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胡不归问题专题

2022-06-20 来源:易榕旅网
金牌教育一对一个性化辅导教案

学生 学校 文汇中学 年级 时段 九年级 学科 数学 次数 1 教师 王老师 日期 20180 课题 一.选择题(共2小题)

胡不归问题专题 1.如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点,过B的直线交抛物线于E,且tan∠EBA=,有一只蚂蚁从A出发,先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处,再以单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食,则蚂蚁从A到E的最短时间是 s.

2.如图,△ABC在直角坐标系中,AB=AC,A(0,2

),C(1,0),D为射线

AO上一点,一动点P从A出发,运动路径为A→D→C,点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍,要使整个运动时间最少,则点D的坐标应为( )

A.(0,

) B.(0,

) C.(0,

) D.(0,

二.填空题(共1小题)

3.如图,一条笔直的公路l穿过草原,公路边有一消防站A,距离公路5的地方有一居民点B,A、B的直线距离是10

千米

千米.一天,居民点B着火,消

防员受命欲前往救火.若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时,而在草地上的最快速度是40千米/小时,则消防车在出发后最快经过 小时可到达居民点B.(友情提醒:消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)

三.解答题(共5小题)

4.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0),B(0,﹣

),C(2,0),其对称轴与x轴交于点D

(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;

(2)若P为y轴上的一个动点,连接PD,则PB+PD的最小值为 ; (3)M(x,t)为抛物线对称轴上一动点

①若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形,则这样的点N共有 个;

②连接MA,MB,若∠AMB不小于60°,求t的取值范围.

5.如图,在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°,⊙O经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.

(1)试说明CE是⊙O的切线;

(2)若△ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示⊙O的直径AB; (3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点),连接OD,当CD+OD的最小值为6时,求⊙O的直径AB的长.

6.如图,已知抛物线y=(x+2)(x﹣4)(k为常数,且k>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线y=﹣另一交点为D.

(1)若点D的横坐标为﹣5,求抛物线的函数表达式;

(2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与△ABC相似,求k的值;

(3)在(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少

x+b与抛物线的

7.(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,求PD+

的最小值和PD﹣

的最大值;

(2)如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点,那么PD+

的最小值为 ,PD﹣

的最大值为 .

(3)如图3,已知菱形ABCD的边长为4,∠B=60°,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,那么PD+为 .

的最小值为 ,PD﹣

的最大值

8.如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M. (1)求a的值和直线AB的函数表达式;

(2)设△PMN的周长为C1,△AEN的周长为C2,若

=,求m的值;

(3)如图2,在(2)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角为α(0°<α<90°),连接E′A、E′B,求E′A+E′B的最小值.

2018年05月25日187****4779的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一.选择题(共2小题)

1.如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点,过B的直线交抛物线于E,且tan∠EBA=,有一只蚂蚁从A出发,先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处,再以单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食,则蚂蚁从A到E的最短时间是

s.

【分析】过点E作x轴的平行线,再过D点作y轴的平行线,两线相交于点H,如图,利用平行线的性质和三角函数的定义得到tan∠HED=tan∠EBA=

=,设

DH=4m,EH=3m,则DE=5m,则可判断蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等,于是得到蚂蚁从A出发,先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处,再以单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点,再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间,利用两点之间线段最短得到AD+DH的最小值为AQ的长,接着求出A点和B点坐标,再利用待定系数法求出BE的解析式,然后解由直线解析式和抛物线解析式所组成的方程组确定E点坐标,从而得到AQ的长,然后计算爬行的时间. 【解答】解:过点E作x轴的平行线,再过D点作y轴的平行线,两线相交于点H,如图, ∵EH∥AB, ∴∠HEB=∠ABE, ∴tan∠HED=tan∠EBA=

=,

设DH=4m,EH=3m,则DE=5m, ∴蚂蚁从D爬到E点的时间=

=4(s)

=4

若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s,则蚂蚁从D爬到H点的时间=(s),

∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等,

∴蚂蚁从A出发,先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处,再以单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点,再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间, 作AG⊥EH于G,则AD+DH≥AH≥AG, ∴AD+DH的最小值为AQ的长,

当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3,则A(﹣1,0),B(3,0), 直线BE交y轴于C点,如图, 在Rt△OBC中,∵tan∠CBO=∴OC=4,则C(0,4), 设直线BE的解析式为y=kx+b, 把B(3,0),C(0,4)代入得∴直线BE的解析式为y=﹣x+4,

,解得

=,

解方程组得或,则E点坐标为(﹣,),

∴AQ=,

∴蚂蚁从A爬到G点的时间=即蚂蚁从A到E的最短时间为故答案为

=s.

