教09-影响线及应用

§9－1 影响线的概念

在以前各章中，我们讨论了结构在恒载作用下的计算。这类荷载不仅在大小和方向上不变，而且它们的作用点在结构上的位置也固定不动，故结构的反力和各截面的内力是不变的。但是，一般工程结构除了承受恒载外，还将受到移动荷载的作用，例如桥梁要承受火车，汽车等荷载，工业厂房中的吊车梁要承受吊车荷载（图9－1，a、b）。这些荷载的作用点在结构上是不断移动的，因而结构的反力和各截面的内力也将随荷载位置的移动而变化。

图 9－1

图9－1，c为吊车梁的计算简图，P表示吊车最大轮压。作用于吊车梁的这些轮压就构成了一个平行移动的荷载系统（移动荷载），它们的特点是：当吊车移动时，各轮压的大小、方向以及轮压间的距离均保持不变。现考察一下该移动荷载对结构的影响。当吊车自左向右移动时，左支座反力RA将逐渐减小，而右支座反力RB则不断增大。相应地，梁上各截面的弯矩和剪力也将随荷载位置的移动而变化。本章的主要内容，就是要研究结构上各量值（反力、内力等）随荷载移动而变化的规律。由于结构上各量值变化情况各不相同，因此在研究移动荷载对结构的影响时，对各个反力和内力的变化情况只能逐一来考虑。在进行结构设计时，必须求出各个量值的最大值。显然，要求出某一量值的最大值，就必须先确定产生这种最大值的荷载位置。这一荷载位置称为该量值的最不利荷载位置。

在实际工程中所遇到的移动荷载通常是间距不变的平行荷载或均布荷载。为简便起见，

185

我们先研究一个竖向集中荷载P=1在结构上移动时所产生的影响，然后根据叠加原理再进一步研究各种移动荷载对结构产生的影响。

在研究单位移动荷（P=1）所产生的影响时，常把所考虑的某一量值随荷载位置移动而变化的规律用图形表示出来，这种图形称为该量值的影响线。现以荷载P=1在简支梁上移动时（图9－2，a）对支座反力RA的影响为例，说明影响线的概念。要知道单位荷载在梁上移动时RA的变化情况，可把P=1依次作用于梁上各个位置，并逐一算出相应的RA值，然后用图形表示出RA的变化规律。图9－2，c中对应于A、C，D、E，B各点的竖标，即表示P=1分别作用于各点处时所产生的RA值。图中RA的右上标表示P=1所在的位置，例

C如RA表示P=1作用于C点时（图9－2，b）RA的大小，以此类推。将所有各竖标顶点连接

起来，就得出表示RA变化的图形。在本例中，这些竖标顶点恰好在一直线上，亦即RA的 影响线恰好是一直线。（图9－2，c）。

综上所述，可得影响线的定义如下：当方向不变的单位集中荷载沿结构移动时，表示结构某指定处的某一量值（反力、内力或挠度等）变化规律的图形，称为该量值的影响线。

影响线表明单位集中荷载在结构上各个位置时对某一量值所产生的影响，它是研究移动荷载作用的基本工具。应用它可确定最不利荷载位置，从而求出相应量

图 9—2

值的最大值。

§9-2 用静力法作单跨静定梁的影响线

简支梁是工程中用得最多的静定梁（如吊车梁大多数也采用简支梁），下面以简支梁为例说明静定梁影响线的作法。通常不需要按上节所述对各个荷载位置逐一计算，而采用先根据静力平衡条件求影响线方程，进而绘制影响线的方法。这种方法即称为静力法。我们先把荷载P=1放在任意位置，以x表示单位荷载至所选坐标原点的距离，由静力平衡条件求出所研究的量值与x的关系。表示这种关系的方程称为影响线方程。据此便可作出该量值的影响线。

1．反力影响线

186

先绘制简支梁（图9－3，a）反力RA的影响线。为此，取梁的左端A为原点，令x表示荷载P=1至原点A的距离，假定反力以向上为正。根据力矩平衡条件 可得

∑MB＝RAl－P（1一x）＝0

RAlx l 把x当作变量，则这个方程就表示反力RA随荷载P=1位置移动而变化的规律，亦即RA的影响线方程。因RA是x的一次函数，故RA的影响线为一直线，于是只需定出两个竖标即可绘出。

当x＝0时， RA =l 当x＝l时， RA =0

因此，只需在左支座处取等于1的竖称，以其顶点与右端的零点相连，即得RA的影响线（图9－3，b），结果与前节所得相同。

为了绘制反力RB的影响线，可取对左支座的力矩方程：

图 9－3

∑MA＝RBll－Px＝0 由此得RB的影响线方程： RB=

x l 当x＝0时， RB＝0 当x＝l时， RB=1

于是绘得反力RB的影响线如图9－3，c所示。

在作影响线时，规定将正号影响线竖标绘在基线的上边，负号竖标绘在下边。同时，通常假定单位荷载P=1为一无名数，因此，反力影响线的竖标也

图 9－4

187

为一无名数。但是，在利用影响线研究实际荷载对某一量值的影响时（见§9－6），要将实际荷载与影响线的竖标相乘，这时就必须将荷载的单位计入，方可得到该量值的实际单位。

