圆锥曲线大题训练
一、解答题（共19题；共210分）
1.（2021·贵阳二模）在平面直角坐标系中，椭圆 （1）求椭圆 （2）过椭圆 足
的方程； 左焦点 ，求
的直线 （不与坐标轴垂直）与椭圆 .
的离心率为
，左顶点为A，右焦点F，
.
交于
，
两点，若点
满
：
的焦距为2，且过点
.
2.（2021·淮北模拟）已知椭圆
过F且斜率存在的直线交椭圆于P，N两点，P关于原点的对称点为M. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线
，
的斜率分别为
，
，是否存在常数 ，使得
恒成立？若存在，请求
出 的值，若不存在，请说明理由. 3.（2021·高州一模）已知点 点与抛物线 （1）求椭圆 （2）若直线
为椭圆
作直线
，
，与椭圆
上一点，且椭圆 分别交于点
，
的一个焦．
的焦点重合，过点
的标准方程与离心率； ，
的斜率之和为0，证明：直线 的斜率为定值． 的左顶点为
，右焦点为
，动点
在
4.（2021·八省联考）双曲线 上．当 （1）求 （2）若
时，
的离心率； 在第一象限，证明：
．
．
的左右顶点分别为
，直线
与椭圆
、
，
为直线
上的动点，直
5.（2021·崇明一模）已知椭圆 线
与椭圆
的另一交点为
的另一交点为 .
（1）若点 （2）若点
的坐标为 的坐标为
，求点 ，求以
的坐标；
为直径的圆的方程；
（3）求证：直线 过定点.
=1(a>b>0)的离心率为
， 且直线
=1与圆x2+ y2=2相
6.（2021·成都一诊）己知椭圆C： 切．
（1）求椭圆C的方程；
1
（2）设直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C 相交于点P，且0点在以4B为直径的圆上。记△AOM，△BOP的面积分别为S1 ， S2 ， 求 范围．
7.（2021·玉溪模拟）已知椭圆C： ，抛物线
的离心率
，左、右焦点分别为
， 的取值
的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）记椭圆C与x轴交于A，B两点，M是直线 交点分别为D，E．求证：直线 8.（2021·凉山州模拟）椭圆
，直线 （1）求椭圆
的方程；
与直线
的斜率之和为定值，并求出这个定值.
的右焦点坐标为
和
，
，且长轴长为短轴长的
： (
)与 过定点
( 交于
，
上任意一点，直线 ．
)的左焦点为 两点（异于点
，且椭圆
）.
经过点
，
与椭圆C的另一个
（2）证明：直线
9.（2021·松江一模）已知椭圆Γ： 倍，直线l交Γ椭圆于不同的两点
（1）求椭圆Γ的方程； （2）若直线l经过点 （3）若直线l的方程为 x轴相交于P､Q两点，求证： 10.（2021·青浦一模）已知动点 （1）求动点 （2）已知点 数，证明直线 （3）已知点 证明：直线
所在的曲线
，
，且
的面积为 ，点
，求直线l的方程；
，直线
，
分别与
关于x轴的对称点为
为定值. 到直线
的距离比到点
的距离大 . 的斜率与直线
的斜率互为相反
的方程；
是曲线 上的两个动点，如果直线
的斜率为定值，并求出这个定值； ， 过定点.
，
、
为
的左、右焦点.
是曲线
上的两个动点，如果直线
的斜率与直线
的斜率之和为2，
11.（2021·浦东模拟）已知椭圆 （1）求椭圆
的焦距；
2
（2）点 为椭圆 一点，与 平行的直线 与椭圆 交于两点A、B，若 面积
为 ，求直线 的方程； （3）已知椭圆 满足
与双曲线
组成曲线
在第一象限的交点为 ．若点
是曲线
上一动点，求
，椭圆
和双曲线
上
的所有点 的取值范围． 有相同的焦点
，抛
12.（2021·榆林模拟）已知椭圆 物线
的准线交椭圆
于
，
两点，且
与抛物线 .
（1）求椭圆 与抛物线 的方程； 为椭圆
交于
上任意一点，以 ，
为圆心，
为半径的圆
与椭圆
的焦点
（2）为坐标原点，若 为圆心，以
为半径的圆 两点，求证： 为定值.
