2014-2015学年湖南省洞口县高二上期末考试数学(理)试题含解析版

数学（理科）

一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1．若a0, 1, 1, b1, 1, 0，且aba，则实数的值是 A．1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】略.

2．不等式x12x0的解集是 A．x1x2【答案】A

【解析】注意分解因式后变量x系数的正负.

 B．x|x2或x1 C．x1x2 D．x|x2或x1

x2y21的右焦点重合，则P的值为 3．若抛物线y2px的焦点与椭圆622A．2 B．2 C．4 D．4 【答案】C

【解析】由a6,b2知cab4得到椭圆的右焦点为2,0，所以抛物线y2px的

222222焦点2,0，则p4.

4．若命题p：xR，x20，命题q：xR，xx，则下列说法正确的是 A.命题pq是假命题 B. 命题p(q)是真命题 C. 命题pq是真命题 D.命题p(q)是假命题 【答案】B

【解析】命题p为真命题，命题为假命题，q为真命题.所以B正确. 5．等差数列{an}中, a2a68,a3a43, 那么它的公差是 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B

【解析】由等差中项得2a4a2a68,a44,a3a43解得a31，所以公差d5. 6．设a,b,cR，且ab，则

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A．acbc B．【答案】D

11 C．a2b2 D．a3b3 ab11，b0,a0时不成立，C．a2b2 ab【解析】A．acbc,c0时不成立，B．

b0,a0也不成立，D．只要ab,a3b3恒成立.

7．在ABC中，a2c2b23ab,则角C

135 A．150 B．60 C．30 D．45或【答案】A

a2b2c23ab3【解析】cosC，且00C1800,故C1500. 2ab2ab211，y2，曲线y及y轴所围成的封闭图形的面积是 2x15 A.2ln2 B.2ln21 C.ln2 D.

248．由直线y【答案】A

【解析】x的范围为[,2].所以S1221211dxln2ln2ln2，选A. x2x0y 9．已知x,y满足y0，则k的最大值等于

x1xy1 A．

131 B． C．1 D． 224【答案】C

x0yy0【解析】作出不等式y0表示的平面区域为AOB边界及内部区域，kx1x1xy1表示x,y点和1,0的连线的斜率，易知：0,1点和1,0连线的斜率最大，所以

kmax101，故答案为C．

01x2y21恒有公共点，则实数m的取值范围为 10．已知直线ykx1与椭圆5mA．m1 B．m1或0m1 C．m1且m5 D．0m5且m1 【答案】C

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x2y21表示的是椭圆，故m5，判断直线与曲线交点的问题，需将两【解析】由题可知：

5mykx1个方程联立，x2y2恒有公共点要求0对kR(m5k2)x210kx55m0，

15m恒成立，所以100k24(m5k2)(55m)0，整理可得所以

1mk2，由于k2的最小值为0，51m0，即m1且m5. 5二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11．已知x与y之间的一组数据：

x y 0 1 1 3 2 5 3 7 ˆbxa必过点 ． 则y与x的线性回归方程为y【答案】1.5,4.

【解析】线性回归方程必过样本中心点坐标x,y，x所以过点1.5,4. 12. 观察下列式子：

012313571.5,y4，

44131151117,1,122,„ 22222223323441111_________. 根据以上式子可以猜想：1222234201524029【答案】.

201113221115231【解析】∵12， 122，

2233223111724111112n11222„我们可以推断12222

44n234234n11114029∴1222.

234201522015x2x113．已知x0，则函数y的最小值是 ．

x【答案】3.

1x2x111【解析】∵x0∴yx12x13，当x1时取得等号，

xxx故可知函数的最大值为3.