2．弯矩影响线

设要绘制简支梁（图9－4，a）上截面C的弯矩影响线。为此，先将荷载P=1作用于截面C的左方，即令x≤a。为计算简便起见，取梁的CB段为隔离体，以RB对C点取矩，并规定以使梁的下边纤维受拉的弯矩为正，则得 MC=RBbxb l由此可知，MC的影响线在截面C以左部分为一直线。 当x＝0时，

MC ＝0

当x＝a时， MC=ab l于是只需在截面C处取一个等于#的竖标，然后以其顶点与左端的零点相连，即可得出当荷载P=1在截面C以左移动时MC的影响线（图9－4，b）。

当荷载P=1作用于截面C以右时，即当x≥a时，上面所求得的影响线方程显然已不适用。因此，需另行列出MC的表达式才能作出相应部分的影响线。这时，为了计算简便，可取AC段为隔离体，以RA对C点取矩，即得当荷载P=1在截面C以右移动时MC的影响线方程：

MC=RAalxa l上式表明MC的影响线在截面C以右部分也是一直线。 当x＝a时， MC 当x＝l时， MC =0

据此，即可作出当荷载P=1在截面C以右移动时MC的影响线。其全部影响线如图9－4，b中实线所示。可见，MC的影响线是由两段直线所组成的，其相交点就在截面C的下面。通常称截面以左的直线为左直线，截面以右的直线为右直线。

从上列弯矩影响线方程可以看出：左直线可由反力RB的影响线将竖标放大到b倍而成，而右直线则可由反力RA的影响线将竖标放大到a倍而成。因此，可以利用RA和RB的影响线来绘制MC的影响线。其具体的绘制方法是：在左、右两支座处分别取竖标a、b（图9－4，b），将它们的顶点各与右，左两支座处的零点用直线相连，则这两根直线的交点与左右

ab l 188

零点相连的部分就是MC的影响线。这种利用某一已知量值的影响线来作其它影响线的方法，常会带来较大的方便。

由于已假定P=1为无名数，故弯矩影响线的量纲为长度。 3．剪力影响线

最后绘制截面C（图9－4，a）的剪力影响线。对于剪力的正负号与材料力学所规定的相同，即以使隔离体有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负。当P=1在截面C以左移动时，取截面C以右的部分为隔离体，可得 QC ＝－RB

当P=1在截面C以右移动时，取截面C以左部分为隔离体，则有 QC ＝RA

由上列两式可知，QC影响线的左直线与反力RB的影响线相同，惟符号相反，而其右直线则与RA的影响线相同。据此，即可作出QC影响线如图9－4，C所示。

图 9－5

应该指出，影响线与内力图是截然不同的，初学者容易把它们混淆起来。现将弯矩影响线和弯矩图作一比较，以资辨别清楚。图9－5，a表示简支粱的弯矩MC影响线，图9－5，b表示荷裁P作用于C点时的弯矩图。两图形式相似，但各图的竖标代表的含义却截然不同。例如D点的竖标，在MC影响线（图a）中是代表P=1作用在D时MC的大小（以M#表示，右上标表示P=1所在位置），而弯矩图（图b）中在D点的竖标则是代表固定的实际荷载下截面D的弯矩值（MD）。对于其它内力的影响线和内力图的区别也是这样。

例9－1. 作图9－6，a所示伸臂梁的反力影响线，以及截面C和D的弯矩、剪力影响线。

189

[解] 先作反力RA和RB的影响线。取支座A为座标原点，分别求得反力RA和RB的影响线方程为：

RAlxx,RB ll只要注意到当荷载P=1位于支座A以左时x取负值，则上面两个影响线方程在梁全长范围内均能适用。据此，可绘得反力RA和RB的影响线如图9－6，b、c所示。 再作截面C的弯矩MC和剪力QC的影响线。当P=l位于截面C的左方时，求得MC和QC的影响线方程为：

MC＝RB·b QC ＝－RB

当P=1位于截面C的右方时，则有 MC＝RA·a QC ＝RA

绘得MC和QC的影响线如图9－6，d，e所示。

最后作截面D的弯矩MD和剪力QD的影响线。此时，为计算简便起见，宜取D为座标原点，以x1表示P=1至原点D的距离，且令x1在 D以左时取正值。取截面D以左部分为隔离体，考虑其平衡条可知，当P=1位于D以左部分时，有 MD＝－x1， QD＝－1 当P=1位于D以右部分时，则有

190

图9－6

MD＝0．， QD＝0

据此可作出MD和QD的影响线如图9－6，f、g所示。

§9-3 间接荷载作用下的影响线

在上一节介绍影响线的作法时，我们讨论的是荷载直接作用在梁上的情况；而实际上不少结构，也常受间接荷载（也称结点荷载）的作用。例如桥梁或房屋建筑中的某些主梁，则是通过一些次梁（纵梁和横梁）将荷载传到主梁上的。主梁上的这些荷载传递点即为主梁的结点。以移动荷载来说，不论荷载在次梁上的哪些位置，其作用都要通过这些固定的结点传递到主梁上。如图9－7，a所示的梁系，AB为一简支主梁，其上是五根横梁（两端支在两根主梁上）。横梁所在处A、C、D、E、B即主梁的结点。横梁上面为四根简支纵梁。荷载直接作用在纵梁，而后通过横梁再传到主梁。 我们现在就讨论这种结点荷载作用下主梁某些量值影响线的作法。