，椭圆的中心
到直线
13.（2021·汉中模拟）已知椭圆
的距离为
（1）求椭圆 （2）设过椭圆 ，若
.
的离心率为
的方程； 的右焦点
且倾斜角为 ，求
的直线 和椭圆交于
两点，对于椭圆
上任意一点
的最大值.
的焦点为
，直线
与抛物线
交于
，
两
14.（2020·宝鸡模拟）已知抛物线 点. （1）若 （2）已知圆
，求
的面积.
，过点P（4,4）作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点分别为D，
E，求证直线DE也与圆M相切. 15.（2020·深圳模拟）已知
，
分别是椭圆
的左、右焦点. ，求点P的坐标；
（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点， （2）设过定点
的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），
求直线l的斜率k的取值范围.
16.（2020·扬州模拟）如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
的右准线为直线 两点，且O到直
，左顶点为A，右焦点为F. 已知斜率为2的直线l经过点F，与椭圆E相交于 线l的距离为
3
（1）求椭圆E的标准方程； （2）若过O的直线
与直线
分别相交于
两点，且
，求k的值.
17.（2020·济宁模拟）已知点F为椭圆 （1）求过点F、A且和直线
的右焦点，点A为椭圆的右顶点.
相切的圆C的方程；
（2）过点F任作一条不与 轴重合的直线 ，直线 与椭圆交于P，Q两点，直线PA，QA分别与直线
相交于点M，N.试证明：以线段MN为直径的圆恒过点F. 18.（2020·盐城模拟）已知椭圆C： 交于A ， B两点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l过椭圆的右焦点F ， 且 19.（2020·龙岩模拟）已知椭圆Γ：
，求直线l方程．
的左，右焦点分别为F1(
，0)，F2(
，
的离心率
，焦距为2，直线l与椭圆C
0)，椭圆的左，右顶点分别为A，B，已知椭圆Γ上一异于A，B的点P，PA，PB的斜率分别为k1 ， k2 ， 满足
.
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）若过椭圆Γ左顶点A作两条互相垂直的直线AM和AN，分别交椭圆Γ于M，N两点，问x轴上是否存在一定点Q，使得∠MQA=∠NQA成立，若存在，则求出该定点Q，否则说明理由.
4
答案解析部分
一、解答题
1.【答案】 （1）解：由题可知 ∴ ∴ 又
∴
， ∴ ，
，
.
，
，又
，
，
所以椭圆
的方程为：
（2）解：设 ， ， 中点 ，直线 的方程为： ，
由 可得 ，
∴ ，
∴ ∵ ∴ ∴ 所以 所以
，∴
，∴ ，∴
， ， ，
， ，
，
.
：
的焦距为2，求出c的值，再利用椭圆过点
【解析】【分析】(1)利用椭圆
，结合代入法求出a,b的关系式，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出a,b的值，进而求出
椭圆的标准方程。 （2） 设
，
， 再利用中点坐标公式设出AB的中点坐标，再利用椭圆标准方程求出左
的方程，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理，
焦点坐标，再利用点斜式设出直线
5
从而求出AB中点坐标与k的关系式， ∵ ，∴ ， 再利用两点求斜率公式，从
的值。
，
而求出直线AB的斜率，进而求出直线AB的方程，再利用韦达定理结合弦长公式，从而求出 2.【答案】 （1）解：因为离心率为
，又
（2）解：由（1）知 因为 所以
与
，所以
，
，所以 ，所以椭圆方程为
，设直线
的方程为 ，又
，
，
，所以
，解得
关于原点对称，所以 ，
恒成立，所以
得
在椭圆上，所以
若存在 ，使得 所以 两边同乘 又因为 所以 所以 当 所以 当
时，
与
时，则
①；
重合，
联立方程 ，消元得 ，所以
所以 代入①得
【解析】【分析】（1）利用椭圆
，
，整理得
的离心率为
，解得
