宁乡一中、攸县一中2019年四月高三联考试题
文科数学
一、单选题（本题共有12个小题，每小题5分，共60分） 1.已知全集A.
，集合
B.
,
C.
，则
（ ）
D.
【答案】C 【解析】 【分析】 由题得
={x|x≤2或x≥7}，再求
={x|x≤2或x≥7}，所以
得解.
.
【详解】由题得故选：C
【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2.欧拉公式
（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义
域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。根据欧拉公式可知，A. 第一象限 【答案】D 【解析】 【分析】 直接由欧拉公式
，可得
，则答案可求．
表示的复数位于复平面中的（ ）
C. 第三象限
D. 第四象限
B. 第二象限
【详解】由欧拉公式，可得，
表示的复数位于复平面中的第四象限．
故选：D
【点睛】本题主要考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数学转化思想方法，是基础题． 3.设为等差数列的前项和，且
，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
由等差数列的性质求得【详解】因为所以
，故选B.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前 项和公式，属于中档题.求解等差数列有关问题时，要注意应用等差数列的性质
（
）与前 项和的关系.
，利用等差数列的前项和公式结合等差的性质可得结果.
，
4.某程序框图如图所示，则执行程序后输出的结果为（ ）
A. 【答案】C 【解析】 【分析】
B. C. D.
直接模拟程序框图运行即得解.
【详解】由题得k=2,S=2+2=4,2＜3，k=3,S=8+3=11,3=3,k=4,S=22+4=26,4＞3，输出S=26. 故选：C
【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5.设，满足A.
，那么B.
的最大值为（ ）
C.
D.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据约束条件画出可行域，平移目标函数经过可行域，利用z的几何意义，求出答案即可. 【详解】
满足
的可行域为如图：
令z=2x-y，当直线经过点A（0，-1）时，在y轴截距最小，z最大， 所以目标函数z=2x-y的最大值为故选D.
【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题关键在于利用z的几何意义，属于基础题. 6.用种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，则两个小球颜色不同的概率为（ ） A. 【答案】A 【解析】 【分析】
两个小球颜色不同的对立事件为两个小球颜色相同，先计算得两个小球颜色相同的概率，用减去这个概率，得到两个小球颜色不同的概率. 【详解】基本事件的总数为率为
种，两个小球颜色相同的事件有种，故两个小球颜色相同的概
.故选A.
B. C. D.
，故两个小球颜色不同的概率为
【点睛】本小题主要考查古典概型，考查利用对立事件来计算概率.解题过程中如果直接求事件的概率较为复杂时，可以转化为先求该事件的对立事件的概率，然后利用对立事件概率的计算公式，来计算得到事件的概率.在计算基本事件的总数时，要注意颜色能否重复.属于基础题. 7.定义在的函数取值范围是（ ） A.
【答案】B 【解析】 【分析】 由题得函数
在
上单调递减，所以抛物线的对称轴
单调递减，
上单调递减， .
解之即得解.
B.
C.
D.
与函数
在
上具有相同的单调性，则的
【详解】由题得定义在的函数所以函数
所以抛物线的对称轴故选：B
在
【点睛】本题主要考查函数的单调性和二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8.函数
的图象大致是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】 试题分析：显然∴
是偶函数，故排除A，B，又∵当
时，
，
，
，故排除D，故选C．
考点：函数的图象和性质．
9.一圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥表面积为（ ） A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】
设底面圆的半径为r,则【详解】设底面圆的半径为r,则所以圆锥的表面积为故选：A
【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图和表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是三棱锥则直线
与平面
所成角的正切值为（ ）
的三视图，
是其最长的棱，
.
所以r=2,再求圆锥的表面积.
，
A. 【答案】C 【解析】 【分析】
B. C. D.
先找到三视图对应的几何体，再找到最长的棱PA,再找到直线【详解】由题得几何体是图中的三棱锥P-ABC,
与平面所成的角，求其正切得解.
图中AC=4,CD=2=PD,则棱PA最长， 由题得∠PAD就是直线由题得故选：C
【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，考查直线和平面所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 11.已知斜率为的直线过抛物线点的横坐标为，则A. 【答案】C 【解析】 【分析】 先利用点差法得到
再由题得
，解方程组即可得出的值．
（ ） B.
C.
D.
的焦点，且与抛物线交于.两点，若线段
中
与平面
所成的角，
.
【详解】抛物线设则
，
，，
，
的焦点为 ，， ，设线段，
，
.