图 9－7

设以主梁上截面F的弯矩

MF影响线为例，当P=1作用在结点C、D之间的纵梁上时，主梁AB在C、D两点所承受的结点荷载分别为与

dxx和（图9-7，b）。根据上节所述并利用叠加原理可知，在这两dd个结点荷载共同作用下，MF的影响线竖标 MFdxxyCyD dd 191

这是x的一次式。因此，MF影响线在C，D之间为一直线。式中yC和yD分别为直接荷载作用下MF影响线在C，D两点的竖标（图9－7，c）。将yC和yD的顶点用一条直线相连，从比例关系可知，图9－7，c中P=1下方的竖标y就等于上式所示MF的影响线竖标。因此，在结点荷载作用下，MF的影响线即如图9-7，C中的实线所示。

以上的讨论同样也适用于主梁其它量值的影响线。这样，我们可以将结点荷载作用下某一量值影响线的作法归纳如下：

1．先作出直接荷载作用下该量值的影响线；

2．由于影响线在任意两个相邻结点之间为一直线，因此，将所有相邻两个结点之间影响线竖标的顶点分别都用直线相连，即得该量值在结点荷载作用下的影响线。

依照上述作法，可得主梁上截面F的剪力QF影响线如图9-7，d中的实线所示。

§9-4 用机动法作单跨静定梁的影响线

§9-2介绍了绘制影响线的静力法。本节介绍绘制静定梁影响线的另一方法，即机动法。 用机动法作影响线是以虚位移原理为依据的。我们先以绘制图9－8，a所示AB梁的反力RA 的影响线为例，说明这一方法。

为了求出反力RA，我们将与它相应的联系去掉而以力X代替其作用，如图9－8，b所示。这样，原结构便成为具有一个自由度的机构。因 a）以力X代替了原有联系的作用，故它仍能维持平衡。使该机构发生任意微小的虚位移，并以δX和δP分别表示X和P的作用点并沿力的作用方向的虚位移，则由于该机构在力X、P和反力RB 6）共同作用下处于平衡，因此，根据虚位移原理，各力所作虚功的总和应等于零，即

XδX＋PδP＝0 c）

X＝－δP／δX

图 9－8

在作影响线时，取P=1故

式中δX的数值在给定虚位移的情况下是不变的；而δP却随荷载P=1位置的不同而变化。依照虚位移原理，δX和δP都是微小的量，但两者的比值δP／δX则可以是相当大的有限值。为了方便，我们可以在不改变各点的虚位移方向，δP与δX的比值的前提下，令δX=1，因而上式就变成为

192

X＝－δP

可见，δP的变化情况即反映出荷载P=1移动时X的变化规律。就是说，此时δP的位移图便代表X的影响线，只是符号相反而已。由于δP是以与力P的方向一致者为正，即δP图以向下为正，而X与δP反号，故X的影响线应以向上为正。

由上述可知，为了作出量值X的影响线，只需将与X相应的联系去掉，并使所得机构沿X的正方向发生单位位移，则由此得到的虚位移图即代表X的影响线，也即RA影响线（图9－8，c）。这种绘制影响线的方法，便称为机动法。

机动法可以不经过具体计算就迅速绘出影响线的轮廓，这对于设计工作是很方便的，同时，我们还可利用它来校核静力法所绘制的影响线。 下面再举两例来说明机动法的应用。如图9－9，a所示的简支梁，试用机动法作其上截面C的弯矩MC的影响线。为此，先将与MC相应的联系去掉，亦即在截面C处安置一个铰，并以一对力偶MC代替原有联系的作用。其次，使AC，BC两部分沿MC的正方向发生虚位移，（图9－9，b）。根据虚位移原理，可写出

MCPP0

故 MCP

式中δP和α＋β，依照虚位移原理，也都是微小的量。但与上述用机动法绘制RA影响线时同样，为了方便，我们在不改变各点的虚位移方向，虚位移图的形

式，δP与α＋β的比值的前提下，设 α＋β＝1，则MC ＝－δP，这样，所得到的虚位移图（图9－9，c）即代表MC的影响线。

同理，欲绘制剪力QC的影响线，可去掉与QC相应的联系而得到图9－9，d所示的机构。使其沿QC的正方向发生虚位移，并写出如下方程： QC（CC1+CC2）＋PδP＝0

图 9－9

193

得

QCPCC1CC2

若使δX＝CC1+CC2＝1，亦即使AC和CB两部分在垂直于两平行链杆的方向（即沿截面方向）的相对位移等于1，则所得到的虚位移图即表示QC的影响线，如图9－9，e所示。值得注意的是：在图9－9，d中，AC和CB两部分是用平行于杆轴的两根链杆相联的，它们之间的相对运动只能在垂直于链杆的方向作平行移动。因此，图9－9，d所示的虚位移图中AC1和BC2应互相平行，亦即QC影响线的左、右两直线应相互平行。