(s),

【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点:把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标化为解关于x的一元二次方程.解决本题的关键是确定蚂蚁在DH和DE上爬行的时间相等.

2.如图,△ABC在直角坐标系中,AB=AC,A(0,2

),C(1,0),D为射线

AO上一点,一动点P从A出发,运动路径为A→D→C,点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍,要使整个运动时间最少,则点D的坐标应为( )

A.(0,

) B.(0,

) C.(0,

) D.(0,

【分析】假设P在AD的速度为3,在CD的速度为1,首先表示出总的时间,再根据根的判别式求出t的取值范围,进而求出D的坐标. 【解答】解:假设P在AD的速度为3,在CD的速度为1, 设D坐标为(0,y),则AD=2∴设t=

+

, =

,则t的最小值时考虑y的取值即可, )2=y2+1, t+1=0, ﹣y,CD=

=

等式变形为:t+y﹣∴t2+(y﹣∴y2+(

)t+(y﹣﹣t)y﹣t2+

△=(

﹣t)2﹣4×(﹣t2+

t+1)≥0,

∴t的最小值为∴y=

∴点D的坐标为(0,故选D.

),

解法二:假设P在AD的速度为3V,在CD的速度为1V, 总时间t=

+

=(

+CD),要使t最小,就要

+CD最小,

因为AB=AC=3,过点B作BH⊥AC交AC于点H,交OA于D,易证△ADH∽△ACO,所以

=

=3,所以

=DH,因为△ABC是等腰三角形,所以BD=CD,所以要

+CD最小,就是要DH+BD最小,就要B、D、H三点共线就行了.因为△AOC∽△BOD,所以

=

,即

=).

,所以OD=

所以点D的坐标应为(0,

【点评】本题考查了勾股定理的运用、一元二次方程根的判别式(△=b2﹣4ac)判断方程的根的情况以及坐标于图形的性质题目的综合性较强,难度较大.

二.填空题(共1小题)

3.如图,一条笔直的公路l穿过草原,公路边有一消防站A,距离公路5的地方有一居民点B,A、B的直线距离是10

千米

千米.一天,居民点B着火,消

防员受命欲前往救火.若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时,而在草地上的最快速度是40千米/小时,则消防车在出发后最快经过

小时可到达居

民点B.(友情提醒:消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)

【分析】要求所用行车时间最短,就要计算好行驶的路线,可以设在公路上行驶x千米,根据题意,找出可以运用勾股定理的直角三角形,运用勾股定理求解.

【解答】解:如图所示,公路上行驶的路线是AD,草地上行驶的路线是DB,设AD的路程为x千米,

由已知条件AB=10AC=

千米,BC=5

千米,BC⊥AC,知

=15千米.

则CD=AC﹣AD=(15﹣x)千米, BD=

=

km,

设走的行驶时间为y,则 y=

+

整理为关于x的一元二次方程得 3x2+(160y﹣120)x﹣6400y2+1200=0. 因为x必定存在,所以△≥0.即

(160y﹣120)2﹣4×3×(1200﹣6400y2)≥0. 化简得102400y2﹣38400y≥0. 解得y≥,

即消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B. 故答案为:.

【点评】本题考查的是在直角三角形中勾股定理的运用,画出图形构建直角三角形是关键,根据一元二次不等式的求解,可以计算出解的最小值,以便求出最短路程.

三.解答题(共5小题)

4.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0),B(0,﹣

),C(2,0),其对称轴与x轴交于点D

(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;

(2)若P为y轴上的一个动点,连接PD,则PB+PD的最小值为 (3)M(x,t)为抛物线对称轴上一动点

①若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形,则这样的点N共有 5 个;

②连接MA,MB,若∠AMB不小于60°,求t的取值范围.

【分析】(1)利用待定系数法转化为解方程组解决问题.

(2)如图1中,连接AB,作DH⊥AB于H,交OB于P,此时PB+PD最小.最小值就是线段DH,求出DH即可.

(3)①先在对称轴上寻找满足△ABM是等腰三角形的点M,由此即可解决问题. ②作AB的中垂线与y轴交于点E,连接EA,则∠AEB=120°,以E为圆心,EB为半径作圆,与抛物线对称轴交于点F、G.则∠AFB=∠AGB=60°,从而线段FG上的点满足题意,求出F、G的坐标即可解决问题.

