一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑。
1．（4分）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）使代数式A．x≥2
√𝑥+2有意义的x的取值范围是（ ） 2
B．x≠﹣2 C．x≥﹣2 D．x＜﹣2
3．（4分）根据中央“精准扶贫”规划，每年要减贫约11700000，将1170000用科学记数法表示为（ ） A．11.7×106 4．（4分）把代数式
3𝑥𝑦𝑥+𝑦
B．1.17×107 C．1.17×106 D．1.17×108
中的x、y同时扩大五倍后，代数式的值（ ）
B．不变
A．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的
51
D．扩大为原来的5倍
5．（4分）假期正是读书的好时候，小颖同学到重庆图书馆借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当她读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完，她读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是（ ） A．C．
140𝑥𝑥
++
140𝑥−21140𝑥+21
=14 =14
B．
280𝑥10𝑥
+
280𝑥+2110
=14
140
D．+
𝑥+21
=1
6．（4分）下列命题正确的是（ ） A．位似图形一定是相似图形 B．任意两个菱形一定相似 C．√64的平方根是2√2
D．32、42、52能作为直角三角形的三边长
7．（4分）大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思
一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间变量为x，水位高度变量为y，下列图象中最符合故事情景的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的根，则m3﹣2m2的值为（ ） A．﹣1
B．0
C．1
D．2
9．（4分）如图，△ABC的两个顶点B、C均在第一象限，以点A（0，1）为位似中心，在y轴左侧作△ABC的位似图形△ADE，△ABC与△ADE的位似比为1：2．若点C的纵坐标是m，则其对应点E的纵坐标是（ ）
A．
−𝑚+32
B．2m+3 C．﹣（2m+3） D．﹣2m+3
10．（4分）平行四边形ABCD如图所示，E为AB上的一点，F、G分别为AC与DE、DB的交点．若AB：AE＝3：2，则四边形BGFE与▱ABCD的面积之比为（ ）
A．7：60
B．8：70
1
𝑥+4
C．5：43 D．3：26
2+𝑥≥32611．（4分）若关于x的不等式组{有且只有5个整数解，且关于x的方程+1𝑥−2𝑎−2𝑥＞0
34−𝑎2−𝑥
=−3的解为正数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
B．21
C．14
D．15
A．20
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB的中点与坐标原点重合，点D是x轴上一点，连接CD、AD，若CB平分∠OCD，反比例函数y=𝑥（k＜0，x＜0）的图象经过CD上的两点C、E，且CE＝DE，△ACD的面积为18，则k的值为（ ）
𝑘
A．﹣8
B．﹣12
C．﹣14
D．﹣16
二、填空题：（本题共6个小题，每小题4分，共4分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上
13．（4分）计算：√9+（3.14﹣π）0﹣|1−√3|＝ ．
14．（4分）从﹣3，﹣2，0，1，2五个数中任选一个数记为m，则使关于x的一次函数y＝（m+1）x﹣2不经过第一象限的概率为 ．
15．（4分）关于x的一元二次方程（k+1）x2+6x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
16．（4分）如图，正方形ABCD中，点E为AB的中点，M、N分别为AD、BC上的点，若AM＝3，BN＝6，∠MEN＝90°，则MN的长为 ．
17．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，点E、F分别是AD和BC上的点，AE＝2，CF＝4BF，将矩形沿EF折叠，使得点D恰好落在CB的延长线上的点D′处点C的对应点为C′，连接CC′，则点C到C′D′的距离为 ．
18．（4分）中秋佳节即将到来，某糕点店推出了甲、乙、丙三种月饼套盒，各套盒均含有云腿、五仁、玫瑰三种口味的月饼，月饼套盒的售价即为单个月饼的售价之和．甲套盒中含有云腿月饼9枚，五仁月饼2枚，玫瑰月饼5枚，乙套盒中含有云腿月饼3枚，五仁月饼2枚，玫瑰月饼6枚，丙套盒中所包含的月饼枚数比甲套盒少1枚．已知每枚五仁月饼的售价是玫瑰月饼的2倍，甲、乙套盒售价相等，丙套盒的售价不低于甲套盒售价的66%，不高于乙套盒售价的70%，则丙套盒中含有的云腿月饼数为 枚． 三、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤。 19．（10分）计算：
（1）（x﹣3y）2﹣（x﹣2y）（x+2y）； （2）(𝑥−1−
3𝑥2+4𝑥+4