§9-5桁架的影响线

现以图9－10，a所示桁架为例说明用静力法绘制桁架杆件内力影响线的方法。设单位荷载沿桁架的下弦杆移动。

与图9－7，a所示梁系的荷载传递方式相似，桁架上的荷载一般也是通过纵梁和横梁而作用于桁架的结点上。因此，如§9－3所述，桁架杆件内力的影响线在任意两个相邻结点之间也为一直线。

现在若要作某一杆件内力的影响线，只须将载荷P=1依次放在下弦的各结点A、C、D、E、B，而后利用第四章所介绍的截面法或结点法分别求出相应的该杆内力值，这些内力值即相当各个结点处的影响线竖标，将各竖标绘出，用直线相连，即得所求杆件内力的影响线。 以下我们作图9－10，a中杆件内力NFG、NCD、NFD、NFC的影响线。 1．NFG影响线

作截面I-I，当P=1在其左侧各结点上时，可取截面右侧部分桁架为隔离体，以结点D（即 FD和CD两杆的交点）为矩心，并设NFG为拉力，这样，由∑MD＝0得

－RB×2d一NFG×r1＝0

故

NFG2dRA （压力） （a） r1当P=1在截面I－I右侧各结点上时，可取截面左侧部分桁架为隔离体，仍以结点D为矩心，设NFG为拉力，这样，由∑MD =0得

RA×2d+NFG×r1＝0

194

故

NFGb）

2dRB 压力） r1 根据以上（a），（b）两式，可知，将RB影响线竖标乘以因子2d之后，取其A、Cr1两个结点之间的部分；同样，将RA影响线竖标也乘以同一因子2d之后，取其D、Br1两个结点之间的部分，而后再将C、D两个相邻结点的竖标顶点用直线相连，综合这三部分即得NFG影响线，如图9－10，b所示。

又（a）、（b）两式全可写成

图9－10

NFGMD r11。 r1也就是，NFG影响线即等于相应简支梁结点D处弯矩MD的影响线乘以因子 2．NCD影响线

按照与以上类似的分析方法，可以求得 NCDMD h1因此，将MF影响线乘以因子#即得NCD影响线，如图9－10，c所示。 3．NFD影响线

195

仍用截面I－I，当P=1在其左侧各结点上时，取其右侧部分桁架为隔离体，以FG和CD两杆杆轴引长线的交点O（图9-10，a）为矩心，设NFC为拉力，由∑MO＝0得 －RB×（l+a）－NFD×r2＝0 故

NFDlaRB （压力） r2当P=1在截面右侧各结点上时，取左侧部分桁架为隔离体，仍以O为矩心，并设NFD为拉力，由 ∑MO＝0 得 －RA×a+NFD×r2＝0 故

NFDa RAr2仿照1．中所述作法，得NFD影响线如图9－10，d所示。由几何关系可以证明，分别乘以因子laa和之后的RB影响线和RA影响线，两者引长线的交点恰在矩心O的下方。 r2r2 4．NFC影响线

取结点C为隔离体，当P=1在结点A、D、E、或B上时，由∑Y＝0得 NFC＝0

当P=1恰在结点C上时，由∑Y＝0得 NFC＝+1

由此得NFC影响线如图9－10，e所示。

§9-6影响线的应用

前已指出，影响线是研究移动荷载作用的基本工具，可以应用它来确定实际的移动荷载对结构上某量值的最不利影响。这里要解决两方面的问题：一是当实际的移动荷载在结构上的位置已知时，如何利用某量值的影响线求出该量值的数值；二是如何利用某量值的影响线确定实际移动荷载对该量值的最不利荷载位置。下面分别就这两方面的问题加以讨论。

196

一、当荷载位置固定时求某量值

在实际工程中最常见的移动荷载有集中荷载和均布荷载两种，本节就这两种荷载情况分别叙述如下。

首先研究集中荷载作用的情况。如图9－11，a所示简支梁，受一组位置已知的集中荷载P1、P2、P3作用，要求计算简支梁在该组荷载作用下截面C的剪力QC之值。显然，用§3－1所述的静定结构的内力分析方法可立即求出解答。下面我们从另一途径，即利用影响线来计算QC。为此，须先作出QC影响线如图9－11，b所示。设其在荷载作用点的竖标依次为y1、y2、y3，根据影响线竖标的含义，应用叠加原理，可知在这组集中荷载作用下QC之值为

QC＝P1•yl＋P2•y2＋P3•y3

在一般情况下，设结构上承受一组集中荷载P1、P2、P3、…、Pn的作用，结构上某量值S的影响线在各荷载作用点相应的竖标依次为y1、y2、y3、…、yn则在该组集中荷载共同作用下，量值S为

S＝P1•yl＋P2•y2＋P3•y3…＋Pn•yn＝∑Pi•yi （9-1）

图 9－11

图 9－12

应用式（9-1）时，需注意影响线竖标yi的正、负号。例如，在图9-11，b中y1为负值，y2、y3为正值。

其次，讨论均布荷载的影响。设结构受均布荷载q的作用（图9－12，a），欲求此均布荷载作用下量值S的大小。以集中荷载的影响为依据，本问题即不难解决。为此，先作出量值S的影响线，以y表示S影响线的竖标（图9－12，b），将均布荷载沿其长度分成许多无穷小的微段dx，每一微段上的荷载qdx可作为一集中荷载，则作用于结构上的全部均布荷载对量值S的影响为

