玉屏侗族自治县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

玉屏侗族自治县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 集合Mx|x4k2,kZ，Nx|x2k,kZ，Px|x4k2,kZ，则M，

N，P的关系（ ）

A．MPN B．NPM C．MNP D．MPN

2． 若函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2

3． 已知函数f（x）=2ax3﹣3x2+1，若 f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（ ） A．（1，+∞） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1）

4． 若全集U={﹣1，0，1，2}，P={x∈Z|x2＜2}，则∁UP=（ ） A．{2} B．{0，2}

C．{﹣1，2} D．{﹣1，0，2}

5． 若向量=（3，m），=（2，﹣1），∥，则实数m的值为（ ） A．﹣ B．

C．2

D．6

6． 已知数列an是各项为正数的等比数列，点M(2,log2a2)、N(5,log2a5)都在直线yx1上，则数列

an的前n项和为（ ）

A．22 B．2nn12 C．2n1 D．2n11

7． 拋物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线C：x2－y2＝2的焦点重合，C的渐近线与拋物线E交于非原点的P点，则点P到E的准线的距离为（ ） A．4 C．8

B．6 D．10

8． 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中， 底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是（ ）A．

B．

C．

D．

的定义域为（ ）

B．{x|1＜x≤4，且x≠2}

C．{x|1≤x≤4，且x≠2} D．{x|x≥4}

9． 函数A．{x|1＜x≤4}

10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是线段A1C1的中点，若四面体M-ABD的外接球体积为36p， 则正方体棱长为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

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精选高中模拟试卷

【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 11．ABC中，“AB”是“cos2Bcos2A”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 12．如图，函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜称中心是（ ）

）的图象过点（0，

），则f（x）的图象的一个对

A．（﹣

，0） B．（﹣，0） C．（，0） D．（，0）

二、填空题

13．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=axg（x）（a＞0且a≠1），为 ． 14．若

2+=．若数列{

}的前n项和大于62，则n的最小值

与

共线，则y= ．

15．数列{ an}中，a1＝2，an＋1＝an＋c（c为常数），{an}的前10项和为S10＝200，则c＝________． 16．不等式axa1x10恒成立，则实数的值是__________.

17．抛物线x4y的焦点为F，经过其准线与y轴的交点Q的直线与抛物线切于点P，则FPQ 外接圆的标准方程为_________. 18．曲线

在点（3，3）处的切线与轴x的交点的坐标为 ．

2三、解答题

19．如图，已知五面体ABCDE，其中△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC． （Ⅰ）证明：AD⊥BC

（Ⅱ）若AB=4，BC=2，且二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，试求该几何体ABCDE的体积．

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精选高中模拟试卷

20．（本小题满分12分）已知两点F1(1,0)及F2(1,0)，点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且PF1、F1F2、 PF2构成等差数列． （I）求椭圆C的方程；

（II）设经过F2的直线m与曲线C交于P、Q两点，若PQ=F1P+FQ，求直线m的方程． 1

21．（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Snn2an(nN*)． （1）证明：数列{an1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；

222n2n2015的 （2）数列{bn}满足bnanlog2(an1)(nN*)，其前n项和为Tn，试求满足Tn2最小正整数n．

【命题意图】本题是综合考察等比数列及其前n项和性质的问题，其中对逻辑推理的要求很高.

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精选高中模拟试卷

22．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=10，a2为整数，且Sn≤S4。

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn=

，求数列{bn}的前n项和Tn。

23．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点．求证：

（I）AB∥平面EFG； （II）平面EFG⊥平面ABC．

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精选高中模拟试卷

*

（n∈N），若{an}为等比数列，且a1=2，b3=3+b2．

24．已知数列{an}和{bn}满足a1•a2•a3…an=2（1）求an和bn； （2）设cn=

*

（n∈N），记数列{cn}的前n项和为Sn，求Sn．

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玉屏侗族自治县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】A 【解析】

试题分析：通过列举可知MP2,6考点：两个集合相等、子集．1 2． 【答案】A

2

【解析】解：函数f（x）=ax+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，

,N0,2,4,6，所以MPN.