)÷． 𝑥+1𝑥+120．（10分）近两年来，国家越来越重视儿童青少年的视力防控工作，2021年3月9日，国家卫生健康委还成立了国家儿童青少年视力健康管理专家咨询委员会．为了宣传近视防控知识，某校举行了近视防控知识讲座，并在讲座后进行了满分为100分的“近视防控知识测评”，为了了解学生的测评情况，学校在七、八年级中分别随机抽取了50名学生的分数进行整理分析，已知分数x均为整数，且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是：A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70，E：0≤x＜60．
并给出了部分信息：
【一】七年级D等级的学生人数占七年级抽取人数的20%，八年级C等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，73，74，74，75，75． 【二】两个年级学生近视防控知识测评分数统计图：
【三】两个年级学生近视防控知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：
七年级 八年级
平均数 76 76
中位数 75 a
众数 73 73
（1）直接写出a，m的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对近视防控知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）；
（3）若分数不低于80分表示该生对近视防控知识掌握较好，且该校七年级有1800人，八年级有1700人，请估计该校七、八年级所有学生中，对近视防控知识掌握较好的学生人数．
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线．
（1）尺规作图：作BD的垂直平分线交AB于点E，交CD于点F，交BD于点O（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； （2）在（1）的条件下，求证：BE＝DF．
22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数y=过程，请按要求完成下列各小题．
x y=
8𝑥
𝑥2+18𝑥
性质及其应用的部分𝑥2+1… ﹣5
13﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1
170 0
1 b
2
165
3
125
4
3217
5
2013
… …
… −20 −32 a
−
16﹣4 5（1）列表，写出表中a，b的值：a＝ ，b＝ ；图中已经描出表格中的部分点并画出部分图象，请在所给的平面直角坐标系中描出表格中的其余点，并在图中补全该函数图象．
（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质： ； （3）已知函数y=
4465
24
8𝑥4424
x+的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式2＜6513𝑥+1
x+13的解集．（保留1位小数，误差不超过0.2）
23．（10分）临近开学，小明同学前往文具店购买学习用品，已知笔记本的销售单价比圆珠笔的销售单价高3元，小明购买了5个笔记本和3支圆珠笔共花费55元． （1）请问笔记本和圆珠笔的销售单价分别是多少元？
（2）已知八月文具店共销售笔记本600本，圆珠笔400支．九月文具店推出文具促销活动：笔记本的销售单价增加了a%，圆珠笔的销售单价减少了a%，结果九月份笔记本的
52
销量比八月份减少了a%，圆珠笔的销量比八月份增加了a%，且笔记本和圆珠笔九月份
2
1
的销售总额比八月份的销售总额增加了
5
17
a%，求a的值．
24．（10分）如图是重庆陆海国际中心，位于重庆市渝中区嘉陵江滨江路与嘉鸿大道交汇处西南侧，是一个微型的城市垂直体，通过TOD模式的多维高效串联，将自然生态、工作场域与生活场景有机链接，建成后将成为重庆第一高楼．已知主楼AB高458米，主楼AB后面有一高楼CD，当光线与水平面的夹角是30°时，主楼AB在高楼CD的墙上留下了高为58米的影子CE；而当光线与地面的夹角是45°时，主楼顶端A点在地面上的影子落在点F（B、F、C在一条直线上）． （1）求C、F之间的距离；
（2）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，已知DH：AD＝2√3：√13，求高楼DC的高
度．
𝑘
𝑥
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=（k≠0）与直线y＝ax+b（a≠0）交于A、B两点，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，E为x轴上一点．已知OA＝OC，A点坐标为（3，4）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）如图2，将线段DO沿y轴平移得线段D′O′，在移动过程中，是否存在某个位置使|BO′﹣AD′|的值最大？若存在，求出|BO′﹣AD′|的最大值及此时点O′的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在x轴取一点E（5，0），将直线OA沿x轴正半轴平移，平移过程中在第一象限交y=𝑥（k≠0）的图象于点M（M可与A重合），交x轴于点N．在平移过程中，是否存在某个位置使以M、N、E和平面内某一点P为顶点的四边形为菱形且以MN为菱形的边？若存在，请直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．
𝑘
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（轴助线），请将解答过程书写在答题卡中对应位置上.