197

Syqdxqydxq （9-2）

DDEE式中ω表示影响线在荷载分布范围内的面积。

由此可知，在均布荷载作用下某量值S的大小，等于荷载集度q与该量值影响线在荷载分布范围内面积ω的乘积。在计算面积ω时，同样须考虑影响线竖标的正、负号。 例9－2 试利用QC影响线求简支梁（图9-13，a）在图示荷载作用下的QC值。 [解] 先作QC影响线并求出有关的竖标值如图9-13，b所示。 根据叠加原理，可算得

QC=PyD+q21

11•ω2一 200.4100.20.62.40.20.41.2QC＝P•yD＋q（

2214kN读者可用第三章熟知的方法进行校核。 二、判定最不利荷载位置

在结构设计中，我们需要求出量值S的最大值Smax（括最大正值和最大负值，最大负值也称为最小值Smin）为设计的依据，而要解决这个问题必须先确定使其发生最大值的最不利荷载位置。只要所求量值的最不利荷载位置一经确定，则其最大值即不难求得。影响线的最重要作用就是用它来判定最不利荷载位置。 对于移动均布活载（例如人群等荷载），由于它可以任意断续地布置，故最不利荷载位置是很容易确定的。从式（9-2）可知：当均

图 9－1 3

布活载布满对应影响线正号面积的部分时，则量值S将产生最大值Smax；反之，当均布活载布满对应影响线负号面积的部分时，则量值S将产生最小值Smin。例如，要求图9－14，a所示伸臂梁中截面C的弯矩最大值MC(max)和最小值MC(min)，则相应的最不利荷载位置将如图9－14，c，d所示。

对于一组集中荷载，其最不利荷载位置的确定一般要困难些。下面仅就影响线为三角形的情况进行讨论。

图9－15，a，b分别表示一组间距不变的移动集中荷载和某一量值S的影响线。现在来

198

图 9－1 4

图 9－15

研究在什么情况下，荷载位置是最不利的，亦即荷载处于什么位置时，S将达到最大值Smax。设荷载组处于图示位置时，各集中荷载对应的影响线竖标为y1、y2、…、yi…、yn。此时，量值S的相应值（以S1表示）为

S1＝P1yl＋P2y2＋···＋Piyi＋···＋Pnyn 当荷载向右移动一距离△x，则S值将变为

S2=Pl（yl＋△y1）＋P2（y2＋△y2）＋···＋Pi（yi＋△yi）＋···＋Pn（yn＋△yn） 式中△yi代表Pi所对应的影响线竖标增量。由上列两式之差可得出量值S的增量为 △S=S2－S1=P1△y1＋P2△y2＋···十Pi△yi＋···＋Pn△yn

在影响线为同一直线的部分，各竖标的增量都是相等的，对于图9－15所示情况则有

△y1＝△y2＝···＝△yi＝△x tgα=△x·(h/a) △yi+l＝···＝△yn＝△x tgβ＝△x·(h/b)

在上列两式中规定△x恒取正值，当荷载向右移动时，tgα对应于竖标增大故为正，而tgβ对应于竖标减小则为负。于是S的增量可写为

△S＝（P1+P2+···+Pi）(h/a)△x一（Pi+l+···+Pn）(h/b)△x （9-3）

根据上式△S的增减，我们就可以研究最不利荷载位置。从高等数学可知：函数的极值，或发生在

dSdS变号的尖点处。在我们所讨论的问题中，因荷载为集中力，0处，或发生在dxdx而影响线又是由x的一次函数表示的折线图形，故由S=∑Piyi可知，量值S与荷载位置x之间的关系曲线为一折线。于是S的极值应发生在簪改变符号的尖点处。这一极值条件可用增量△S是否改变符号来判定，即当△S变号时，则S有极值。

现在来讨论当荷载处于什么位置时，有可能使△S变号。从式（9-3）可知，当没有集

199

中荷载经过影响线的顶点时，△S是一个不变的常数值，因此，要使△S变号，就必须有某个集中荷载由影响线顶点的左边过渡到右边。换句话说，只有当一个集中荷载位于影响线的顶点时，才有可能使△S变号而使S有极值。由此可知，集中荷载位于影响线的顶点是最不利荷载位置的一个必要条件，然而，它并非是充分条件。因为荷载经过影响线的顶点虽则使△S的大小发生了变化，但并不一定就能使△S改变符号。只有那种既通过影响线顶点又能使△S改变符号的荷载（设以PK表示）才会使S发生极值。我们称这一荷载PK为临界荷载。与此相应的荷载位置称为临界位置。显然，当PK位于影响线顶点时，它应满足如下极值条件：

