考点十四：三角形
聚焦考点☆温习理解 一、三角形
1、三角形中的主要线段
（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
2、三角形的三边关系定理及推论
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 3、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论：
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。 二、全等三角形
1、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理：
1
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”） （2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”） （3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。 直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
2.全等三角形的性质： 三、等腰三角形
1、等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。 2、等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 3、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
名师点睛☆典例分类 考点典例一、三角形中位线
【例2】（2014·河北）如图，△ABC中，D，E分别上边AB，AC的中点，若DE=2，则BC=（ ）
2
A、2 B、3 C、4 D、5 【答案】C.
考点：三角形中位线定理.
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用． 【举一反三】
1．(2015·湖北衡阳，18题，3分)如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、
B两点的点O 处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN＝20m，则池塘的宽度AB为 m．
【答案】40
考点： 三角形中位线定理
考点典例二、等腰三角形
【例2】(2015·湖北衡阳，7题，3分)已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则这个等腰三角形的周
3
长为（ ）．
A．11 B．16 C．17 D．16或17 【答案】D
考点：三角形三边关系；分情况讨论的数学思想
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 【举一反三】
(2015·湖北荆门，5题，3分)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ） A．8或10 B．8 C．10 D．6或12 【答案】C． 【解析】
试题分析：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2=4，∴不能组成三角形， ②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长=2+4+4=10， 综上所述，它的周长是10．故选C．
考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．
考点典例三、全等三角形
【例3】如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、角∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（ ）
A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F 【答案】C． 【解析】
4
试题分析：根据全等三角形的判定定理，即可得出： ∵AB=DE，∠B=∠DEF，
∴添加AC∥DF，得出∠ACB=∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确； 添加∠A=∠D，根据ASA，可证明△ABC≌△DEF，故B都正确；
添加AC=DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C都不正确． 故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理． 【举一反三】
（2015.重庆市A卷，第20题，7分）如图，在△ABD和△FEC中，点B,C,D,E在同一直线上，且AB=FE,BC=DE,B=E。 求证：ADB=FCE.
20题图
【答案】证明见解析.
考点：全等三角形的证明.
考点典例四、相似三角形
【例4】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=（ ）
5
A． 1：16 B． 1：18 C． 1：20 D． 1：24 【答案】C．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键． 【举一反三】
1. (2015.天津市，第16题，3分)如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E. 若AD =3，DB
=2，BC =6，则DE的长为 .
6
ADB【答案】
EC
18. 5ADDE3DE,即=,解得ABBC56【解析】
试题分析：由DE∥BC可得△ADE∽△ABC,根据相似三角形的性质可得
DE18. 5考点:相似三角形的判定与性质.
2.(2015·黑龙江哈尔滨）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD、CD于点G，H，则下列结论错误的是（ ） （A）
EAEGEGAGABBCFHCF （B） （C） （D） BEEFGHGDAECFEHAD
【答案】C
考点：三角形相似的应用.
考点典例五、位似三角形
【例5】△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D．
7
【解析】
考点：位似变换的性质．
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键． 【举一反三】
1.（2015·辽宁营口）如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点C（2，2），点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是( ).
A．（4，2） 【答案】C. 【解析】
试题分析：分别过C,D,A,B,做x轴的垂线，垂足分别是F,H,K；因为A,D的横坐标相同，所以D在AH上，∵E（1,0），C（2，2），A（3，4），D（3，1），∴EF=1，FH=1；∵CF∥AH∥BK,∴∥AB,∴
B．（4，1） C．（5，2）
D．（5，1）
ECEF1,∵CDAEEH2ECED1EHDHED1,∵DH∥BK,∴,∵EH=2，DH=1，∴EK=4，BK=2，∴OK=5，∴AEEB2EKBKEB2B(5，2),故选C.
考点：1.位似性质；2.平行线分线段成比例定理.
2.（2015宜宾）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ）
8
A．（1，2） B．（1，1） C．（2，2） D．（2，1） 【答案】B．
考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质．
考点典例六：直角三角形
【例6】（2015·湖南长沙）如图，为测量一颗与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（ ）
A.30米tan B.30sin米 C.30tan米 D.30cos米
【答案】C 【解析】
试题分析：根据题意可得BO=30，tan∠ABO=考点：三角函数的应用.
【点睛】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比边．
9
AO，则AO=BO·tan∠ABO=30tanα. BO【举一反三】
1.（2015·辽宁大连）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=5，则BC的长为（ ）
A.3-1 B.3+1 C.5-1 D.5+1 【答案】D
考点：解直角三角形.
