西北工业大学2009年线性代数考题

一．（24分）选择填空与计算填空

1. 设向量组1,2,3线性相关，则向量组21,31（ ）

(1) 一定线性相关； (2) 一定线性无关；

(3) 可能线性相关，也可能线性无关.

A12. 划分可逆方阵AA，则线性方程组A1xb1与A2xb2（ ）

2 (1) 必有唯一公共解； (2) 必有多个公共解； (3) 没有公共解.

0013. 矩阵A010可表示为两个初等矩阵P与Q的乘积，其中

102 P， Q 4. 设2是3阶方阵A的一个2重特征值，问齐次线性方程组(A2E)x0有多少个非零解？ （ ）

100k5. 设A010，k为正整数，则A101T 6. 设Ann为实矩阵，xx1,x2,,xn为实向量，则二次型f(x)xTAx的矩阵为（ ）

二．（11分）已知向量组T1:1,2,,m(m1)线性无关，讨论向量组T2:

1t123m21t23mm123tm的线性相关性（t为实数）。

111101a，b1，讨论线性方程组Axb的三．（15分）设A3201a321可解性，并在有解的情形，任选其一求解（要求用向量形式表示）。

101四．（10分）设A020，B满足A2BABE，计算行列式detB。

201

五．（10分）设Ann与Bnn满足ABAB，证明： 1. 1不是B的特征值；

2. B的特征向量都是A的特征向量。

22六．（15分）已知二次型f(x1,x2,x3)bx122x2bx32(2b)x1x3的秩为2.

1. 求参数b；

2. 用正交变换将f(x1,x2,x3)化为标准型；（要求写出正交变换的矩阵） 3. 求方程f(x1,x2,x3)0的全体解向量。

七．（15分）已知向量空间R3的两个基为

111123 （I）：30,20,11； （II）：12,23,34

111143 1. 求出基（I）改变为基（II）的过渡矩阵P； 2. 求2在基（I）下的坐标；

3. 判断是否存在非零向量，使得它在基（I）与基（II）下的坐标相同？