(考试时间:120 分钟 满分:150 分)
A 卷(共 100 分)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1.下列图形中,是轴对称图形,不是中心对称图形的是( )
A. 正方形 B. 正三角形 C.正六边形 D. 禁止标志
2.已知 a<b,下列不等式中正确的是( ) A. B.a﹣3<b﹣3 C.a+3>b+3 D.﹣3a<﹣3b 3.当 x=2
时,下列分式的值为 0 的是( )
A. B. C. D.
4.下列因式分解正确的是( A.x2﹣4=(x+4)(x﹣4)
)
B.x2+2x+1=x(x+2)+1
C.2x+4=2(x+2) D.3mx﹣6my=3m(x﹣6y)
5. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A.两组对边分别相等 B.两条对角线相等 C.四个内角都是直角 D.每一条对角线平分一组对角
6. 在平面直角坐标系中,若直线 y=2x+k 经过第一、二、三象限,则 k 的取值范围是( )
A.k>0 B.k<0 C.k≤0 D.k≥0
7. 如图,将△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 120°得到△ADE,点 B 的对应点是点 E,点 C 的对应点是点 D,
若∠BAC=35°,则∠CAE 的度数为( )
1
1
A.90° B.75° C.65° D.85°
8. 如图,在△ABC 中,AB=AC,DE 是 AC 的垂直平分线,△BCD 的周长为 24,BC=10,则 AC 等于( )
A.11 B.12 C.14 D.16
9. 某农场开挖一条长 480 米的渠道,开工后每天比原计划多挖 20 米,结果提前 4 天完成任务,若设原计
划每天挖 x 米,那么求 x 时所列方程正确的是( ) A. C. ﹣ ﹣ =4 B. =4 D.
﹣ ﹣
=20 =4
10. 如图,在△ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 的中点,BC=12,F 是 DE 上一点,连接 AF、CF,DE=3DF,若
∠AFC=90°,则 AC 的长度为( )
A.4 B.5 C.8 D.10二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分)
11. 一个多边形的内角和是 1080°,这个多边形的边数是 .
12.若 a+b=5,a﹣b=3,则 a2﹣b2= .
13. 如图,直线 y=﹣x+m 与 y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为﹣2,则关于 x 的不等式﹣x+m>nx+4n
的解集是 .
14. 如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=6,BC=8,以 C 为圆心,适当长为半径画弧分别交 BC,CD 于 M,N
2
2
两点,分别以 M,N 为圆心,以大于MN 的长为半径画弧,两弧在∠BCD 的内部交于点 P,连接 CP 并延长交
AD 于 E,交 BA 的延长线于 F,则 AF 的值等于 .
三、解答题(本大题共 6 个小题,共 54 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(6 分)(1)分解因式:9a2(x﹣y)﹣4b2(x﹣y)
(2)计算:
16.(6 分)解不等式组 ,把解集在所给数轴上表示出来,并写出其整数解.
3
3
17.(8 分)如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(﹣2,3),B(﹣3,1),C(﹣1,2).且△A1B1C1 与△ABC关于原点 O 成中心对称.
(1)画出△A1B1C1,并写出 A1 的坐标;
(2)P(a,b)是△ABC 的边 AC 上一点,△ABC 经平移后点 P 的对应点 P′(a+3,b+1),请画出平移后的
△A2B2C2.
18.(8 分)如图,在▱ ABCD 中,E、F 分别为边 ABCD 的中点,BD 是对角线,过 A 点作 AG∥DB 交 CB 的延长线于点 G.
(1) 求证:DE∥BF;
(2) 若∠G=90,求证:四边形 DEBF 是菱形.
4
4
19.(10 分)某公司计划购买 A,B 两种型号的机器人搬运材料.已知 A 型机器人比 B 型机器人每小时多搬运 30kg 材料,且 A 型机器人搬运 1000kg 材料所用的时间与 B 型机器人搬运 800kg 材料所用的时间相同.
(1) 求 A,B 两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料;
(2) 该公司计划采购 A,B 两种型号的机器人共 20 台,要求每小时搬运材料不得少于 2800kg,则至少购进
A 型机器人多少台?
20.(10 分)有两张完全重合的矩形纸片,将其中一张绕点 A 顺时针旋转 90°后得到矩形 AMEF(如图 1),连接 BD,MF,若 BD=4cm,∠ADB=30°.