【解答】解:(1)由题意解得,

∴抛物线解析式为y=∵y=

x2﹣

x﹣

=

x2﹣x﹣,

(x﹣)2﹣).

∴顶点坐标(,﹣

(2)如图1中,连接AB,作DH⊥AB于H,交OB于P,

此时PB+PD最小. 理由:∵OA=1,OB=∴tan∠ABO=∴∠ABO=30°, ∴PH=PB,

∴PB+PD=PH+PD=DH,

∴此时PB+PD最短(垂线段最短).

在Rt△ADH中,∵∠AHD=90°,AD=,∠HAD=60°, ∴sin60°=∴DH=

, ,

=

, ,

∴PB+PD的最小值为故答案为

(3)①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点, 以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点, 线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点,

所以满足条件的点M有5个,即满足条件的点N也有5个, 故答案为5.

②如图,Rt△AOB中,∵tan∠ABO=∴∠ABO=30°,

作AB的中垂线与y轴交于点E,连接EA,则∠AEB=120°, 以E为圆心,EB为半径作圆,与抛物线对称轴交于点F、G. 则∠AFB=∠AGB=60°,从而线段FG上的点满足题意, ∵EB=

=

, ,

=

∴OE=OB﹣EB=

∵F(,t),EF2=EB2, ∴()2+(t+解得t=故F(,∴t的取值范围

)2=(或

)2, ,

),G(,

≤t≤

),

【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识,解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式,学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题,学会添加辅助线,构造圆解决角度问题,属于中考压轴题.

5.如图,在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°,⊙O经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.

(1)试说明CE是⊙O的切线;

(2)若△ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示⊙O的直径AB; (3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点),连接OD,当CD+OD的最小

值为6时,求⊙O的直径AB的长.

【分析】(1)连接OC,如图1,要证CE是⊙O的切线,只需证到∠OCE=90°即可;

(2)过点C作CH⊥AB于H,连接OC,如图2,在Rt△OHC中运用三角函数即可解决问题;

(3)作OF平分∠AOC,交⊙O于F,连接AF、CF、DF,如图3,易证四边形AOCF是菱形,根据对称性可得DF=DO.过点D作DH⊥OC于H,易得DH=DC,从而有CD+OD=DH+FD.根据两点之间线段最短可得:当F、D、H三点共线时,DH+FD(即CD+OD)最小,然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题. 【解答】解:(1)连接OC,如图1,

∵CA=CE,∠CAE=30°,

∴∠E=∠CAE=30°,∠COE=2∠A=60°, ∴∠OCE=90°, ∴CE是⊙O的切线;

(2)过点C作CH⊥AB于H,连接OC,如图2,

由题可得CH=h.

在Rt△OHC中,CH=OCsin∠COH, ∴h=OCsin60°=∴OC=

=

OC, h, h;

∴AB=2OC=

(3)作OF平分∠AOC,交⊙O于F,连接AF、CF、DF,如图3,

则∠AOF=∠COF=∠AOC=(180°﹣60°)=60°. ∵OA=OF=OC,

∴△AOF、△COF是等边三角形, ∴AF=AO=OC=FC, ∴四边形AOCF是菱形, ∴根据对称性可得DF=DO. 过点D作DH⊥OC于H, ∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=30°, ∴DH=DCsin∠DCH=DCsin30°=DC, ∴CD+OD=DH+FD. 根据两点之间线段最短可得:

当F、D、H三点共线时,DH+FD(即CD+OD)最小, 此时FH=OFsin∠FOH=则OF=4

,AB=2OF=8

OF=6, .

∴当CD+OD的最小值为6时,⊙O的直径AB的长为8

【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短等知识,把CD+OD转化为DH+FD是解决第(3)小题的关键.

6.如图,已知抛物线y=(x+2)(x﹣4)(k为常数,且k>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线y=﹣另一交点为D.

(1)若点D的横坐标为﹣5,求抛物线的函数表达式;

(2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与△ABC相似,求k的值;

(3)在(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少

x+b与抛物线的

【分析】(1)首先求出点A、B坐标,然后求出直线BD的解析式,求得点D坐标,代入抛物线解析式,求得k的值;

(2)因为点P在第一象限内的抛物线上,所以∠ABP为钝角.因此若两个三角

形相似,只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB.如答图2,按照以上两种情况进行分类讨论,分别计算;

(3)由题意,动点M运动的路径为折线AF+DF,运动时间:t=AF+DF.如答图3,作辅助线,将AF+DF转化为AF+FG;再由垂线段最短,得到垂线段AH与直线BD的交点,即为所求的F点.