，左顶点为A，右焦点F，
， 从而求出关于a,c的方程组，解方程组求出a,c的值，进而利用椭圆中a,b,c的关系式，从而求
出b的值，进而求出椭圆的标准方程。
（2）由（1）求出的椭圆的标准方程确定焦点的位置，进而求出左顶点为A和右焦点F的坐标，再利用斜截式设出直线
的方程为
，
，
， 因为
与
关于原点对称，所
6
以
恒成立，所以 重合，联立直线
， 再利用两点求斜率公式求出
， 所以
，， 若存在 ，使得 ①，当
时，
与
和椭圆的方程结合韦达定理和代入法， 代入①整理得出 的值。
3.【答案】 （1）解：由题设，得 由①②解得 所以椭圆 椭圆
（2）解：直线 证明：设直线 记 设直线 与椭圆 则 则 设直线 同理得 因为
的方程为
． ，
， 的方程为
的方程联立，并消去 得 ，
是该方程的两根，
，即
，
的斜率为定值1. 的斜率为 ，则直线
．
，
，
，
，
．
，①且 ，②
的标准方程为
的离心率为
的斜率为 ，
，
．
，
所以 因此直线
的斜率为定值．
为椭圆 的一个焦点与抛物线
，
【解析】【分析】（1）利用点 出
，① ，再利用椭圆
上一点，结合代入法，得
的焦点重合，从而结合抛物线标
准方程求出焦点坐标，进而求出椭圆焦点坐标，从而求出c的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而推出
，② ， 由①②解得a,b的值，进而求出椭圆的标准方程，进而结合椭圆离心率公
式求出椭圆的离心率。 （2）利用直线 记
，
，
的斜率之和为0， 所以设直线 ，再利用点斜式设出直线
的斜率为 ，则直线
的斜率为
，
的方程，再利用直线 与椭圆相交，联立二者方
7
程求出点A的坐标，再利用点斜式设出直线 的方程，再利用直线
的斜率为定值。
与椭圆相交，联立二者方程求
出点B的坐标， 再利用两点求斜率公式证出直线
4.【答案】 （1）解：设双曲线的半焦距为 ，则 因为 故
（2）解：设 因为
，故
，其中 ，
， ，所以
.
.
，故
，故
， ，即
， ，
故渐近线方程为： 当 又
时，
， ，
， ，
所以
，
因为故 故 当 综上，
.
，由（1）可得
.
，
，故
.
，
【解析】【分析】（1） 设双曲线的半焦距为 ，结合双曲线的标准方程确定焦点的位置，则 再利用动点
在双曲线
上，所以
， 因为
，故
， 再利用双曲线中
a,b,c三者的关系式，从而求出a,c的关系式，再利用离心率公式变形结合一元二次方程求根的方法，从而求出双曲线的离心率。 （2） 因为点
在第一象限， 所以设
，其中
，由（1）求出的双曲线离心率结
合离心率公式，从而求出a,c的关系式，再利用双曲线中 a,b,c三者的关系式，从而求出a,b的关系式，从而求出双曲线渐近线方程，所以
，
，当
时，再利用，
直线的倾斜角与直线斜率的关系式结合两点求斜率公式，从而求出
8
， 再利用二倍角的正切公式，从而求出，故
故
，从而证出
， 当
。
，所以直线
；
的方程为
=
，由（1）可得
，因为
，
5.【答案】 （1）解：因为 令
（2）解：因为
，得
，所以
，
，所以直线 的方程为 ，
由 得 ，所以 ，
所以以
为直径的圆的方程为 ，即 ；
（3）证明：设 ，因为 ，直线 的方程为 ，
由 得 ，
由韦达定理得 所以
，所以 ，同理，直线
， 的方程为
，
由 得 ，
由韦达定理得 ，所以 ，所以
，则
共线，
恒成立，
，
三点共线，
由椭圆的对称性知这样的定点在 轴上，设为 所以 所以 整理得
恒成立，所以 ，故直线 过定点 . 为直线
上的动点，
，
【解析】【分析】利用椭圆的标准方程求出左、右顶点A,B的坐标，再利用点 从而求出点P的坐标，再利用两点式求出直线PA的直线，再利用直线 联立二者方程求出交点C的坐标，再利用点
的坐标为
与椭圆 的另一交点为
，从而求出点P的坐标。
的坐标为
，从而利用两点式求
（2）利用椭圆的标准方程求出左、右顶点A,B的坐标，再利用点 出直线PB的直线，再利用直线 PB与椭圆
的另一交点为 D ，联立二者方程求出交点D的坐标，再利
用中点坐标公式求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出圆的直径，进而求出圆的半径，从而求出 以