26．（8分）如图，△ABC和△MBN均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠MBN＝90°，AB＝BC，MB＝NB．现将△MBN绕点B旋转．
（1）如图1，若A、M、N三点共线，AM=√10，求点C到直线BN的距离； （2）如图2，连接AN、CM，点H为线段CM的中点，连接BH．求证：AN⊥BH； （3）如图3，若点P在线段AC上，且AB＝8√2，AP＝14，在△ABP内部有一点O，请直接写出OB+OA+2OP的最小值．
2
1
√5
2021-2022学年重庆一中九年级（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑。
1．（4分）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B．
√𝑥+22．（4分）使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
2
A．x≥2 B．x≠﹣2 C．x≥﹣2 D．x＜﹣2
【解答】解：使代数式
√𝑥+2有意义，则x+2≥0， 2
∴x的取值范围是：x≥﹣2． 故选：C．
3．（4分）根据中央“精准扶贫”规划，每年要减贫约11700000，将1170000用科学记数法表示为（ ） A．11.7×106
B．1.17×107
C．1.17×106
D．1.17×108
【解答】解：1170000＝1.17×106． 故选：C． 4．（4分）把代数式
3𝑥𝑦𝑥+𝑦
中的x、y同时扩大五倍后，代数式的值（ ）
B．不变
A．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的
51
D．扩大为原来的5倍
=
25×3𝑥𝑦5(𝑥+𝑦)
【解答】解：
3⋅5𝑥⋅5𝑦5𝑥+5𝑦
=
5×3𝑥𝑦𝑥+𝑦
，
∴把代数式故选：D．
3𝑥𝑦
𝑥+𝑦
中的x、y同时扩大五倍后，代数式的值扩大为原来的5倍，
5．（4分）假期正是读书的好时候，小颖同学到重庆图书馆借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当她读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完，她读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是（ ） A．C．
140𝑥𝑥
++
140𝑥−21140𝑥+21
=14 =14
140𝑥
B．
280𝑥10𝑥
+
280𝑥+2110
=14
140
D．，
+
𝑥+21
=1
【解答】解：读前一半用的时间为：读后一半用的时间为：由题意得，故选：A．
6．（4分）下列命题正确的是（ ） A．位似图形一定是相似图形 B．任意两个菱形一定相似 C．√64的平方根是2√2
140𝑥
140
𝑥+21
．
+
140𝑥+21
=14，
D．32、42、52能作为直角三角形的三边长
【解答】解：A、位似图形一定是相似图形，正确，符合题意；
B、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不相等，故原命题错误，不符合题意； C、√64的平方根是±2√2，故原命题错误，不符合题意；
D、32、42、52不能作为直角三角形的三边长，故原命题错误，不符合题意， 故选：A．
7．（4分）大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间变量为x，水位高度变量为y，下列图象中最符合故事情景的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵乌鸦在沉思的这段时间内水位没有变化， ∴排除C，
∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升， ∴排除A，
∵乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位， ∴排除B， ∴D正确． 故选：D．
8．（4分）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的根，则m3﹣2m2的值为（ ） A．﹣1
B．0
C．1
D．2
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的根， ∴m2﹣m﹣1＝0，即m2﹣m＝1，
∴m3﹣2m2＝m（m2﹣m）﹣m2＝m﹣m2＝﹣1． 故选：A．
9．（4分）如图，△ABC的两个顶点B、C均在第一象限，以点A（0，1）为位似中心，在y轴左侧作△ABC的位似图形△ADE，△ABC与△ADE的位似比为1：2．若点C的纵坐标是m，则其对应点E的纵坐标是（ ）
A．
−𝑚+32
B．2m+3 C．﹣（2m+3） D．﹣2m+3
【解答】解：设点C的纵坐标为m，则A、C间的纵坐标的长度为（m﹣1）， ∵△ABC放大到原来的2倍得到△ADE， ∴E、A间的纵坐标的长度为2（m﹣1），
∴点E的纵坐标是﹣[2（m﹣1）﹣1]＝﹣（2m﹣3）＝﹣2m+3． 故选：D．
10．（4分）平行四边形ABCD如图所示，E为AB上的一点，F、G分别为AC与DE、DB的交点．若AB：AE＝3：2，则四边形BGFE与▱ABCD的面积之比为（ ）