(1) 试探究线段 BD 与线段 MF 的数量关系和位置关系,并说明理由;
(2) 把△BCD 与△MEF 剪去,将△ABD 绕点 A 顺时针旋转得△AB1D1,边 AD1 交 FM 于点 K(如图 2),设旋转角为β(0°<β<90°),当△AFK 为等腰三角形时,求β的度数.
(3) 若将△AFM 沿 AB 方向平移得到△A2F2M2(如图 3),F2M2 与 AD 交于点 P,A2M2 与 BD 交于点 N,当 NP∥AB时,求平移的距离.
5
5
B 卷(50 分)
一、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分)
21.已知 x=
+5,则代数式(x﹣3)﹣4(x﹣3)+4 的值是 .
222. 有 6 张正面分别标有数字﹣2,0,2,4,6,8 的不透明卡片,它们除数不同外其余全部相同,先将它们
背面朝上,洗匀后从中任取一张,将该卡片上的数字记为 a,则使关于 x 不等式组 有实数解的 概 率 为 .
23. 若分式 = 方程有正数解,则 k .
24. 如图,在平面直角坐标系中放置一菱形 OABC,已知∠ABC=60°,OA=1.现将菱形 OABC 沿 x 轴的正方向无滑动翻转,每次翻转 60°,连续翻转 2024 次,点 B 的落点依次为B1,B2,B3,B4,…,则 B2024 的坐标为 .
25. 如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 为 AD 边的中点,将△ABE 沿 BE 翻折,得到△FBE,连接 DF 并延长
交 BC 于点 G,若 BE=AD=3,平行四边形 ABCD 的面积为 6,则 FG= .
二、解答题(本大题共 3 个小题,共 30 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演步骤)
服装 A B 进价(元/件) 80 60 售价(元/件) 120 90 26.(8 分)某商场购进 A、B 两种服装共 100 件,已知购进这 100 件服装的费用不得超过 7500 元,且其中 A 种服装不少于 65 件,它们的进价和售价如表.
其中购进 A 种服装为 x 件,如果购进的 A、B 两种服装全部销售完,根据表中信息,解答下列问题.
(1) 求获取总利润 y 元与购进 A 种服装 x 件的函数关系式,并写出 x 的取值范围;
6
6
(2) 该商场对 A 种服装以每件优惠 a(0<a<20)元的售价进行优惠促销活动,B 种服装售价不变,那么
该商
场应如何调整 A、B 服装的进货量,才能使总利润 y 最大?
27.(10 分)(1)【问题发现】如图 1,在 Rt△ABC 中,AB=AC=4,∠BAC=90°,点 D 为 BC 的中点,以 CD为一边作正方形 CDEF,点 E 恰好与点 A 重合,则线段 BE 与 AF 的数量关系为 ;
()2 【拓展研究】在(1)的条件下,如果正方形 CDEF 绕点 C 旋转,当点 B,E,F 三点共线时,连接
BE, CE,AF,线段 BE 与 AF 的数量关系有无变化?请仅就图 2 的情形给出证明;
()3
【问题发现】当正方形 CDEF 旋转到 B,E,F 三点共线时,求线段 AF 的长.
7
7
28.(12 分)如图 1,直线 y=﹣ x+6 与 y 轴交于点 A,与 x 轴交于点 D,直线 AB 交 x 轴于点 B,△AOB 沿
直线 AB 折叠,点 O 恰好落在直线 AD 上的点 C 处.
(1) 求 OB 的长;
(2) 如图 2,F,G 是直线 AB 上的两点,若△DFG 是以 FG 为斜边的等腰直角三角形,求点 F 的坐标;
(3) 如图 3,点 P 是直线 AB 上一点,点 Q 是直线 AD 上一点,且 P,Q 均在第四象限,点 E 是 x 轴上一点,
若四边形 PQDE 为菱形,求点 E 的坐标.
8
8
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
.1【解答】解:A、图形是中心对称轴图形,也是轴对称图形,此选项错
误; B、图形不是中心对称轴图形,是轴对称图形,此选项正确; C、图形是中心对称轴图形,也是轴对称图形,此选项错误; D、图形是中心对称轴图形,也是轴对称图形,此选项错误;故选:B.
.2
【解答】解:A、∵a<b,
∴ < ,故本选项不符合题意; B、∵a<b,
∴a﹣3<b﹣3,故本选项符合题意; C、∵a<b,
∴a+3<b+3,故本选项不符合题意; D、∵a<b,
∴﹣3a>﹣3b,故本选项不符合题意;故选:B.