9
为直径的圆的方程。
（3）利用椭圆的标准方程求出左、右顶点A,B的坐标，再利用点
与椭圆
的另一交点为
为直线
上的动点， 设 的方程，再利用直线
， 从而利用两点求斜率公式求出直线PA的斜率，再利用点斜式设出直线
， 联立二者方程求出交点C的坐标， 再利用两点求斜率公式求出直线PB
的另一交点为 D ，联立二者方程
，则
三点共
的斜率，再利用点斜式设出直线 PB的方程，再利用直线 PB与椭圆
求出交点D的坐标，再利用椭圆的对称性知这样的定点在 轴上，设为
线， 再利用三点共线得出两向量共线，再利用共线向量的坐标表示，从而变形整理求出m的值，进而求出直线的定点，从而证出直线
过定点。
6.【答案】 （1）解：椭圆的离心率为 ，∴
=
(C为半焦距)． ∵直线 =1，即bx+ay-ab=0与圆x2+y2=2相切，． ∴
又∵c2 +b2=a2 ， ∴a2=6，b2=3．∴椭圆C的方程为 =1
（2）解：∵M为线段AB的中点，∴
(i)当直线l的斜率不存在时，由OA⊥OB及椭圆的对称性，如下图1 不妨设OA所在直线的方程为V=x，得 =2．
则
=2，
=6，∴
(ii)当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+m(m≠0)，A(x1 ， y1)，B(x2 ，由
消去y，得(2k2 +1)x2+4kmx+2m2-6=0．
∴△=16k2m2-8(2k2+1)(m2-3)=8(6k2-m2+3)>0，即6k2-m2+3>0． ∴x1+x2=
，x1x2=
∵点O在以AB为直径的圆上， =0，即x1x2+y1y2=0．
∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2 +km(x1+x2)+m2=0． ∴(1+k2)
+km
+m2=0，
10
y2)．
化简得m2=2k2+2，经检验满足△>0成立． 线段AB的中点M(
，
)
当k=0时，m2=2，此时
当k≠0时，射线OM所在的直线方程为y= x，
由 消去y，得 ，
∴ ∴ ∴
∈(
，
)
综上， 的取值范围为 ( ， )
之间的关系求出
的值，进而求出椭圆的
【解析】【分析】（1）由离心率和直线与圆相切，即方程；
（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况，设直线l的方程与椭圆联立求出两根之和，可得线段AB的中点M的坐标，求出射线OM所在的直线的方程与椭圆联立，求出P的值，再代入面积公式可得 ，
的取值范围 。
，所以
，
，即
．
7.【答案】 （1）解：因为椭圆C的离心率 由
得
，所以 的焦点
． ．
，其焦点为
因为抛物线 所以
，所以
恰好是该椭圆的一个顶点，
所以椭圆C的方程为
（2）解：由（1）可得 直线 将
设点D的坐标为 故
，则
的方程为：
与
，则
， ．
，设点M的坐标为 ，
联立消去y整理得：
， ．
．
11
直线 将
的方程为：
与
，则
，
联立消去y整理得：
， ，
， ．
经过定点H．
．
设点E的坐标为 故 直线 直线 因为
，则 的斜率为 的斜率为 ，所以直线
【解析】【分析】 （1）首先根据题意求出抛物线的焦点坐标，即可求出椭圆的a的值，再利用离心率即可求出c的值，从而求出b的值，即可求解；
（2）由题意方程可得A，B两点的坐标，再设出点M的坐标，即可得到直线MA的方程与椭圆方程联立，求出点D的坐标，同理求出点E的坐标，求出直线HD，HE的斜率，可得两直线的斜率相等，则可得直线DE过定点H．
8.【答案】 （1）解：由题意得： 则
椭圆方程为
（2）证明：解法一（常规方法)：设
，
；
联立 化简可得： 直线
即 解得： 由韦达定理
，
与椭圆
交于
两点
直线
得斜率和为定值 ．
12
解法二（构造齐次式)：由题直线 ①当直线 则 即 由 则 整理成关于 进而两边同时除以 则 令 则 ②当直线
过原点时，设直线
的方程为
综合
直线
与直线
的斜率之和为定值 ．
的齐次式： ，
有 有
不过原点时，设直线
为
恒过定点
，
【解析】【分析】（1） 由题意得： （2） 设 到
9.【答案】 （1）解：由题意得 解得
（2）解：设点 设直线l的方程为 由方程组
，得 ，
的坐标为
.