A．7：60
B．8：70
C．5：43
D．3：26
【解答】解：∵AB：AE＝3：2， ∴BE：AB＝1：3，
∴S△DBE=S△ABD=S▱ABCD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AG＝GC， ∴△AEF∽△CDF， ∴
𝐴𝐸𝐶𝐷
1
316=
𝐴𝐹𝐶𝐹
=，
3
2
∴设AF＝2a，CF＝3a， ∴AC＝5a，
∴AG＝CG=a， ∴FG=a， ∴AG＝5FG，
∴S△DFG=5S△ADG=20S▱ABCD， ∴S四边形BGFE＝S△DBE﹣S△DFG=
7S， 60▱ABCD
1
1
1252∴四边形BGFE与▱ABCD的面积之比为7：60， 故选：A．
2+𝑥≥326有且只有5个整数解，11．（4分）若关于x的不等式组{且关于x的方程+1𝑥−2𝑎−2𝑥＞0
34−𝑎2−𝑥
1
𝑥+4
=−3的解为正数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
B．21
12A．20 C．14
𝑥+4
，得：x≥﹣4， 6D．15
【解答】解：解不等式 2+𝑥≥解不等式
13
𝑎−2𝑥＞0，得：𝑥＜，
𝑎6∵不等式组有且只有5个整数解， ∴0＜6≤1， 解得：0＜a≤6， 解方程
3𝑥−2𝑎
+
4−𝑎
=−3，得：𝑥=3， 2−𝑥
7−𝑎
7−𝑎
∴𝑥=3＞0且𝑥=3≠2， 解得a＜7且a≠1
综上所述0＜a≤6且a≠1，
∴符合条件的所有整数a的值为：2，3，4，5，6， 它们的和为20， 故选：A．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB的中点与坐标原点重合，点D是x轴上一点，连接CD、AD，若CB平分∠OCD，反比例函数y=𝑥（k＜0，x＜0）的图象经过CD上的两点C、E，且CE＝DE，△ACD的面积为18，则k的值为（ ）
𝑘
7−𝑎
A．﹣8
B．﹣12
C．﹣14
D．﹣16
【解答】解：连接OE，过点E作EF⊥OD于点F，过点C作CG⊥OD于点G，则EF//CG， ∵CE＝DE，
∴DF＝FG，EF=CG，
∵反比例函数y=𝑥 （ k＜0，x＜0）的图象经过CD上的两点C、E， ∴S△OCG＝S△OEF=|k|，即OG•CG=OF•EF，
2
1
21
12𝑘12∴DF＝2FG， ∴DF＝FG＝OG， ∴S△OEF=3S△ODE，
∵Rt△ABC的斜边AB的中点与坐标原点重合， ∴OC＝OB， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵CB平分∠OCD， ∴∠OCB＝∠DCB， ∴∠OBC＝∠DCB， ∴CD//OB，
∴S△ACD＝S△OCD＝18， ∵CE＝DE，
∴S△ODE=2S△OCD＝9， ∴S△OEF=3S△ODE=3×9=6，
2
2
12
∴|k|＝6，
2
1
∵k＜0， ∴k＝﹣12． 故选：B．
二、填空题：（本题共6个小题，每小题4分，共4分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上
13．（4分）计算：√9+（3.14﹣π）0﹣|1−√3|＝ 5−√3 ． 【解答】解：原式＝3+1﹣（√3−1） ＝3+1−√3+1 ＝5−√3． 故答案为：5−√3．
14．（4分）从﹣3，﹣2，0，1，2五个数中任选一个数记为m，则使关于x的一次函数y＝（m+1）x﹣2不经过第一象限的概率为
25 ．
【解答】解：关于x的一次函数y＝（m+1）x﹣2不经过第一象限，则m+1≤0， 解得m≤﹣1，
﹣3，﹣2，0，1，2这五个数中有2个小于等于﹣1，
则关于x的一次函数y＝（m+1）x﹣2不经过第一象限的概率为，
52
故答案为：．
5
2
15．（4分）关于x的一元二次方程（k+1）x2+6x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＞−2且k≠﹣1 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2+6x﹣2＝0有两个相等的实数根，
11
∴Δ＝62﹣4（k+1）×（﹣2）＞0且k+1≠0， 解得：k＞−2且k≠﹣1， ∴k的取值范围是k＞−
11
11
且k≠﹣1， 211
故答案为：k＞−2且k≠﹣1．
16．（4分）如图，正方形ABCD中，点E为AB的中点，M、N分别为AD、BC上的点，若AM＝3，BN＝6，∠MEN＝90°，则MN的长为 9 ．
【解答】解：∵点E为AB的中点， ∴AE＝BE， ∵∠MEN＝90°，
∴∠AEM+∠BEN＝90°＝∠AEM+∠AME， ∴∠AME＝∠BEN， 又∵∠A＝∠B＝90°， ∴△AEM∽△BNE， ∴
𝐴𝐸𝐵𝑁
=
𝐴𝑀𝐵𝐸
，
∴AE•BE＝AM•BN＝18， ∴AE＝BE＝3√2，
∴ME2＝AM2+AE2＝27，EN2＝BE2+BN2＝54， ∴MN=√𝑀𝐸
2+𝐸𝑁2=√27+54=9，
故答案为：9．
17．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，点E、F分别是AD和BC上的点，AE＝2，CF＝4BF，将矩形沿EF折叠，使得点D恰好落在CB的延长线上的点D′处点C的对应点为C′，连接CC′，则点C到C′D′的距离为