当S为极大值时，则△S由大于零变为小于零；有时也可能发生于△S由大于零变为等于零或由等于零变为小于零的情况。

当S为极小值时，则△S由小于零变为大于零；有时也可能发生于△S由小于零变为等于零或由等于零变为大于零的情况。

对于寻求极大值来说，根据式（9-3），可将上述极值条件表示为 （P1+P2+···+Pi）(h/a)△x－（Pi+l+···+Pn）(h/b)△x ≥ 0 （P1+P2+···+Pi-1）(h/a)△x－（Pi+Pi+l+···+Pn）(h/b)△x ≤ 0

令∑P左和∑P右分别代表PK以左和PK以右的荷载之和，并考虑到h△x为正值，则以上两个不等式可改写为

ab  （9-4）

P左P右PKab左PPKP右式（9-4）就是对三角形影响线在寻求极大值时，临界荷载必须符合的条件，称为三角形影响线临界荷载判别式。对此，可以这样理解：把不等式的每一方均看作是一个平均荷载，则PK算在影响线顶点的某一边，这一边的平均荷载就将大于或等于另一边。至于△S由小于零变到大于零的情况，其判别式也可仿此推出。

必须指出：上述判别式是假定荷载自左向右移动而推得的，如自右向左移

200

图 9－1 6

动时，也将得到同样的判别式，故它与实际荷载移动的方向无关。

按判别式（9-4）即可确定临界荷载，但有时临界荷载可能不止一个，这时可将相应的极值分别算出，看哪一个为最大。产生最大极值的那个荷载位置就是最不利荷载位置，此极值即为我们需求的量值S的最大值（或最小值）。

例9－3 试求图9－l 6，a所示简支梁在图示吊车荷载作用下B支座的最大反力。其中P1＝P2＝478.5 kN，P3＝P4＝324.5 kN。

[解] 先作出RB影响线，然后根据式（9-4）来判别临界荷载。在图示4个集中荷载作用下，究竟哪些荷载蒋是临界荷载呢?由S=∑Piyi可以看出，欲使S值为最大，则须∑Piyi中的各项Piyi具有较大的值。这就要求在影响线顶点附近有较大的和较密集的集中荷载。由此可知，临界荷载必然是P2或P3。现分别按判别式（9-4）进行验算。 首先，考虑P2在B点的情况（图9－16，b），有

248.75324.566 

487.5487.5324.566故P2为一临界荷载。

其次，考虑P3在B点的情况（图．9－16，c），有

487.5324.566

487.52324.566故P3也是一个临界荷载。

324.5  以上情况说明荷载有两个临界位置。究竟哪一个为最不利荷栽位置呢?在难以直观确定的情况下，应按S=∑Piyi计算，再作比较。这时，应先分别算出各荷载位置时相应的影响线竖标。

当P2在B点时，

RB＝478.5×（0.1125+1）＋324.5×0.758＝784.3 kN 当P3在B点时，

RB＝478.5×0.758＋324.5×（1＋0.2）＝752.1 kN

201

比较两者可知，当P2在B点时为最不利荷载位置；此时有RB(max)＝784.3 kN。

§9-7 简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩

在设计吊车梁等承受移动荷载的结构时，必须求出各截面上内力的最大值（最大正值和最大负值）。用上节介绍的确定最不利荷载位置进而求某量值最大值的方法，可以求出简支梁任一截面的最大内力值。如果把梁上各截面内力的最大值按同一比例标在图上，连成曲线，这一曲线即称为内力包络图。显然，梁的内力包络图有两种：弯矩包络图和剪力包络图。包络图表示各截面内力变化的极限值，是结构设计中的主要依据，在吊车梁和楼盖设计中应用很多。本节只介绍简支梁的内力包络图，至于连续梁的内力包络图，将在§9－9中讨论。 图9－17，b示一吊车梁，跨度12m，承受两台桥式吊车的作用，吊车轮压见图9－17，a。绘制吊车梁的弯矩包络图时，一般将梁分成若干等分（通常分为十等分），对每一一等分

点所在截面利用影响线求出其最大弯矩，用竖标标出，连成曲线，就得到该梁的弯矩包络图。上述吊车梁在图示荷载作用下的弯矩包络图如图9－17，c所示。同理，可求出各截面的最大剪力，作出剪力包络图。上述吊车梁的剪力包络图示于图9－17，d。 由于每一截面都将产生相应的最大剪力和最小剪力，故剪力包络图有两根曲线。由本例可知，

图9－17

关，吊车的台数、规格不同，同一吊车梁的内力包络图也将不同。

弯矩包络图中的最大竖标即是该简支梁各截面的所有最大弯矩中的最大值，我们称它为

202

简支梁的内力包络图与荷载情况有

绝对最大弯矩。它代表在确定的移动荷载作用下梁内可能出现的弯矩最大值。绝对最大弯矩与两个可变的条件有关，即截面位置的变化和荷载位置的变化。也就是说，欲求绝对最大弯矩，不仅要知道产生绝对最大弯矩的截面所在，而且要知道相应于此截面的最不利荷载位置。如果按照前述求最不利荷载位置的方法，必须先确定绝对最大弯矩所在的截面。实际上，由于梁上截面有无限多个，所以无法把粱上各个截面的最大弯矩都求出来一一加以比较。因此，必须寻求其它可行的途径。