､
，
，进而求得 的值，得到 椭圆 的方程 ；
，联立直线方程与椭圆方程，消元，利用韦达定理得
， 利用两点斜率坐标公式，结合韦达定理证得结果。 ，
， .
，所以椭圆Γ的方程为
，由题意可知，直线l的斜率存在
所以 ，
13
解得
.∴直线l的方程为
（3）解：由题意知 将 得： ∴
，代入
点的坐标为
，
，
对于直线 对于直线
：
，令 得 ∴ ，令
得
，∴
.
【解析】【分析】（1）根据题意，结合 （2） 设直线l的方程为
面积等于
（3）由已知得
10.【答案】 （1）解：已知动点 等价于动点
到直线
由抛物线的定义可得曲线 且
（2）解：设直线 因为直线 则 联立方程组
的斜率为 ，
的斜率互为相反数，所以直线
，整理得
，
的斜率为
，
的斜率与直线
，
，所以曲线
到直线
的距离比到点 的距离相等， 为焦点，以直线 .
为准线的方程， 的距离大 ，
的距离和到点 的轨迹时以
的关系即求得椭圆的方程；
， 与椭圆方程联立，然后根据韦达定理以及面积计算公式，表示出
， 求解k的值，即可得直线的方程；
的坐标，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，并求出直线
， 并根据直线方程求出
的方程，令
，求出， 即可得， 然后相乘代入化简即可。
的方程为
即 ，可得
14
联立方程组 ，整理得 ，
即 ，可得
所以
（3）解：设直线 则 两类方程组
，即直线 的斜率为定值 .
的斜率为 ，所以直线 ，
，整理得
的斜率为
，
，
即 ，可得 ，
联立方程组 ，可得 ，
即 ，可得
所以 ，
所以 所以直线
恒过
.
，整理得
【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义即可求解； （2） 设直线 得直线
的斜率为 ， 由直线
的斜率与直线
的斜率互为相反数，得直线
的斜率为
， 静儿。可求出直线PA, PB的方程分别与抛物线方程联立，求出点A, B的坐标，根据斜率的公式可
的斜率为定值；
的斜率为 ，所以直线
的斜率为
， 由 可知A的坐标，写出PB的方程，（2）
（3） 设直线
与抛物线方程联立，求得B的坐标，写出AB所在直线方程，由直线系方程可得直线AB过定点。
11.【答案】 （1）解：由椭圆 （2）解：设 由
的方程知：
得
得
，
，即焦距为
，
.
，代入
，
15
所以 ，
所以Q到直线 的距离 ，由 ，得
所以
（3）解：由 解得 ，设 是曲线 上一点，又 ，
，
∴
， ，
，
当 当 所以 当 当
在曲线
时，
；
在曲线
时，
上时，
，当
时，
，
，
上时，
，
.
；
；
综上，
【解析】【分析】（1）由椭圆方程，根据参数关系以及焦距的含义即可求出焦距； （2）由直线和椭圆关系，令
，与椭圆方程联立有
面积为 ， 即可求出的值；
是曲线 上一点， 应用向量数量积
， 应
用弦长公式，点线距离公式，三角形面积公式结合已知 （3）由题意知则曲线C由双曲线、椭圆中的部分构成，令
16
的坐标表示及可得 ， 讨论N在椭圆部分或双曲线部分，求
得 的取值范围。
可得焦点 ，所以
①，
，
12.【答案】 （1）解：椭圆 抛物线
的焦点为
由 可得 ，解得 ，
所以
由①②可得： 所以椭圆
（2）证明：设 圆
的方程为：
，
②，
，
，抛物线C的方程为：
；
的方程为：
，则
，
，圆 的方程为： ，
所以直线 设点 则
到直线
的方程为：
的距离为 ，
，
.