30013 ．
【解答】解：如图：延长D'C'，过点C作CG⊥D'C'于点G，则CG为点C到C'D'的距离，连接DF，
由折叠可得D'E＝DE，DF＝D'F，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠ED'C'＝∠EDC， 在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，CD＝AB＝5，∠DCB＝∠ADC＝90°， ∴∠ED'C'＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴D'E＝D'F， ∴D'F＝DF＝DE， ∵∠3＝∠4， ∴∠1＝∠4， ∴ED＝DF，
∵∠2+∠3+∠ED'F＝180°，∠1+∠4+∠EDF＝180°， ∴∠ED'F＝∠EDF， ∴∠FD'C'＝∠FDC， ∵CF＝4BF，
∴设BF＝x，则CF＝4x，BC＝5x，
∴AD＝5x，
∴DE＝AD﹣AE＝5x﹣2， ∴DF＝5x﹣2，
在Rt△DFC中，由勾股定理得DF2﹣FC2＝CD2， ∴（5x﹣2）2﹣（4x）2＝25， ∴x＝3，或x=−（不合题意舍去）， ∴BF＝3，CF＝12，DF＝13＝D'F， ∴D'C＝25，
∵∠D'C'F＝∠CGD'＝90°，∠CD'G＝∠FD'C'， ∴△FD'C'∽△CD'G， ∴∴
𝐷′𝐹𝐶′𝐹1312
7
9=
𝐷′𝐶𝐶𝐺
，
=
25𝐶𝐺
，
∴CG=
300
， 1330013
故答案为：．
18．（4分）中秋佳节即将到来，某糕点店推出了甲、乙、丙三种月饼套盒，各套盒均含有云腿、五仁、玫瑰三种口味的月饼，月饼套盒的售价即为单个月饼的售价之和．甲套盒中含有云腿月饼9枚，五仁月饼2枚，玫瑰月饼5枚，乙套盒中含有云腿月饼3枚，五仁月饼2枚，玫瑰月饼6枚，丙套盒中所包含的月饼枚数比甲套盒少1枚．已知每枚五仁月饼的售价是玫瑰月饼的2倍，甲、乙套盒售价相等，丙套盒的售价不低于甲套盒售价的66%，不高于乙套盒售价的70%，则丙套盒中含有的云腿月饼数为 12 枚． 【解答】解：设云腿的单价为x元，玫瑰的单价为y元，则五仁的单价为2y元，依题意有
9x+2×2y+5y＝3x+2×2y+6y， 解得y＝6x，
则9x+2×2y+5y＝63x，
设丙套盒云腿月饼a枚，五仁月饼b枚，玫瑰月饼（15﹣a﹣b）枚，依题意有 63x×66%≤xa+12x+6x（15﹣a﹣b）≤63x×70%， 解得45.9≤5a﹣6b≤48.42，
∵a，b是非负整数，且15﹣a﹣b≥0， ∴5a﹣6b＝46或47或48， 则有a=
6𝑏+46
， 5当b＝4时，a＝14，15﹣a﹣b＝﹣3（舍去）， 当b＝9时，a＝20，15﹣a﹣b＝﹣14（舍去）， 当b＝14时，a＝26，15﹣a﹣b＝﹣25（舍去）； 或a=
6𝑏+47
， 5当b＝3时，a＝13，15﹣a﹣b＝﹣1（舍去）， 当b＝8时，a＝19，15﹣a﹣b＝﹣12（舍去）， 当b＝13时，a＝25，15﹣a﹣b＝﹣23（舍去）； 或a=
6𝑏+48， 5当b＝2时，a＝12，15﹣a﹣b＝15﹣12﹣2＝1（符合题意）， 当b＝7时，a＝18，15﹣a﹣b＝﹣10（舍去）， 当b＝12时，a＝24，15﹣a﹣b＝﹣21（舍去）． 故丙套盒中含有的云腿月饼数为12枚． 故答案为：12．
三、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤。 19．（10分）计算：
（1）（x﹣3y）2﹣（x﹣2y）（x+2y）；
3𝑥2+4𝑥+4
（2）(𝑥−1−𝑥+1)÷𝑥+1．
【解答】解：（1）（x﹣3y）2﹣（x﹣2y）（x+2y） ＝x2﹣6xy+9y2﹣x2+4y2 ＝13y2﹣6xy；
3𝑥2+4𝑥+4（2）(𝑥−1−𝑥+1)÷𝑥+1 ＝[
(𝑥−1)(𝑥+1)
𝑥+1
𝑥+1
−
3
𝑥+1(𝑥+2)2]⋅
𝑥+1
=𝑥+1⋅2
(𝑥+2)
𝑥2−4
==
(𝑥+2)(𝑥−2)(𝑥+2)𝑥−2
． 𝑥+22
20．（10分）近两年来，国家越来越重视儿童青少年的视力防控工作，2021年3月9日，国家卫生健康委还成立了国家儿童青少年视力健康管理专家咨询委员会．为了宣传近视防控知识，某校举行了近视防控知识讲座，并在讲座后进行了满分为100分的“近视防控知识测评”，为了了解学生的测评情况，学校在七、八年级中分别随机抽取了50名学生的分数进行整理分析，已知分数x均为整数，且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是：A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70，E：0≤x＜60． 并给出了部分信息：
【一】七年级D等级的学生人数占七年级抽取人数的20%，八年级C等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，73，74，74，75，75． 【二】两个年级学生近视防控知识测评分数统计图：
【三】两个年级学生近视防控知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：
七年级 八年级
平均数 76 76
中位数 75 a