.3
【解答】解:(A)当 x=2 时,原分式无意义,故本选项错误;
=2≠0,故本选项错误;
(B) 当 x=2 时,原式=
(C) 当 x=2 时,原分式无意义,故本选项错误;
(D) 当 x=2 时,原式=0,故本选项正确;
故选:D.
.4【解答】解:A、原式=(x+2)(x﹣2),错误; B、原式=(x+1)2,错误; C、原式=2(x+2),正确;
D、原式=3m(x﹣2y),错误,故选:C.
.5【解答】解:∵菱形具有的性质是:对边相等,对角相等,对角线互相垂直且平分,每一条对角线平分一组对角,;平行四边形具有的性质是:对边相等,对角相等,对角线互相平分;
9
9
∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是:每一条对角线平分一组对角.故选:D.
.6【解答】解:一次函数 y=2x+k 的图象经过第一、二、三象限,
那么 k>0. 故选:A.
.7
【解答】解:∵将△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 120°得到△ADE
∴∠BAE=120°且∠BAC=35°
∴∠CAE=85°故选:D.
.8【解答】解:∵DE 是 AC 的垂直平分线,
∴AD=CD,
∵△BCD 的周长为 24,
∴BD+CD+BC=24,
∴AB+BC=24,
∵BC=10,
∴AC=AB=24﹣10=14.故选:C.
.9【解答】解:设原计划每天挖 x 米,那么原计划用时为:
,实际用时为:根据题意,得: ﹣
=4,
故选:D.
.01【解答】解:∵D、E 分别是 AB、AC 的中点,
∴DE 是△ABC 的中位线, ∴DE=BC=6, ∵DE=3DF,
∴EF=4,
∵∠AFC=90°,E 是 AC 的中点,
∴AC=2EF=8,故选:C.
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分)
10
.1【解答】解:设多边形边数有 x 条,由题意得:
180(x﹣2)=1080,解得:x=8, 故答案为:8.
12.【解答】解:∵a+b=5,a﹣b=3,
∴a2﹣b2
=(a+b)(a﹣b)
=5×3
=15,
故答案为:15.
.10
.31【解答】解:当 x<﹣2 时,﹣x+m>nx+4n,
∴关于 x 的不等式﹣x+m>nx+4n 的解集为 x<﹣2.
故答案为:x<﹣2.
.41【解答】解:由题意可知,CF 是∠BCD 的平分线,
∴∠BCE=∠DCE.
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴∠DCE=∠F,∠BCE=∠AEF,
∴BF=BC=8,
∵AB=6,
∴AF=8﹣6=2.故答案为:2.
三、解答题(本大题共 6 个小题,共 54 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.【解答】解:(1)原式=(x﹣y)(9a2﹣4b2) =(x﹣y)(3a+2b)(3a﹣2b);
11
(2)原式= ÷
= •
=x+1.
16.【解答】解:解不等式
1﹣2(x﹣1)≤5 得:x≥﹣1,解不等式 得:x<3, 不等式组的解集为:﹣1≤x<3,
11
不等式组的解集在数轴上表示如下:
符合不等式组解集的整数解为:﹣1,0,1,2.
.71【解答】解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求,A1 的坐标为(2,﹣3);
(2)如图所示,△A2B2C2 即为所求.
.81【解答】(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∵E、F 分别为边 AB、CD 的中点,
∴DF=BE,又 AB∥CD,
∴四边形 DEBF 是平行四边形,
∴DE∥BF;
(2)∵AG∥DB,AD∥CG,
∴四边形 AGBD 是平行四边形,
12
∵∠G=90°,
∴平行四边形 AGBD 是矩形,
∴∠ADB=90°,又 E 为边 AB 的中点,
∴ED=EB,又四边形 DEBF 是平行四边形,
12
∴四边形 DEBF 是菱形.
.91【解答】解:(1)设 B 型机器人每小时搬运 x 千克材料,则 A 型机器人每小时搬运(x+30)千克材料,根据题意,得=,
解得 x=120.
经检验,x=120 是所列方程的解.当 x=120 时,x+30=150.
答:A 型机器人每小时搬运 150 千克材料,B 型机器人每小时搬运 120 千克材料;
(2)设购进 A 型机器人 a 台,则购进 B 型机器人(20﹣a)台,根据题意,得 150a+120(20﹣a)≥2800, 解得 a≥
.