.
所以
为定值.
17
【解析】【分析】（1）由已知求出椭圆的焦点 圆有相同的焦点，可得 再由 （2） 设 为：
解出
，抛物线的焦点 ， 再由抛物线与椭
，
，把抛物线的准线方程与椭圆方程联立，可得 ，
， 可得椭圆 与抛物线 的方程；
，圆 的方程
， 设点 到直线
为定值 。
， 圆 的方程为：
， 直线
的方程为：
的距离
为 ， 根据点到直线的距离公式求出， 进而得出
13.【答案】 （1）解： 椭圆的中心
到直线
， 的距离为
， ，
.
， . .
椭圆
的方程为 .
（2）解：由（1）可知 ，由题可知直线 的方程为 ，
与椭圆 的方程联立 ， .
设 设
，由
，则有
得
.
，
又
点
在椭圆上，
，
.①
点
在椭圆上，
.②
.③
将②③代入①可得
，
，
18
，
，当且仅当 的最大值为
.
的离心率为
的距离为
，结合点到直
时取“
”.
【解析】【分析】（1）利用椭圆的离心率公式结合已知条件椭圆
，从而求出a,c的关系式， 再利用椭圆的中心
到直线
线的距离公式，从而求出b的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式求出a,b,c的值，进而求出椭圆的标准方程。
（2）利用椭圆的标准方程确定焦点的位置，进而求出右焦点坐标，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，从而结合已知条件求出直线的斜率，再利用点斜式求出过椭圆 直线 的方程，再利用直线 和椭圆交于
， 设
，由
的右焦点
且倾斜角为
的
两点，联立二者方程结合韦达定理得出
，结合向量的坐标运算得出
， 又因为点 在椭圆上结合代入法， ，
① ，
② ， 将②③代入①可得
求最值的方法，从而求出
的最大值 。
点 在椭圆上结合代入法，
， 再利用均值不等式
14.【答案】 （1）解：抛物线的焦点为F(1,0)，设 把 可得
方程代入抛物线
，
,
点F到直线 的距离
，
，
，
（2）解：设过点P的直线方程为 由直线与圆M相切得
，可得
，
，
设切线 的斜率分别为 ，则 ，
19
把 则4， 可得
是方程
代入抛物线方程可得
的两根,
,同理
.
,
则有D（4（t1-1）2,4t1-4），E（4（t2-1）2,4t2-4） 直线DE： 即为
则圆心 由
到直线DE的距离为
，代入上式，化简可得
，
，
所以直线DE与圆M相切.
【解析】【分析】（1）利用抛物线标准方程确定焦点位置，从而求出焦点坐标，再利用直线 与抛物线
交于
，
两点，联立二者方程结合韦达定理和弦长公式求出AB两点的距离，再利用点到
的面积 。 的斜率分别为
，
直线的距离公式求出焦点到直线的距离，再利用三角形面积公式求出三角形 （2）利用点斜式设出设过点P的直线方程为
， 设切线
再利用直线与圆相切的位置关系判断方法结合点到直线的距离公式，再结合韦达定理得出
， 利用过点
作圆
的两条切线，与曲线
交于另外两点分别为
，
， 联立直线与切线的方程求出点D,E的坐标，进而利用两点式求出直线CD的方程，再利用点到直线的距离公式结合代入法求出圆心 线
也与圆
相切。
+y2=1，所以a=2，b-1，c=
，
到直线DE的距离，再利用直线与圆位置关系判断方法，从而 证出直
15.【答案】 （1）解：因为椭圆方程为 可得F1(- 则
，0)，F2( =(-
，0)，设P(x，y)(x>0，y>0)
-x，-y)=x2+y2-3=
-x，-y)·(
联立
解得 ，→
即P(1，
)
（2）解：显然x=0不满足题意，可设的方程为y=kx+2， A(x1 ， y1)，B(x2 ， y2)，
20
联立」4
→(1+4k2)x2+16kx+12=0，
12>0，得k2> 由△=(16k)2-4(1+4k2)·x1+x2=