众数 73 73
（1）直接写出a，m的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对近视防控知识掌握较好？
请说明理由（说明一条理由即可）；
（3）若分数不低于80分表示该生对近视防控知识掌握较好，且该校七年级有1800人，八年级有1700人，请估计该校七、八年级所有学生中，对近视防控知识掌握较好的学生人数．
【解答】解：（1）由题干数据可知a＝（74+74）÷2＝74， （1﹣32%﹣32%﹣4%）÷2＝16%， ∴m＝16，
七年级D等级的学生人数为：50×20%＝10（人），E等级的学生人数为：50﹣10﹣12﹣16﹣10＝2（人）， 补全条形统计图如图：
答：a＝74，m＝16；
（2）七年级年级的学生对近视防控知识掌握较好．理由如下：
虽然七、八年级的平均数、众数相同，但是七年级的中位数比八年级的高，因此七年级的成绩较好； （3）1800×＝792+544 ＝1336（人）．
答：估计该校七、八年级所有学生中，对近视防控知识掌握较好的学生人数是1336人． 21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线．
10+12
+1700×2×16% 50（1）尺规作图：作BD的垂直平分线交AB于点E，交CD于点F，交BD于点O（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； （2）在（1）的条件下，求证：BE＝DF．
【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ODF＝∠OBE， 由作图过程可知：OD＝OB， 在△ODF和△OBE中， {𝑂𝐷=𝑂𝐵， ∠𝐷𝑂𝐹=∠𝐵𝑂𝐸
∴△ODF≌△OBE（ASA）， ∴BE＝DF．
22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数y=过程，请按要求完成下列各小题．
x y=
8𝑥
2𝑥+1∠𝑂𝐷𝐹=∠𝑂𝐵𝐸
性质及其应用的部分
𝑥2+18𝑥
… ﹣5
13﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1
170 0
1 b
2
165
3
125
4
3217
5
2013
… …
… −20 −32 a
−
16﹣4 512
（1）列表，写出表中a，b的值：a＝ −𝑎 ，b＝ 4 ；图中已经描出表格中的部分点并画出部分图象，请在所给的平面直角坐标系中描出表格中的其余点，并在图中补全该函数图象．
（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质： 当x＝1时，函数取得最大值4；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣4 ； （3）已知函数y=
4465
8𝑥4424
x+的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式2＜6513𝑥+1
x+
24
的解集．（保留1位小数，误差不超过0.2） 13
【解答】解：（1）把x＝﹣3代入y=y=1+1=4， ∴a=−
12
，b＝4， 58
得，y=𝑥2+1
8𝑥
−24128𝑥
=−，；把x＝1代入y=得，29+15𝑥+1
画出函数的图象如图：
，
故答案为−5，4； （2）观察函数图象：
当x＝1时，函数取得最大值4；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣4， 故答案为当x＝1时，函数取得最大值4；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣4．
12
（3）由图象可知：不等式
8𝑥
𝑥2+1
＜4465
x+
24
的解集为﹣4.5＜x＜0.5或x＞1.8． 1323．（10分）临近开学，小明同学前往文具店购买学习用品，已知笔记本的销售单价比圆珠笔的销售单价高3元，小明购买了5个笔记本和3支圆珠笔共花费55元． （1）请问笔记本和圆珠笔的销售单价分别是多少元？
（2）已知八月文具店共销售笔记本600本，圆珠笔400支．九月文具店推出文具促销活动：笔记本的销售单价增加了a%，圆珠笔的销售单价减少了a%，结果九月份笔记本的
52
销量比八月份减少了a%，圆珠笔的销量比八月份增加了a%，且笔记本和圆珠笔九月份
2
1
的销售总额比八月份的销售总额增加了
5
17
a%，求a的值．
【解答】解：（1）设笔记本的销售单价为x元，圆珠笔的销售单价为y元， 𝑥−𝑦=3依题意得：{，
5𝑥+3𝑦=55𝑥=8
解得：{．
𝑦=5
答：笔记本的销售单价为8元，圆珠笔的销售单价为5元．
（2）依题意得：8（1+a%）×600（1−2a%）+5（1−5a%）×400（1+a%）＝（8×600+5×400）（1+
5
a%）， 171
2
整理得：16a﹣0.32a2＝0，
解得：a1＝50，a2＝0（不合题意，舍去）． 答：a的值为50．