我们知道，简支梁的绝对最大弯矩与任一截面的最大弯矩是既有区别又有联系的。求某一截面的最大弯矩时，该截面的位置是已知的，而梁的绝对最大弯矩，其截面位置却是待求的。根据§9－6所述可知，对任一已知截面C而言，它的最大弯矩发生在某一临界荷载PK位于其影响线的顶点时，即当截面C发生最大弯矩时，临界荷载PK必定是位于截面C上。换言之，任一截面的最大弯矩必将发生于某一临界荷载PK之下。这一结论自然也适合于绝对最大弯矩，只不过此时，截面位置和临界荷载PK都是待求的。要把临界荷载和截面位置同时求出是不方便的。如果我们能够事先确定绝对最大弯矩的临界荷载PK，然后再考察此一临界荷载位于何处时将使其下截面的弯矩达到最大值，则此最大值就是绝对最大弯矩。为此，可采用试算的办法，即先假定某一荷载为临界荷载，然后看它在哪一位置时可使其所在截面的弯矩达到最大值。这样，将各个荷载分别作为临界荷载，求出其相应的最大弯矩，再加以比较，即可得出绝对最大弯矩。

如图9－1 8所示简支梁，现在来研究当其中某一荷载PK可能成为临界荷载时，亦即可能使其所在截面的弯矩为最大时，其所在的位置如何。设x表示PK至支座么的距离，a表示梁上所有荷载的合力R与PK的作用线之间的距离，由∑MB＝0，得 RARa lxl进而可求得PK作用点所在截面的弯矩为

MxRAxMKRlxaxMK l式中MK表示PK以左的荷载对PK作用点的力矩之和，其值为一常数。为求MX的极值，可令

图9－18

得 x

dMxRl2xa0 dxllx2或xlxa

上式表明，PK所在截面的弯矩为最大时，梁上所有荷载的合力R与PK恰好位于梁的中

203

线两侧的对称位置。计算时，须注意R是梁上实有荷载的合力。在安排PK与R的位置时，有些荷载可能来到梁上或者离开梁上，这时需要重新计算合力R的数值和位置。

按上述方法依次算出各个集中荷载所在截面的最大弯矩，加以比较，其中最大的一个就是所求的绝对最大弯矩。不过，在实际计算中，绝对最大弯矩的临界荷载通常容易估计，而可不必多加比较。这是因为绝对最大弯矩通常总是发生在梁的中点附近，故可设想，使梁的中点发生最大弯矩的临界荷载也就是发生绝对最大弯矩的临界荷载。经验证明，这种设想在通常情况下都是与实际相符的。

由此可知，计算绝对最大弯矩可按如下步骤进行：首先按§9－6的方法判定使梁跨度中点发生最大弯矩的临界荷载PK，然后移动荷载组，使PK与梁上全部荷载的合力R对称于梁的中点，再算出此时PK所在截面的弯矩，即得绝对最大弯矩。 例9－4 试求图9－19，a（即图9－17）所示吊车梁的绝对最大弯矩。P1＝P2＝P3＝P4＝280 kN。 [解] 首先求出使跨中截面C发生最大弯矩的临界荷载。为此，绘出MC影响线如图9-19，b所示。按判别式（9-4）可知，P1、P2、P3和P4都是截面C的临界荷载，但不难看出，P1、P4不可能是使截面C产生最大弯矩的临界荷载，而只有P2或P3在C点时才能使截面C产生最大弯矩MCmax。当P2在截面C时（图9-19，a），求出MC影响线相应的竖标（图9-19，b）

MC max＝280×（0.6＋3＋2.28）＝280×5.88=1646.4 kN·m

同理，可求得P3在截面C时产生的最大弯矩值，由对称性可知它也等于1646.4 kN·m。

因此，P2和P3就是产生绝对最

大弯矩的临界荷载。现以P2为例求绝对最大弯矩，为此，使P2与梁上全部荷载的合力R对称于梁的中点。应注意P2可位于C的左边与梁上合力R对称于梁中点（这时梁上的荷载有四个），P2也可位于C的右边与R对称于梁中点（这时粱上的荷载只有三个）。

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图 9－19

先考察梁上有四个荷载的情况（图9－19，c），梁上全部荷载的合力为R=280×4=1120 kN，合力作用线就在P2与P3的中间，它与P2的距离为a＝1.44/2＝0.72 m。此时P2作用点所在截面的弯矩为

Rla11202MM120.722804.81624kNm Kl24122此弯矩值比MC max小，显然它不是绝对最大弯矩。

其次，考察粱上只有三个荷载的情况（图9-19，d）。这时梁上荷载的合力力R＝280×3＝840 kN，合力作用点至P2的距离为 a2804.82801.441.12m

3280因P2在截面C的右侧，故计算MK时，应取P3对P2作用点的力矩，可求得P2作用点所在截面的弯矩为

Mmax32802121.122801.441668.5kNm 412如果我们利用影响线竖标进行计算（见图9-19，e所示MD影响线），也可得相同结果，即 Mmax＝280×(0.798＋2.974＋2.187)＝1668.5 kN·m

故该吊车梁的绝对最大弯矩为1668.5 kN·m，即为图9－17，c所示弯矩包络图中的最大竖标。由于对称，可知，P3为临界荷载时产生的绝对最大弯矩值也是1668.5 kN·m。