的中点的坐标为（3，y），
两式相减可得：
由题得，
所以p=12-2p,所以p=4. 故选：
【点睛】本题主要考查点差法，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解
掌握水平和分析推理能力. 12.已知函数
恒成立，则的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
，对任意
，不等式
【答案】C 【解析】 【分析】
先利用导数得到
在
是单调递增函数，对任意的
，，再求出
，所以
，即
【详解】依题意，因为当当所以
在
时，对任意的
时，
，
，
，
，
，
①
， ，
，恒有，恒有
；
；
，所以
，解不等式即得解.
，不等式
，即
恒成立，转化为
，
是单调递增函数.
，不等式
，②
，，即
，从而有
，而当
时，①显然成立.
， ，即
，
恒成立，
那么对任意的，只需因为所以所以故选:C
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，考查利用导数研究函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 二、填空题（本题共有4个小题，每小题5分，共20分） 13.在边长为【答案】-2 【解析】 【分析】
先利用正弦定理求出三角形的外接圆半径r=2,再利用数量积公式求
的值.
的等边
中，点为
外接圆圆心，则
___________.
【详解】设三角形的外接圆半径为r,由正弦定理得
由题得故答案为：-2
.
【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查数量积的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 14.已知函数度得到函数【答案】3 【解析】 【分析】
首先利用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的关系式，最后求【详解】由题意得数将
的值．
，
的图像，则
，将
的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长
的值为__________.
的图象向左平移个单位长度得到函数：
，
再将函数即所以
=
向上平移1个单位长度得到函数，
.
的图象，
故答案为：3
【点睛】本题主要考查三角恒等变换和图像的变换，考查三角函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 15.已知圆___________. 【答案】2 【解析】 【分析】
与双曲线
的渐近线相切，则双曲线的离心率为
由题得双曲线的渐近线方程为bx-ay=0,所以【详解】由题得双曲线的渐近线方程为bx-ay=0, 所以故答案为：2
.
化简即得解.
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 16.在锐角三角形
中，角，，的对边分别为，，，已知
，则
的最小值为__________.
【答案】【解析】 【分析】 由题得
，于是
，再利
用基本不等式求最小值. 【详解】由已知得
，
于是
、为锐角，
立. 故答案为：
当且仅当
时，等号成
,所以
因为三角形是锐角三角形，所以
【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角恒等变换和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
三、解答题（本题有7个小题，共70分.其中17题-21题为必做题，22题和23题两个题中任选一题作答。） 17.已知等差数列（1）求数列
的前项和为，且
，、、成等比数列.
的通项公式：
（2）若数列是递增数列，数列满足，是数列的前项和，求并求使
成立的的最小值. 【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）由题得
①，
②，解方程组即得
或
；（2）由题得是递增数列，又
或
；（2）
；
.
，再利用错位相减法求数列的和
，
【详解】（1）
，所以使，
，
，
，当
时，，
①，
①-②得：
所以易知数列所以使
.
是递增数列，又
，
， ②，
，当
，
成立的的最小值为.
①
.易知数列
，，成等比数列，由①②得：（2）因为数列
或
②， 时，
，从而
.
，
是递增数列，所以
成立的的最小值为.
【点睛】本题主要考查等比数列的基本量的计算，考查错位相减法求和，考查数列的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18.某公司租用一个门店作展馆，准备对其公司生产的某型产品进行为期一年的展出。为此，需对门店进行装修，展出结束，门店不再使用，现市面上有某品牌的型和型两种节能灯，假定型节能灯使用寿命都超过
小时，经销商对型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：
门店装修时，需安装该品牌节能灯支（同种型号）.经了解，型效果相当，都适合安装。已知型和型节能灯每支的价格分别为/千瓦时。假定该店面一年周转期的照明时间为更换。（用频率估计概率）
（1）根据频率直方图估算B型节能灯的平均使用寿命；
瓦和B型瓦的两种节能灯照明
元
元、元，当地商业电价为
小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管
（2）根据统计知识，若一支灯管一年内需要更换的概率为，那么支灯管一年内估计需要更换支.若该商家新店面全部安装型节能灯，试估计一年内需更换的支数；
（3）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由. 【答案】（1）【解析】 【分析】
(1)利用频率分布图的平均数的公式估算B型节能灯的平均使用寿命;(2) 使用寿命不超过的频率为的支数为
，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为
小时
小时；（2）；（3）应选择型节能灯.
，故估计一年内支型节能灯需更换
;（3）分别计算A型B型灯的花费，再确定选择哪种型号的节能灯.
，
，
，
，对应的频率依次为
，
，
，
【详解】（1）由图可知，各组中值依次为，故型节能灯的平均使用寿命为：
.（小时）
（2）由图可知，使用寿命不超过为
小时的频率为
，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率
，
元； 元，
，故估计一年内支型节能灯需更换的支数为
（3）若选择型节能灯，一年共需花费若选择型节能灯，一年共需花费因为
，所以该商家应选择型节能灯.