24．（10分）如图是重庆陆海国际中心，位于重庆市渝中区嘉陵江滨江路与嘉鸿大道交汇处西南侧，是一个微型的城市垂直体，通过TOD模式的多维高效串联，将自然生态、工作场域与生活场景有机链接，建成后将成为重庆第一高楼．已知主楼AB高458米，主楼AB后面有一高楼CD，当光线与水平面的夹角是30°时，主楼AB在高楼CD的墙上留下了高为58米的影子CE；而当光线与地面的夹角是45°时，主楼顶端A点在地面上的影子落在点F（B、F、C在一条直线上）． （1）求C、F之间的距离；
（2）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，已知DH：AD＝2√3：√13，求高楼DC的高
度．
【解答】解：（1）如图，过点E作ET⊥AB于T，则四边形ECBT是矩形，
∴BC＝ET，EC＝BT＝58（米）， ∵AB＝458米，
∴AT＝AB﹣BT＝400（米）， 在Rt△ATE中，ET=
𝐴𝑇400=√3=400√3（米），
𝑡𝑎𝑛30°3∴BC＝ET＝400√3（米）， ∵∠AFB＝45°，∠ABF＝90°， ∴AB＝BF＝458米，
∴CF＝BC﹣BF＝（400√3−458）米．
（2）连接AD．
∵DH⊥AB，DH：AD＝2√3：√13， ∴DH＝BC＝400√3（米）， ∴AD=
√132√3×400√3=200√13（米），
∴AH=√𝐴𝐷2−𝐷𝐻2=√(200√13)2−(400√3)2=200（米）， ∴CD＝BH＝AB﹣AH＝458﹣200＝258（米）．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=𝑥（k≠0）与直线y＝ax+b（a≠0）交于A、B两点，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，E为x轴上一点．已知
𝑘
OA＝OC，A点坐标为（3，4）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）如图2，将线段DO沿y轴平移得线段D′O′，在移动过程中，是否存在某个位置使|BO′﹣AD′|的值最大？若存在，求出|BO′﹣AD′|的最大值及此时点O′的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在x轴取一点E（5，0），将直线OA沿x轴正半轴平移，平移过程中在第一象限交y=（k≠0）的图象于点M（M可与A重合），交x轴于点N．在平移过程中，是否存在某个位置使以M、N、E和平面内某一点P为顶点的四边形为菱形且以MN为菱形的边？若存在，请直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．
𝑘
𝑥
【解答】解：（1）∵A（3，4）， ∴OA=√32+42=5， ∵OA＝OC， ∴OC＝5， ∴C（﹣5，0），
3𝑎+𝑏=4将A、C两点坐标代入y＝ax+b，得：{，
−5𝑎+𝑏=0𝑎=2解得：{，
5𝑏=2∴直线AB的解析式为y=2x+2，
1
5
1
把点A（3，4）代入y=中，得4=， ∴k＝12，
∴反比例函数的解析式为y=
1
5
12； 𝑥5
𝑘𝑥𝑘3（2）在y=2x+2中，令x＝0，得y=2， ∴D（0，），
25
∴OD=2，
如图2，把点A向下平移个单位得A1（3，），
2
2
5
3
5
作点B关于y轴的对称点B1，则有|BO′﹣AD′|＝|B1O′﹣A1O′|≤A1B1， 𝑥=−8𝑦=2𝑥+2𝑥=3
3或{由{，得{，
12𝑦=4𝑦=−
2𝑦=𝑥∴B（﹣8，−）， ∴B1（8，−2），
∴A1B1=√(8−3)2+(−2−2)2=√34，
设直线A1B1的解析式为y＝a′x+b′，将A1（3，），B1（8，−）代入，
23
3
2333321
5
3𝑎′+𝑏′=2得：{，
3
8𝑎′+𝑏′=−2𝑎′=−5解得：{， 33
𝑏′=10∴直线A1B1的解析式为y=−x+令x＝0，得y=O′（0，
3310
33， 103533， 103
3
），
3310
∴|BO′﹣AD′|的最大值为√34，此时点O′的坐标为（0，
4
）；
4
（3）∵直线OA的解析式为y=3x，设平移后直线MN的解析式为y=3x+b， 设M（m，
12𝑚
），
则
12𝑚
=m+b，
3124
−m， 𝑚34
12
4
4
∴b=
∴直线MN的解析式为y=3x+𝑚−3m， 令y＝0，得到x＝m−， ∴N（m−𝑚，0）．
∵以M、N、E、P为顶点的四边形是以MN为边的菱形， ∴可分以下两种情况：
①当MN与NE为菱形的邻边时，MN＝NE，（5﹣m+）2＝（）2+（
𝑚
9
𝑚9
12𝑚
9
9𝑚）2，
整理得：（5﹣m）2﹣18•（5﹣m）•∴（5﹣m+∴5﹣m+
1
𝑚
−
144𝑚2
=0，
246
）（5﹣m−）＝0， 𝑚𝑚24
=0，解得m＝8或﹣3（舍去）， 𝑚6
或5﹣m−𝑚=0，解得m＝2或3（都不符合题意舍去）， ∴m＝8，
∴M（8，），此时P（
23
498
，）．
2
9
12𝑚
3
②当MN与ME为菱形的邻边时，MN＝ME，（）2+（
𝑚
）2＝（m﹣5）2+（
12𝑚
）2，
解得m=∴M（
5+√615−√61或（舍去）， 22
5+√612√61−105+√6110−2√61，）．此时P（，）， 2323
498
综上所述，满足条件的点P的坐标为（，）或（
2
3
5+√6110−2√61，）． 23
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（轴助线），请将解答过程书写在答题卡中对应位置上.