【解答】解:(1)抛物线y=(x+2)(x﹣4), 令y=0,解得x=﹣2或x=4, ∴A(﹣2,0),B(4,0). ∵直线y=﹣∴﹣

x+b经过点B(4,0),

, x+

×4+b=0,解得b=

∴直线BD解析式为:y=﹣当x=﹣5时,y=3∴D(﹣5,3∵点D(﹣5,3

).

)在抛物线y=(x+2)(x﹣4)上,

∴(﹣5+2)(﹣5﹣4)=3∴k=

∴抛物线的函数表达式为:y=即y=

x2﹣

x﹣

(x+2)(x﹣4).

(2)由抛物线解析式,令x=0,得y=﹣k, ∴C(0,﹣k),OC=k.

因为点P在第一象限内的抛物线上,所以∠ABP为钝角.

因此若两个三角形相似,只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB.

①若△ABC∽△APB,则有∠BAC=∠PAB,如答图2﹣1所示. 设P(x,y),过点P作PN⊥x轴于点N,则ON=x,PN=y.

tan∠BAC=tan∠PAB,即:,

∴y=x+k.

∴P(x,x+k),代入抛物线解析式y=(x+2)(x﹣4), 得(x+2)(x﹣4)=x+k,整理得:x2﹣6x﹣16=0, 解得:x=8或x=﹣2(与点A重合,舍去), ∴P(8,5k). ∵△ABC∽△APB, ∴,即

解得:k=

②若△ABC∽△PAB,则有∠ABC=∠PAB,如答图2﹣2所示. 设P(x,y),过点P作PN⊥x轴于点N,则ON=x,PN=y. tan

ABC=tan

PAB

=

∴y=x+.

∴P(x,x+),代入抛物线解析式y=(x+2)(x﹣4), 得(x+2)(x﹣4)=x+,整理得:x2﹣4x﹣12=0, 解得:x=6或x=﹣2(与点A重合,舍去), ∴P(6,2k). ∵△ABC∽△PAB,

=∴

=,

解得k=±∵k>0, ∴k=

综上所述,k=

(3)方法一:

或k=.

如答图3,由(1)知:D(﹣5,3),

如答图2﹣2,过点D作DN⊥x轴于点N,则DN=3∴tan∠DBA=∴∠DBA=30°.

过点D作DK∥x轴,则∠KDF=∠DBA=30°. 过点F作FG⊥DK于点G,则FG=DF.

=

=

,ON=5,BN=4+5=9,

由题意,动点M运动的路径为折线AF+DF,运动时间:t=AF+DF, ∴t=AF+FG,即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值.

由垂线段最短可知,折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段. 过点A作AH⊥DK于点H,则t最小=AH,AH与直线BD的交点,即为所求之F点. ∵A点横坐标为﹣2,直线BD解析式为:y=﹣

x+

∴y=﹣×(﹣2)+

).

=2,

∴F(﹣2,2

综上所述,当点F坐标为(﹣2,2 方法二:

)时,点M在整个运动过程中用时最少.

作DK∥AB,AH⊥DK,AH交直线BD于点F, ∵∠DBA=30°, ∴∠BDH=30°, ∴FH=DF×sin30°=

∴当且仅当AH⊥DK时,AF+FH最小, 点M在整个运动中用时为:t=∵lBD:y=﹣

x+

∴FX=AX=﹣2, ∴F(﹣2,

).

【点评】本题是二次函数压轴题,难度很大.第(2)问中需要分类讨论,避免漏解;在计算过程中,解析式中含有未知数k,增加了计算的难度,注意解题过程中的技巧;第(3)问中,运用了转化思想使得试题难度大大降低,需要认真体会.

7.(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,求PD+

的最小值和PD﹣

的最大值;

(2)如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点,那么PD+

的最小值为 ,PD﹣

的最大值为 .