2.(2015·湖北荆门，11题，3分)如图，在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（ ）
11A． B．21 C．23 D．
34【答案】A． 【解析】
10
考点：1．解直角三角形；2．等腰直角三角形．
课时作业☆能力提升 一、选择题
1.（2015·湖南长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
【答案】A 【解析】
试题分析：经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高.根据定义可得A是作BC边上的高，C是作AB边上的高，D是作AC边上的高. 考点：三角形高线的作法
2.（2015.山东济宁，第5题,3分）三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x213x360的根，则三角形的周长为( )
A.13 B.15 C.18 D.13或18 【答案】A 【解析】
试题分析：解一元二次方程可求得方程的两根为x14,x29，那么根据三角形的三边关系，可知3＜第三边＜9，得到合题意的边为4，进而求得三角形周长为3+4+6=13． 故选A
11
考点：解一元二次方程，三角形的三边关系，三角形的周长
3.（2015.济宁，第9题,3分）如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1:2，AC=35米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为( ) A.5米 B.6米 C. 8米 D. (35)米
BCDA
【答案】A
考点：解直角三角形
4.(2015.山东日照，第10题，3分)如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值（ ）
A.
B.
C. D.
【答案】D 【解析】
试题分析：解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
12
∵tanB=，即=，
∴设AD=5x，则AB=3x， ∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD， ∴△CDE∽△BDA， ∴
∴CE=x，DE=∴AE=
，
=． ， ，
∴tan∠CAD=故选D．
考点：解直角三角形．
5.（2015成都）如图，在△ABC中，DE//BC，AD=6，BD=3，AE=4，则EC的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B． 【解析】
试题分析： 根据平行线段的比例关系，考点：平行线分线段成比例．
6.(2015·黑龙江哈尔滨）如图：某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞机飞行高度
13
64ADAE，即，EC2，故选B． 3ECDBECAC＝1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角＝30，则飞机A与指挥台B的距离为（ ） （A）1200m (B) 1200
2m (C)12003m (D)2400m
【答案】D
考点：三角函数的应用.
7.（2015内江）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．70° 【答案】A． 【解析】
试题分析：∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=70°，∵AB=AC，∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．故选A． 考点：1．等腰三角形的性质；2．平行线的性质．
8.(2015.北京市，第6题，3分)如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M、C两点间的距离为( )
A0.5km B.0.6km C.0.9km D.1.2km
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【答案】D． 【解析】
试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MC=1.2km．故选D． 考点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 二、填空题
9.（2015·辽宁沈阳）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的则AB：DE= ．
4，9
【答案】2：3．
考点：位似变换．
10.如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为 ．
【答案】60°. 【解析】
试题分析：可证明△COD≌△COB，得出∠D=∠CBO，再根据∠BAC=80°，得∠BAD=100°，由角平分线可得∠BAO=40°，从而得出∠DAO=140°，根据AD=AO，可得出∠D=20°，即可得出∠CBO=20°，则∠ABC=40°，最后算出∠BCA=60°
15
试题解析：∵△ABC三个内角的平分线交于点O， ∴∠ACO=∠BCO， 在△COD和△COB中，
CDCBOCDOCB， COCO∴△COD≌△COB， ∴∠D=∠CBO， ∵∠BAC=80°， ∴∠BAD=100°， ∴∠BAO=40°， ∴∠DAO=140°， ∵AD=AO，∴∠D=20°， ∴∠CBO=20°， ∴∠ABC=40°， ∴∠BCA=60°.
考点:1.全等三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质．
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=若AB=10，则EF的长是 ▲ ．
1BC..2
【答案】5. 【解析】
试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，AB=10，∴AD=5，AE=EC，DE=∵CF=
1BC，∠AED=90°. 21BC，∴DE=FC. 2在Rt△ADE和Rt△EFC中，∵AE=EC，DE=FC，∴Rt△ADE≌Rt△EFC（SAS）.∴EF=AD=5. 考点：1.三角形中位线定理；2.全等三角形的判定和性质.
16
12.（2015山东枣庄，第15题，4分）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD=6，DE=5，则CD=________．
【答案】 【解析】
【试题分析】因为CD⊥AB，所以△ADC是直角三角形，E为AC的中点，所以AC=2DE=10，由勾股定理可得AD=8.