∵a 是整数,
∴a≥14.
答:至少购进 A 型机器人 14 台.
.02【解答】解:(1)结论:BD=MF,BD⊥MF.理由:如图 1,延长 FM 交 BD 于点 N,
13
由题意得:△BAD≌△MAF.
∴BD=MF,∠ADB=∠AFM.又∵∠DMN=∠AMF,
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°,
∴∠DNM=90°,
∴BD⊥MF.
(2) 如图 2,
13
①当 AK=FK 时,∠KAF=∠F=30°,
则∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°,
即β=60°;
②当 AF=FK 时,∠FAK=(180°﹣∠F)=75°, ∴∠BAB1=90°﹣∠FAK=15°,即β=15°;
综上所述,β的度数为 60°或 15°;
(3) 如图 3,
14
由题意得矩形 PNA2A.设 A2A=x,则 PN=x,
在 Rt△A2M2F2 中,∵F2M2=FM=4,∠F=∠ADB=30°, ∴A2M2=2,A2F2=2,
∴AF2=2﹣x.
∵∠PAF2=90°,∠PF2A=30°, ∴AP=AF2•tan30°=2﹣x,
∴PD=AD﹣AP=2 ﹣2+ x.
∵NP∥AB,
∴∠DNP=∠B.
14
∵∠D=∠D,
∴△DPN∽△DAB, ∴ = ,
∴ = , 解得 x=3﹣,即 A2A=3﹣,
∴平移的距离是(3﹣ )cm.
三、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分) 21.【解答】解:当 x=+5 时,
原式=(x﹣3﹣2)2
=(x﹣5)2 =(+5﹣5)2 =()2
=5,
15
故答案为:5.
.2【 解 答 】 解 : , 解 ①
得 x<2, 解②得 x>
,
不等式组有实数解,则 2>
,解得 a<1,
所以任取一张,将该卡片上的数字记为 a,则使关于 x 不等式组故答案为: .
.32【解答】解:方程两边都乘以(x﹣5),得 x﹣6=﹣k,
有实数解的概率== ,15
解得 x=6﹣k, ∵分式 =
方程有正数解,
∴x=6﹣k>0,且 6﹣k≠5解得:k<6,且 k≠1,
∴k 的取值范围是 k<6 且 k≠1.故答案为:<6 且 k≠1.
.42【解答】解:连接 AC,如图所示.
∵四边形 OABC 是菱形,
∴OA=AB=BC=OC.
∵∠ABC=60°,
∴△ABC 是等边三角形.
∴AC=AB.
∴AC=OA.
∵OA=1,
∴AC=1.
画出第 5 次、第 6 次、第 7 次翻转后的图形,如图所示.由图可知:每翻转 6 次,图形向右平移 4.
16
∵2024=337×6+2,
∴点 B2 向右平移 1348(即 337×4)到点 B2024.
∵B2 的坐标为(2,0),
∴B2024 的坐标为(2+1348,0),
∴B2024 的坐标为(1350,0).故答案为:(1350,0);
.52【解答】解:∵把△ABE 沿 BE 翻折,得到△FBE,
∴AE=EF,∠AEB=∠FEB,
16
∴∠AEB=(180°﹣∠DEF), ∵E 为 AD 边的中点,
∴AE=DE,
∴DE=EF,
∴∠EDF=∠EFD,
∴∠EDF=(180°﹣∠DEF), ∴∠AEB=∠EDF,
∴BE∥DG,
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴DE∥BG,
∴四边形 BEDG 为平行四边形;
∴DE=BG,DG=BE=3,
∵四边形 ABCD 是平行四边形,AE=DE,▱ ABCD 的面积等于 6, ∴S△ABE=S 平行四边形ABCD=, 连接 AF 交 BE 于 H,则 AH⊥BE,AH=HF,
∵BE=3,
∴AH=1,
17
∴AF=2,
∵BE∥DG,
∴AF⊥DG,
∴DF== = ,
∴FG=DG﹣FD=3﹣ ,故答案为:3﹣ .
四、解答题(本大题共 3 个小题,共 30 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演步骤)26.【解答】解:(1)∵80x+60(100﹣x)≤7500,
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解得:x≤75,
∴y=40x+30(100﹣x)(65≤x≤75);
(2)∵y=(40﹣a)x+30(100﹣x)=(10﹣a)x+3000,
方案 1:当 0<a<10 时,10﹣a>0,y 随 x 的增大而增大,所以当 x=75 时,y 有最大值,则购进 A 种服装 75 件,B 种服装 25 件;
方案 2:当 a=10 时,所有方案获利相同,所以按哪种方案进货都可以;
方案 3:当 10<a<20 时,10﹣a<0,y 随 x 的增大而减小,所以当 x=65 时,y 有最大值,则购进 A 种服装 65 件,B 种服装 35 件.
