)²b=(sinx+cosx)cosx+

52315= (sin2x+cos2x)+ =sin2x++；所以最小正

244424周期为π;由2kπ－

<2x+<2kπ+得kπ－8819．解：(1)∵f(x)=asinωx+bcosωx=a2+b2 sin(ωx+)(其中cos =ba2+b2aa+b22,sin=

),又周期T=

2 =π, ∴ω=2,∵对一切x∈R，都有f(x)≤f =4, 12

a2+b2=4，a=2，∴解得：∴f(x)的解析式为f(x)=2sin2x+23cos2x. asin+bcos=4，b=23，662x(2)∵g(x)=f x=4sin2x=4sin2x=－4sin.

33636∴g(x)的增区间是函数y=sin2x的减区间.∴由2kπ+≤2x－≤2kπ+得g(x)

3232的增区间为k+,k (k∈Z).

12121mx2xmx120．解： (1)由题知a²b=－x =,所以f(x)= =m－，由题知对任意不

xmx1mx1x11为零的实数x, 都有f(－x)=－f(x),即m+=－m+恒成立，所以m=0.

xx（2）由题知a²b>0,所以

x>0,即x(mx－1)>0,①当m=0时，x<0；②当m>0时， mx11111xx x>0；所以x<0或x>；③当m<0时，x<0，所以0时, 实数x的取值范围是x<0或x>当m<0时, 实数x的取值范围是21．解：(1)a²b＝cos

12222223xx3xx|a＋b|＝coscossinsin＝2+2cos2x＝2cos2x. 2222∵x∈0，，∴cosx≥0，∴|a＋b|＝2cosx.

2(2)f(x)＝cos2x－4λcosx，即f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ2.

∵x∈0，，∴0≤cosx≤1.

2①当λ<0时，当且仅当cosx＝0时， f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；

②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx＝λ时， f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－解得λ＝

3， 21（负值舍去）； 23， 2③当λ>1时，当且仅当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－

5解得λ＝，这与λ>1相矛盾.

8

综上所述，λ＝

1即为所求. 2