§9-8 用机动法作超静定梁影响线的概念

在前面几节，我们讨论了静定梁影响线的绘制和利用影响线确定最不利荷载位置等问题。对于超静定梁，欲确定在移动荷载下的最不利荷载位置，同样需要借助于影响线。 由§9－2可知，静定梁的反力和内力影响线都是由直线段组成，其竖标的计算比较简单，而且只要定出每段直线的两个竖标，则影响线即容易绘出。但由第七章中表7－1可看出，当一集中荷载沿超静定梁移动时，梁的反力和内力并非线性变化，故超静定梁的反力和内力影响线都为曲线，竖标的计算及影响线的绘制要复杂得多。若用静力法绘制其上各量值的影响线，必须先解算超静定结构，求得影响线方程，将梁分为若干等分，依次求出各分点的竖标，再连成曲线。显然，这样绘制影响线将是十分繁杂的。

不过，建筑工程中通常遇到的多跨连续梁在活载作用下的计算，多为可动均布荷载情况（如楼面上的人群荷载）；这时，只要知道影响线的轮廓，就可确定最不利荷载的位置，而不必求出影响线竖标的具体数值。由前述可知，用机动法可以不经过具体计算就绘出影响线

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的轮廓，这对活载作用下连续梁的设计带来很大的方便。下面介绍用机动法作超静定梁影响线的概念。

图 9－20

设有一n次超静定梁（图9－20，a），欲绘制其上某指定量值XK（例如MK）的影响线，可先去掉与XK相应的联系，并以XK代替其作用，如图9－20，b所示。求XK时，我们即以这样去掉相应联系后所得到的n-1次超静定结构作为力法的基本结构。按照力法的一般原理，根据原来结构在截面K处的已知位移条件可建立如下力法方程：

δKKXK＋δKP＝0

故得

XKKP （a）

KK式中：δKK代表基本结构上由于XK1的作用，在截面K并沿XK的方向所引起的位移，如图9－20，C所示，其值与荷载P的位置无关而为一常数且为正值。δKP代表基本结构上由于P=1的作用在截面K沿XK的方向所引起的位移，其值则随荷载P的位置移动而变化（图9－20，d）。

由位移互等定理，有δKP ＝δPK。δPK代表由于XK1的作用在移动荷载P的方向上所引起的位移（图9-20 c）。于是上式可写为

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XKKPPK （b） KKKK在式（b）中，XK和δPK均随荷载P的移动而变化，它们都是荷载位置x的函数，而δKK则是一个常数。因此式（b）可以更明确地写成如下形式

XK(x)1KKPK(x) （9-5）

我们知道，XK随x而变化的图形就是XK的影响线，而函数δPK(x) 的变化图形即是图9-20，c所示的竖向位移图，由此可得出结论：超静定结构某一量值XK影响线，和去掉与XK相应联系后由XK1 所引起的竖向位移图成正比。进一步考察式（9-5），若将位移δPK图的竖标乘上常数1KK，便是所要求的XK的影响线，或者说，如果我们使XK的作用所

产生的位移δKK恰好为一个单位，即令δKK＝1，则上式就变为

XK(x)PK(x) （c）

这就是说，相应于δKK＝1 而产生的竖向位移图就代表XK的影响线（图9－21，e），只不过符号相反而已。因竖向位移δPK图是取向下为正（见图d所示位移图的符号），而XK与δPK反号，故在XK影响线图形中，应取梁轴线上方的位移为正，下方为负（见图6－20，e所示）。

图 9－21

综上所述可知，用机动法作超静定结构影响线的步骤与§9－4所述是一致的：为了作出某一量值XK的影响线，只要去掉与XK相应的联系，而使所得结构产生与XK相应的单位

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位移，则由此而得的位移图即代表XK的影响线。

下面再列举作剪力和竖向反力影响线的例子。如图9－21，a所示连续梁，设要绘制截面K的剪力QK影响线。为此，先将与QK相应的联系去掉，即在K处切开，改为如图9－21，b所示的联系，这种联系可以抵抗轴力和弯矩，但不能抵抗剪力，然后再以一对剪力QK代替原有联系的作用。使去掉联系后的结构发生与QK相应的单位位移，则所得的位移图即表示QK的影响线（图9－21，c）。图9－21，d表示反力Ri的影响线，它是由去掉该支座的联系以Ri代替并使其发生单位位移而得到的位移图。

有了影响线的轮廓，就可以方便地确定连续梁在均布活载作用下的最不利荷载分布。如图9－22，a所示连续梁，欲确定BC跨中截面K和支座截面C的弯矩的最不利荷载位置，可先分别绘出MK和MC的影响线轮廓（见图9－22，b、e）。根据式（9-2），即S＝qω可知，将均布活载布满影响线面积的正号部分时，即为相应于该量值最大值时的最不利分布情形；反之，使均布活载布满影响线面积为负号的部分时，即为相应于该量值最小值（即最大负值）时的最不利分布情形。相应于MK和MC的最大、最小值时的最不利荷载位置分别示于图9－22c、d和f、g。当各量值的最不利荷载位置确定之后，则其最大，最小值便不难求得。

图 9－22

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