3214．对于三次函数f(x)axbxcxda0，定义：f(x)是函数yf(x)的导数f(x)第3页，总9页

的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点x0,fx0为函数yf(x)的“拐点”.有同学发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是“对称中心”.请你将这一发现作为条件，则函数f(x)x33x23x的对称中心为__________. 【答案】1,1

【解析】f(x)3x26x3，f(x)6x6，令f(x)6x60，得x1.又f(1)1，

所以f(x)的对称中心为1,1.

x2y21的右支上一点，M、N分别是圆(x5)2y24和(x5)2y2115．P是双曲线－＝916上的点，则PMPN的最大值等于_________. 【答案】10

【解析】两个圆心正好是双曲线的焦点，PMmaxPF12，PNminPF21，再根据双曲线的定义得 PMPN的最大值为PMmaxPNminPF1PF239.

三、解答题：本题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）

已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2，cosB（1）若b4，求sinA的值；

（2）若△ABC的面积SABC4，求b，c的值. 【答案】（1）sinA3. 52；（2）c5，b17. 5342【解析】（1）∵cosB0, 且0B,∴ sinB1cosB. „„（2分）

55ab由正弦定理得， 、sinAsinB42asinB52. „„„„„„„„„„„„（6分） ∴sinAb45114（2）∵SABCacsinB4, ∴2c4. ∴ c5. „„（9分）

225由余弦定理得bac2accosB， ∴ b

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222a2c22accosB2252225317 „„„„„（12分） 517．（本小题满分12分）

数列{an}是首项为1的等差数列，且公差不为零.而等比数列{bn}的前三项分别是a1,a2,a6. （1）求数列{an}的通项公式an； （2）若b1b2bk85，求正整数k的值.

【答案】（1）d3,an3n2；（2）4.

2【解析】（1）设数列{an}的公差为d，∵ a1,a2,a6成等比数列， ∴a2a1a6

∴ (1d2)1(1d5 ) ∴ d23d

∵ d0 ∴ d3， „„„„„„„（4分）

∴ an1(n1)3n 2 „„„„„„„（6分） 3（2）数列{bn}的首项为1，公比为qa24， „„„„„„„（8分） a1.故b1b214k4k1bk， „„„„„„„（10分）

1434k185，即 4k256，解得：k4. 令

3故正整数k的值为4. „„„„„„„（12分） 18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，PAAB2，E、F分别为CD、PB的中点，AE3．

（1）求证：平面AEF平面PAB．

（2）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值． 【答案】（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴ADCDAB2．

222在ADE中，AE3，DE1，∴ADDEAE．

故AED90，即AECD． 又ABCD， ∴AEAB． ∵PA平面ABCD，AE平面ABCD， ∴PAAE．又∵PAABA，∴AE平面PAB

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又∵AE平面AEF，平面AEF平面PAB． „„„„„„„（6分） （2）解法一：由（1）知AE平面PAB，而AE平面PAE， ∴平面PAE平面PAB∵PA平面ABCD，∴PACD． 由（1）知AECD，又PAAEA

∴CD平面PAE，又CD平面PCD，

∴平面PCD平面PAE．∴平面PAE是平面PAB与平面PCD的公垂面． 所以，APE就是平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角．

222在RtPAE中，PEAEPA347，即PE7．

又PA2，∴cosAPE227． 7727．„„„„„„„（12分） 7故平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值解法二：以A为原点，AB、AE分别为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示．因为PAAB2，AE3，所以，

A(0,0,0)、P(0,0,2)、E(0,3,0)、C(1,3,0)，

PE(0,3,2)，CE(1,0,0)，AE(0,3,0)

由（1）知AE平面PAB，

故平面PAB的一个法向量为n10,1,0 设平面PCD的一个法向量为n2x,y,z，

3y2z0n2PE0n2CE0x0则 ，即，令y2，

cosn1,n2则n2(0,2,3)． ∴

n1n2n1n227277．

故平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值19．（本小题满分13分）

27．„„„„„„„（12分） 7已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产一千件，需另投入2．7万元，设该公司年内共生产该品牌服装

x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且

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x210.8,0x1030R(x). 10810002,x103xx（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式

（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？ （注：年利润=年销售收入年总成本）

x38.1x10,0x1030【答案】（1）W；（2）当年产量为9万件时利润最大为38.6万元.