，x1x2=
>0，
又∠AOB为锐角，即
即x1x2+y1y2>0，x1x2+(kx1+2)(kx2+2)>0， (1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=(1+k2) 可得k2<4.又k2> 解将k∈(-2，-
，即为 )∪(
+2k( >0， 【解析】【分析】（1）由椭圆的标准方程求出a,b,c的值，从而求出左焦点和右焦点坐标，再利用数量积的坐标表示结合圆与椭圆相交，联立二者方程求出交点的方法，从而求出点P的坐标。 （2）利用点斜式求出过定点 值范围。 16.【答案】 （1）解：设椭圆E的焦距为 则直线 的方程为 因为O到直线 的距离为 ，即 ，故 ， . ， 的直线l方程，再利用直线l与椭圆交于不同的两点A，B，联立二 者方程结合韦达定理和判别式法，从而利用数量积的坐标表示和取值范围，从而求出直线l的斜率k的取 所以 ，则 . 因为椭圆E的右准线的为直线 故椭圆E （2）解：由(1)知 ： 的标准方程为 ，则 . ，所以 ， ， ，设 ， . 由 得 ，则 . 由 ， 可知 ， 由 得 ， 21 同理 . 因为 由图可知 所以 即 所以 ，所以 ， ， ， ， . 【解析】【分析】（1）根据准线方程和原点到直线的距离可求出 设 ， 可得 的值. 17.【答案】 （1）解：由已知得： 圆C的圆心一定在线段AF中垂线 由圆C与直线 相切，得：圆C的半径 ，则有： ， 即圆心 圆C的方程为： （2）解：当直线 斜率不存在时，其方程为 联立 ,解得 ，又因为 , . 上 ，联立直线m和直线 的坐标关系，联立直线 ，从而可得椭圆的标准方程.（2） 的方程可得M的坐标，同理可得N的坐标，根据 和椭圆的方程，利用韦达定理化简前述关系可求斜率 设圆C的圆心坐标为 所以直线 为 . 或 ，又 可求得M,N两点坐标分别为 的斜率之积为： . 当直线 斜率存在时，设直线 的方程为： 22 联立方程组： 消去 整理得： ， 又设 由P,A,M共线得： 由Q,A,N共线得： ， ， 所以FM,FN的斜率之积为： 综上可知：恒有 以线段MN为直径的圆恒过点F. 【解析】【分析】由已知可得 ，即可求出其中垂线 等价于 ,即可得出半径为7,即可求出圆心 ,讨论直线 的斜率是否存 ，即可 坐标.即可写出圆C的方程.以线段MN为直径的圆恒过点 在，写出直线，联立解出P、Q,结合 说明 . ，则由 写出直线 ,即可得到点M，N，结合 18.【答案】 （1）解：设椭圆的焦距为 则 ； （2）解：当直线l为 不满足 所以设直线l： 联立 设 则 ， ， ； ， 时， ， ， ， ， 23 又 , ， 故直线l： ，即 ． 【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和焦距确定基本量，从而得到椭圆的方程；（2）设出直线的待定系数方程，与椭圆方程联立，根据线段长度关系得到点的纵坐标的关系求解． 19.【答案】 （1）解：设 ， ， ， 则 椭圆 . 的标准方程为 . （2）解：由（1）可知左顶点 设直线 设 联立 直线 和椭圆 交于 和 的方程分别为 ， ，且过点 和 的直线 和 ， 的斜率存在， ， 两点， ， ， 同理 设 轴上存在一定点 . ，使得 ，则 成立，则 ， ， ， 即 ，解得 . 24 因此 轴上存在一定点 【解析】【分析】（1）设 ，再由 ，使得 ，根据题意可得 成立. ，结合椭圆的方程化简可得 和 的方程分别为 ，使得 和 即可求解. （2）根据设直线 、 ，将直线方程与椭圆方程联立求出 成立，则 ，设 轴上存在一定点 ，利用两点求斜率化简即可求得. 25 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容