2015年全国高中数学联赛模拟题3

一、填空题

1若正整数m,n(mn0)使得2015|（55），则mn的最小值为________．

mn20152015

与之间，则x=________． 22

x3xx1

33若A,B为三角形内角，且满足cosA+cosB-cos(A+B)=,则2x2y24若椭圆221的两焦点与短轴两顶点组成一个单位正方形的四个顶点，则此椭圆的

ab2设正整数x介于

内接正方形面积为________． 5函数fxx21x48x216x52的最小值为________．

6将两个全等的正三棱锥的底面重合在一起得到一个六面体。已知该六面体所有的二面角均相等，在此六面体中，可将引出三条棱的顶点称为“红顶点”，引出四条棱的顶点称为“蓝

a________． b27设m,n为正整数，若多项式fx(1x)m(1x)n中，x的系数为2015，而x的系数

23为1007，则其x项的系数为________．

顶点”，并记联结两个红顶点的线段长为a，联结两个蓝顶点的线段长为b，则

8若a为大于10 的平方数，满足各位数字互异且同奇偶，则a=________．

二、解答题

(cosAcosBcosC)23 1. 在锐角ABC中，证明：

12cosAcosBcosC2. 已知正整数无穷数列{an}满足an1,an2an2015，求{an}的个数

an11x2y23. 给定双曲线221，其右顶点为A，右焦点为F，l为其右准线，MN为过焦点F 的

ab弦，射线NA,MA分别与准线l交于点C,D，P 为线段CD 的中点，证明:PFMN

加试

xya(a2a1)一、对于给定的正整数a，若有正整数x,y,使得与2的值均为正整数，证

a1xy明：这两个分式的值全为1

二、已知ABC内接于0,p过点B、C且与AC、AB分别交于点E、F.若D为BE与CF的交点，射线PD与o交于点M，证明：MBE与MCF的内心重合。 三、设

2015

个

实

数

x1,x2,x3,,x20满足

x1x2x20151,且

xk1008(k1,2,,2015)。证明：存在x1,x2,x3,,x2015的一个排列y1,y2,y2015，使

得y12y22015y20151008 四、设pn11，求正整数n，使得=2015 2knkpn2n