1000982.7x,x103xx38.1x10,0x1030【解析】（1）由题意WxR(x)2.7x10. „„„„„„„（5分）

1000982.7x,x103xx2（2）①当0x10时，W8.10x9,或x9(舍）

10W00x9,W09x10

所以W在(0,9)上单调递增，在(9,10]上单调递减

故当x9时W取到最大值38.6. „„„„„„„（9分） ②当x10时W98(当且仅当

100010002.7x)9822.7x38 3x3x1000100时取等号 2.7x即x3x9综上，当年产量为9万件时利润最大为38.6万元. „„„„„„„（13分） 20．（本小题满分13分）

已知椭圆E：

xa22yb22e1a b 0的离心率 13P3,). ，并且经过定点 (22（1）求椭圆E的方程；

（2）问是否存在直线yxm，使直线与椭圆交于A、B两点，满足OAOB，若存在求m的值，若不存在说明理由．

x2210y21；【答案】（1）（2）m． 45【解析】（1）由题意：e31c31，又c2a2b2 且22a4ba2x2y21（5分） 解得：a4,b1，即：椭圆E的方程为422第7页，总9页

x2y21时，设A(x1,y1),B(x2,y2) （2）当椭圆方程为4x22y1x24(mx)2405x28mx4m240（*）„„（7分） 4yxm8m4m24,x1x2所以x1x2 55824m24y1y2(mx1)(mx2)mm(x1x2)x1x2mm

5522m24. „„„„„„„（9分）

5由OAOBOAOB0

4m24m24210得(x1,y1)(x2,y2)0,x1x2y1y20,„„（11分） 0m555又方程（*）要有两个不等实根，(8m)245(4m24)0,5m5 m的值符合上面条件，所以m21．（本小题满分13分） 已知函数f(x)alnx210. „„„„„„„（13分） 512x(1a)x(x0)，其中a为实数. 2（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数f(x)0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；

（3）证明：

11ln(m1)ln(m2)1；（3）略. 21n，对任意的正整数m,n成立.

ln(mn)m(mn)【答案】（1）略；（2）a„'ax2(1a)xa(xa)(x1)(x0) „（1分）【解析】（1）因为f(x)x(1a)

xxx''①当a0时，令f(x)0得x1；f(x)0得0x1，

此时，函数f(x)的增区间是1.，减区间是0,1 „„„„„„„（2分）

''②当0a1时，令f(x)0得x1或0xa；f(x)0得ax1

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此时，函数f(x)的增区间是1,和0,a，减区间是a,1 „„„„„„„（3分）

③当a1时，f'(x)0对任意x0,恒成立，

此时，函数f(x)的增区间是0,，无减区间 „„„„„„„（4分）

④当a1时，令f'(x)0得xa或0x1；f'(x)0得1xa

此时，函数f(x)的增区间是a,和0,1，减区间是1,a . „„„„„„„（5分） （2）由于f11a，显然当a0时，f10，此时，fx…0对定义域内的任意 2 x不是恒成立的；当a„0时，根据（1）函数fx在区间0,上的极小值（也是最小值）是f111a，此时只要fx…0即可，解得a„，故实数a的了取值范围是 221a„. „„„„„„„（9分）

211121（3）当a时，f(x)lnxxx0（当且仅当x1时等号成立）则

222211112，分别令lnxx2x，当x1时，此不等式可以变形为

lnxxxx1xxm1,m2,m3,,mn，则：

111ln(m1)ln(m2)ln(m3)(1111)()mm1m1m2(1ln(mn)11)mn1mn

11n mmnm(mn)1n . „„„„„„„（13分）

ln(mn)m(mn) 故

11ln(m1)ln(m2)第9页，总9页