【点睛】本题主要考查频率分布直方图中平均数的计算，考查二项分布的期望的计算，意在考查学生
对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 19.如图，多面体
中，
为正方形，
，
，
，
，且
.
（1）证明：平面（2）求四棱锥
平面的体积
；
【答案】（1）见解析（2）【解析】 【分析】 （1）先证明
平面
，又，再求
【详解】（1）证明：又正方形
平面平面（2）连接取
中，又平面，易知
，由
. ，所以.
，，且面
面，以平面平面；（2）连接，易知
的值得解. ，
，所以
，所以
.
，
.
，有
，
中点，连接
面
由（1）可知因为所以
，所以.
【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化分析推理能力. 20.已知椭圆大面积等于
.
的离心率为
，上顶点为，点在上，点
，
的最
（1）求的方程； （2）若直线
与交于另一点，直线
，
分别与轴交于点，，试判断
是否为定值.
【答案】（Ⅰ）【解析】
（Ⅱ）
分析：（Ⅰ）求椭圆的方程应先从条件中求
,可得
于得
可得
的值，由椭圆
的面积最大。故由，得
。再结合
的上顶点为，点
的最大面积等
，可求
，
。当点P为椭圆的长轴端点时，，整理可得
。由离心率为
。进而可写出椭圆的方程。（Ⅱ）要判断是否为定值，应求
看其是否为常数。要求的值，可先求点M、N的坐标，因为点M、N与点P、Q有关，故设的方程为，求得
坐标之间的关系。因为
，可求，进而得
，同理可得
。要求值
是直线DP与椭圆的交点，故设直
，消去，得
，进而可得直线
直线应找线
的方程为的方程为
并与椭圆的方程联立可得方程组变形可得
将
，由韦达定理，得
变形即可求值，
。可得结论。
详解：（1)由题意。可得
又
..② .③
联立①②③，解得故的方程（Ⅱ）设直线联立方程组整理，得
的方程为
消去，得
的最大面积为
即
①
由韦达定理，得又直线直线所以
的方程为的方程为
所以所以
，
，
则为定值
的值，求值时注意
的运
点睛：（1）求椭圆或双曲线的方程，就是求用；
（2）解决解析几何中的定值问题，应在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少。 21.已知定义域为（1）若（2）若【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）当
时，利用导数求函数的单调区间；（2）转化为
，解不等式即得解. （
在，上为减函数，
对于
在在
上为增函数， 上为减函数，
上为增函数. 恒成立，即
，
在
上为增函数，
的函数
的单调区间；
（常数）.
，求函数
恒成立，求实数的最大整数值。 在
上为减函数，
在
上为增函数（2）见解析.
对于恒成立，再
对a分a≤1和a＞1两种情况讨论，求【详解】（1）当令令综上，（2）
由函数的解析式可得：分类讨论：①当
时，
，有，有在
时，，
），，
对于恒成立，
，
恒成立，
②当
时，在
； 上为减函数，
，
在
，即
，
，
，且
，，
，
上为增函数.
，
设
在在
，
，
上递增，而上存在唯一使得的最大整数值为.
【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 22.已知曲线的参数方程为坐标系，直线的极坐标方程为
（为参教），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极
.
（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；
（2）设是曲线上任意一点，求到直线距离的最大值，并求出点的坐标. 【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）消去方程
，将
上的一点为
中的参数可得曲线的普通方程为
，
代入上式得直线的普通方程为
由
，得
；（2）设曲线，再利用三
，
.（2）见解析.
，则该点到直线的距离
角函数的图像和性质求解. 【详解】（1）消去方程曲线的普通方程为由
，得
.
，则该点到直线的距离
（其中
），
中的参数可得；
，将
，
代入上式得
，
，
直线的普通方程为（2）设曲线上的一点为
当
所以点坐标为
时，
，
，所以
.
，，
【点睛】本题主要考查普通方程、极坐标方程和参数方程的互化，考查距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 23.已知函数（1）解不等式（2）记函数【答案】（1）【解析】 试题分析：
(1)结合函数的解析式零点分段可得不等式(2)结合绝对值三角不等式的性质可得
.
试题解析：
的解集为
.
，
，则
；
的值域为，若；（2）见解析.
，试证明：
.
.
，结合二次函数的性质可得
（1）依题意，得 则不等式，即为
或
故原不等式的解集为（2）由题得，当且仅当即∴∴∵∴∴
. ，∴
，，
或解得. ，
.
，
时取等号， ，
，
，
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