考点：直角三角形的性质
13.（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥
EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一个
即可）
【答案】BC=EF或∠BAC=∠EDF．
考点：1．全等三角形的判定；2．开放型．
14.（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD=1，tan∠ABD=3，则CD的长为 ．
17
【答案】23或23或【解析】
3． 3试题分析：分三种情况：①如图1，∠A为钝角，AB=AC，在Rt△ABD中，∵BD=1，tan∠ABD=3，∴AD=3，AB=2，∴AC=2，∴CD=23，
②如图2，∠A为锐角，AB=AC，在Rt△ABD中，∵BD=1，tan∠ABD=3，∴AD=3，AB=2，∴AC=2，∴CD=23，
③如图3，BA=BC，∵BD⊥AC，∴AD=CD，在Rt△ABD中，∵BD=1，tan∠ABD=3，∴AD=33，∴CD=， 33综上所述；CD的长为：23或23或
33，故答案为：23或23或． 33
考点：1．解直角三角形；2．等腰三角形的性质；3．勾股定理． 三．解答题
15.如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点. （1）作图：
①过B作AC的平行线BH；
②过D作BH的垂线，分别交AC，BH，AB的延长线于E，F，G. （2）在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.
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【答案】（1）作图见解析；（2）△DEC≌△DFB（答案不唯一），证明见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据平行线和垂线的作图方法作图.
（2）根据作图方法，由ASA可判定△DEC≌△DFB（答案不唯一）. 试题解析：解：（1）作图如下：①如答图1；②如答图2.
（2）△DEC≌△DFB（答案不唯一），证明如下： ∵BH∥AC，∴∠DCE=∠DBF. 又∵D是BC中点，∴DC=DB.
DCEDBF在△DEC与△DFB中，∵DCDB，∴△DEC≌△DFB（ASA）.
EDCFDB考点：1. 作图（复杂作图）；2.开放型问题；3. 全等三角形的判定；4.平行的性质.
16.在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段．
【答案】证明见解析 【解析】
试题分析：可证明△ABF≌△ACE，则BF=CE，再证明△BEP≌△CFP，则PB=PC，从而可得出PE=PF，BE=CF． 试题解析：在△ABF和△ACE中， AB=AC ∠BAF=∠CAE AF=AE ，
19
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴∠ABF=∠ACE（全等三角形的对应角相等）， ∴BF=CE（全等三角形的对应边相等）， ∵AB=AC，AE=AF， ∴BE=CF，
在△BEP和△CFP中，
∠BPE=∠CPF ∠PBE=∠PCF BE=CF ， ∴△BEP≌△CFP（AAS）， ∴PB=PC， ∵BF=CE， ∴PE=PF，
∴图中相等的线段为PE=PF，BE=CF，BF=CE．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 17.．(2015·湖北孝感）（本题满分8分）
我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中ABCB， ADCD．对角线AC，BD相交于点O，OEAB，OFCB，垂足分别是E，F．求证OEOF．
【答案】OE=OF. 【解析】
ABCB
试题分析：由ADCD根据SSS得出全等，根据全等性质得出BD为∠ABC的角平分线，再由角平分线上
BDBD
20
的点到角两边的距离相等，得出OE=OF
考点：全等三角形
18.（2015·辽宁沈阳）如图，点E为矩形ABCD外一点，AE=DE，连接EB、EC分别与AD相交于点F、G．求证：（1）△EAB≌△EDC； （2）∠EFG=∠EGF．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．【解析】
试题分析：（1）先根据四边形ABCD是矩形，得到AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°．再根据EA=ED，得到∠EAD=∠EDA，由等式的性质得到∠EAB=∠EDC．利用SAS即可证明△EAB≌△EDC；
（2）由△EAB≌△EDC，得到∠AEF=∠DEG，由三角形外角的性质得出∠EFG=∠EAF+∠AEF，∠EGF=∠EDG+∠
DEG，即可证明∠EFG=∠EGF．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°．∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠EAB=∠EDC．在△EAB与△EDC中，∵EA=ED，∠EAB=∠EDC，AB=DC，∴△EAB≌△EDC（SAS）；
（2）∵△EAB≌△EDC，∴∠AEF=∠DEG，∵∠EFG=∠EAF+∠AEF，∠EGF=∠EDG+∠DEG，∴∠EFG=∠EGF． 考点：1．全等三角形的判定与性质；2．矩形的性质． 19.(2015·湖北襄阳,22题)如图，AD是△ABC的中线，tanB=
21，cosC=，AC=2．求：
2321
（1）BC的长； （2）sin∠ADC的值．
【答案】（1）4；（2）
2． 2（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD=
1BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，2∴sin∠ADC=2． 2
考点：解直角三角形．
20.（2015.山东泰安，第27题）（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．
（1）求证：AC•CD=CP•BP；
（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
22
【答案】（1）证明见试题解析；（2）
25． 3考点：1．相似三角形的判定与性质；2．综合题．
23
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