27.【解答】解:(1)在 Rt△ABC 中,AB=AC=4,根据勾股定理得,BC=点 D 为 BC 的中点,
AB=4,
∴AD= BC=2 , ∵四边形 CDEF 是正方形,
∴AF=EF=AD=2 ∵BE=AB=4,
,
∴BE= AF,
18
18
故答案为 BE=AF;
(2) 无变化;
如图 2,在 Rt△ABC 中,AB=AC=4,
∴∠ABC=∠ACB=45°, ∴sin∠ABC= =
,
在正方形 CDEF 中,∠FEC=∠FED=45°,在 Rt△CEF 中,sin∠FEC=∴ = ,
∵∠FCE=∠ACB=45°,
= ,
∴∠FCE﹣∠ACE=∠ACB﹣∠ACE,
∴∠FCA=∠ECB,
∴△ACF∽△BCE,
∴ = = ,
∴BE=
AF,
∴线段 BE 与 AF 的数量关系无变化;
(3) 当点 E 在线段 AF 上时,如图 2,
由(1)知,CF=EF=CD=2,
在 Rt△BCF 中,CF=2,BC=4 ,根据勾股定理得,BF=2 ,
∴BE=BF﹣EF=2 ﹣2 ,由(2)知,BE= AF,
∴AF=2 ﹣2,
当点 E 在线段 BF 的延长线上时,如图 3,
19
在 Rt△ABC 中,AB=AC=4,
∴∠ABC=∠ACB=45°, ∴sin∠ABC= =
,
在正方形 CDEF 中,∠FEC=∠FED=45°,在 Rt△CEF 中,sin∠FEC== ,
∴ = ,
∵∠FCE=∠ACB=45°,
∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE,
∴∠FCA=∠ECB,
∴△ACF∽△BCE,
19
∴ = = ,
∴BE=AF,
由(1)知,CF=EF=CD=2 ,
在 Rt△BCF 中,CF=2,BC=4 ,根据勾股定理得,BF=2 ,
∴BE=BF+EF=2 +2 , 由(2)知,BE= AF,
∴AF=2 +2.
即:当正方形 CDEF 旋转到 B,E,F 三点共线时候,线段 AF 的长为 2﹣2 或 2+2.28.【解答】解:(1)对于直线 y=﹣x+6,令 x=0,得到 y=6,可得 A(0,6),令 y=0,得到 x=8,可得 D(8,0),
20
∴AC=AO=6,OD=8,AD= =10,
∴CD=AD﹣AC=4,设 BC=OB=x,则 BD=8﹣x,在 Rt△BCD 中,∵BC2+CD2=BD2, ∴x2+42=(8﹣x)2,
∴x=3,
∴B(3,0).
(2)设直线 AB 的解析式为 y=kx+6,
∵B(3,0),
∴3k+6=0,
∴k=﹣2,
∴直线 AB 的解析式为 y=﹣2x+6,作 GM⊥x 轴于 M,FN⊥x 轴于 N,
20
∵△DFG 是等腰直角三角形,
∴DG=FD,∠1=∠2,∠DMG=∠FND=90°,
∴△DMG≌△FND(AAS),
∴GM=DN,DM=FN,设 GM=DN=m,DM=FN=n,
∵G、F 在直线 AB 上,
则:m=﹣2(8﹣n)+6,﹣n=﹣2(8﹣m)+6,解得:m=2,n=6 ∴F(6,﹣6).
(
3)如图,设 Q(a,﹣ a+6),
∵PQ∥x 轴,且点 P 在直线 y=﹣2x+6 上,
21
∴P( a,﹣ a+6),
∴PQ=a,作 QH⊥x 轴于 H.
∴DH=a﹣8,QH= a﹣6, ∴ = ,
由勾股定理可知:QH:DH:DQ=3:4:5,
∴QH=DQ= a, ∴ a= a﹣6, ∴a=16,
∴Q(16,﹣6),P(6,﹣6),
∵ED∥PQ,ED=PQ,D(8,0),
∴E(﹣2,0)
21
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