26．（8分）如图，△ABC和△MBN均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠MBN＝90°，AB＝BC，MB＝NB．现将△MBN绕点B旋转．
（1）如图1，若A、M、N三点共线，AM=√10，求点C到直线BN的距离； （2）如图2，连接AN、CM，点H为线段CM的中点，连接BH．求证：AN⊥BH； （3）如图3，若点P在线段AC上，且AB＝8√2，AP＝14，在△ABP内部有一点O，请直接写出OB+OA+2OP的最小值．
2
1
√5
【解答】解：（1）如图1，设AN交BC于点K，作CF⊥BN，交BN的延长线于点F，则∠F＝90°，
由旋转得，CN＝AM=√10，∠BCN＝∠BAM，
∵∠ABC＝90°，∠CKN＝∠AKB， ∴∠BCN+∠CKN＝∠BAM+∠AKB＝90°， ∴∠ANC＝90°；
∵MB＝NB，∠MBN＝90°， ∴∠BNM＝∠BMN＝45°， ∴∠FNC＝∠FCN＝45°， ∴CF＝NF， ∵CF2+NF2＝CN2， ∴2CF2＝（√10）2， ∴CF=√5，
∴点C到直线BN的距离是√5．
（2）证明：如图2，设AN交BH于点I，延长BH到点D，使DH＝BH，连接DC， ∵CH＝MH，∠CHD＝∠MHB， ∴△CHD≌△MHB（SAS）， ∴CD＝MB＝NB，∠D＝∠HBM， ∴CD∥BM，
∴∠BCD+∠CBM＝180°，
∵∠ABN+∠CBM＝∠MBN+∠ABM+∠CBM＝∠MBN+∠ABC＝180°， ∴∠BCD＝∠ABN， ∵BC＝AB，
∴△BCD≌△ABN（SAS）， ∴∠CBD＝∠BAN，
∴∠BAN+∠ABD＝∠CBD+∠ABD＝∠ABC＝90°， ∴∠AIB＝90°， ∴AN⊥BH．
（3）如图3，在直线BC下方作PQ⊥OP，PG⊥AP，使PQ＝2PO，PG＝2PA，连接OQ、QG、BG，
∵∠OPQ＝∠APG＝90°， ∴∠QPG＝∠OPA＝90°﹣∠APQ，
∵
𝑃𝑄𝑃𝑂
=
𝑃𝐺𝑃𝐴
=2，
∴△PQG∽△POA， ∴
𝑄𝐺𝑂𝐴
=
𝑃𝑄𝑃𝑂
=2，
∴QG＝2OA；
∵OQ=√𝑃𝑂2+𝑃𝑄2=√𝑃𝑂2+(2𝑃𝑂)2=√5PO， ∴OB+OA+
21
√52OP=（OB+2OA+√5OP）=（OB+QG+OQ），
1
212∵OB+QG+OQ≤BG，
∴当OB+QG+OQ＝BG时，OB+QG+OQ的值最小，此时OB+OA+2OP的值最小；
2则点O、点Q落在BG上，如图4，设BG交AC于点L，作BR⊥AC于点R， ∵AC2＝AB2+BC2＝2AB2，AB＝8√2， ∴AC2＝2（8√2）2， ∴AC＝16，
∴AR＝CR=2AC＝8， ∴BR=AC＝8， ∵AP＝14，
∴PR＝14﹣8＝6，GP＝2AP＝2×14＝28， ∵GP∥BR， ∴△GPL∽△BRL， ∴
𝑃𝐿𝑅𝐿
121
1
√5=
𝐺𝑃𝐵𝑅
=
288
=，
2
7
∴RL=PR=
29247714×6=，PL=PR=×6=， 93993∵∠BRL＝∠GPL＝90°， ∴BL=√𝐵𝑅2+𝑅𝐿2=√82+(3)2=∴BG＝BL+GL=
4√4√372+𝑃𝐿2=√282+(14)2=1437，，GL= √𝐺𝑃3334√3714√37+3=6√37， 3∴OB+QG+OQ的最小值为6√37，
此时，OB+OA+2OP=2（OB+QG+OQ）=2×6√37=3√37，
2
1
√511
∴OB+OA+2OP的最小值为3√37． 2
1
√5
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容