(3)如图3,已知菱形ABCD的边长为4,∠B=60°,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,那么PD+

的最小值为 ,PD﹣

的最大值为

【分析】(1)如图1中,在BC上取一点G,使得BG=1.由△PBG∽△CBP,推出

=

=,推出PG=PC,推出PD+PC=DP+PG,由DP+PG≥DG,当D、G、

=5.由PD﹣PC=PD﹣PG

P共线时,PD+PC的值最小,最小值为DG=

≤DG,当点P在DG的延长线上时,PD﹣PC的值最大(如图2中),最大值为DG=5;

(2)如图3中,在BC上取一点G,使得BG=4.解法类似(1);

(3)如图4中,在BC上取一点G,使得BG=4,作DF⊥BC于F.解法类似(1); 【解答】解:(1)如图1中,在BC上取一点G,使得BG=1.

∵∴

==2,=

==2,

,∵∠PBG=∠PBC,

∴△PBG∽△CBP, ∴

=

=,

∴PG=PC, ∴PD+PC=DP+PG, ∵DP+PG≥DG,

∴当D、G、P共线时,PD+PC的值最小,最小值为DG=

=5.

∵PD﹣PC=PD﹣PG≤DG,

当点P在DG的延长线上时,PD﹣PC的值最大(如图2中),最大值为DG=5.

(2)如图3中,在BC上取一点G,使得BG=4.

∵∴

==,=

==,

,∵∠PBG=∠PBC,

∴△PBG∽△CBP, ∴

=

=,

∴PG=PC, ∴PD+PC=DP+PG, ∵DP+PG≥DG,

∴当D、G、P共线时,PD+PC的值最小,最小值为DG=∵PD﹣PC=PD﹣PG≤DG,

当点P在DG的延长线上时,PD﹣PC的值最大,最大值为DG=

. =

故答案为

(3)如图4中,在BC上取一点G,使得BG=4,作DF⊥BC于F.

∵∴

==2,=

==2,

,∵∠PBG=∠PBC,

∴△PBG∽△CBP, ∴

=

=,

∴PG=PC, ∴PD+PC=DP+PG, ∵DP+PG≥DG,

∴当D、G、P共线时,PD+PC的值最小,最小值为DG, 在Rt△CDF中,∠DCF=60°,CD=4, ∴DF=CDsin60°=2

,CF=2,

=

在Rt△GDF中,DG=∵PD﹣PC=PD﹣PG≤DG,

当点P在DG的延长线上时,PD﹣PC的值最大(如图2中),最大值为DG=故答案为

【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识,解题的关键是学会构建相似三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题,把问题转化为两点之间线段最短解决,题目比较难,属于中考压轴题.

8.如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M. (1)求a的值和直线AB的函数表达式;

(2)设△PMN的周长为C1,△AEN的周长为C2,若

=,求m的值;

(3)如图2,在(2)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角为α(0°<α<90°),连接E′A、E′B,求E′A+E′B的最小值.

【分析】(1)令y=0,求出抛物线与x轴交点,列出方程即可求出a,根据待定系数法可以确定直线AB解析式. (2)由△PNM∽△ANE,推出

=,列出方程即可解决问题.

(3)在y轴上 取一点M使得OM′=,构造相似三角形,可以证明AM′就是E′A+E′B的最小值.

【解答】解:(1)令y=0,则ax2+(a+3)x+3=0, ∴(x+1)(ax+3)=0, ∴x=﹣1或﹣,

∵抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0), ∴﹣=4, ∴a=﹣.

∵A(4,0),B(0,3),

设直线AB解析式为y=kx+b,则解得

∴直线AB解析式为y=﹣x+3.

(2)如图1中,

∵PM⊥AB,PE⊥OA,

∴∠PMN=∠AEN,∵∠PNM=∠ANE, ∴△PNM∽△ANE, ∴

=,

∵NE∥OB, ∴

=

∴AN=(4﹣m),

∵抛物线解析式为y=﹣x2+x+3,

∴PN=﹣m2+m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m,

∴=,

解得m=2.

(3)如图2中,在y轴上 取一点M′使得OM′=,连接AM′,在AM′上取一点

E′使得OE′=OE.

∵OE′=2,OM′OB=×3=4, ∴OE′2=OM′OB, ∴

=

,∵∠BOE′=∠M′OE′,

∴△M′OE′∽△E′OB, ∴

=

=,

∴M′E′=BE′,

∴AE′+BE′=AE′+E′M′=AM′,此时AE′+BE′最小(两点间线段最短,A、M′、E′共线时), 最小值=AM′=

=

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识,解题的关键是构造相似三角形,找到线段AM′就是E′A+E′B的最小值,属于中考压轴题.

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