可得b=0，并且1+a=2a，解得a=1，

2

所以函数为：f（x）=x+1，x∈[﹣2，2]，

函数的最大值为：5． 故选：A．

【点评】本题考查函数的最大值的求法，二次函数的性质，考查计算能力．

3． 【答案】D

2

【解析】解：若a=0，则函数f（x）=﹣3x+1，有两个零点，不满足条件． 2

若a≠0，函数的f（x）的导数f′（x）=6ax﹣6x=6ax（x﹣），

若 f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，

若a＞0，由f′（x）＞0得x＞或x＜0，此时函数单调递增， 由f′（x）＜0得0＜x＜，此时函数单调递减，

故函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（），若x0＞0，此时还存在一个小于0的零点，此时函数有两个零点，不满足条件． 若a＜0，由f′（x）＞0得＜x＜0，此时函数递增， 由f′（x）＜0得x＜或x＞0，此时函数单调递减，

即函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（）， 若存在唯一的零点x0，且x0＞0，

32

则f（）＞0，即2a（）﹣3（）+1＞0， 2

（）＜1，即﹣1＜＜0，

解得a＜﹣1，

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精选高中模拟试卷

故选：D

【点评】本题主要考查函数零点的应用，求函数的导数，利用导数和极值之间的关系是解决本题的关键．注意分类讨论．

4． 【答案】A

2

【解析】解：∵x＜2 ∴﹣

＜x＜

＜x＜

，x∈Z|}={﹣1，0，1}，

2

∴P={x∈Z|x＜2}={x|﹣

又∵全集U={﹣1，0，1，2}， ∴∁UP={2} 故选：A．

5． 【答案】A

【解析】解：因为向量=（3，m），=（2，﹣1），∥， 所以﹣3=2m， 解得m=﹣． 故选：A．

【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，基本知识的考查．

6． 【答案】C

【解析】解析：本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式．log2a21，log2a54，∴a22,a516,

n∴a11,q2，数列an的前n项和为21，选C．

7． 【答案】

x2y2p

【解析】解析：选D.双曲线C的方程为－＝1，其焦点为（±2，0），由题意得＝2，

222

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精选高中模拟试卷

∴p＝4，即拋物线方程为y2＝8x， 双曲线C的渐近线方程为y＝±x，

2

y＝8x由，解得 x＝0（舍去）或x＝8，则P到E的准线的距离为8＋2＝10，故选D.

xy＝±

8． 【答案】C

【解析】解：如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1， 故平面AA1O1⊥面AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过B1作B1H⊥AO1于H， 则易知A1H的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=AO1=3故选：C．

，由A1O1•A1A=h•AO1，可得A1H=

，

，

【点评】本题主要考查了点到平面的距离，同时考查空间想象能力、推理与论证的能力，属于基础题．

9． 【答案】B

【解析】解：要使函数有意义，只须

，

即，

解得1＜x≤4且x≠2，

∴函数f（x）的定义域为{x|1＜x≤4且x≠2}． 故选B

10．【答案】C

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11．【答案】A.

【解析】在ABC中cos2Bcos2A12sinB12sinAsinAsinBsinAsinB

2222AB，故是充分必要条件，故选A.

12．【答案】 B

【解析】解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点（0，可得：2sinφ=解得：φ=

，

）．

，k∈Z， ，0），k∈Z

，0），

，即sinφ=

，由于|φ|＜

，

），

即有：f（x）=2sin（2x+由2x+

=kπ，k∈Z可解得：x=

故f（x）的图象的对称中心是：（当k=0时，f（x）的图象的对称中心是：（故选：B．

【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．

二、填空题

13．【答案】 1 ．

【解析】解：∵x为实数，[x]表示不超过x的最大整数， ∴如图，当x∈[0，1）时，画出函数f（x）=x﹣[x]的图象，

再左右扩展知f（x）为周期函数．

结合图象得到函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是1．

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故答案为：1．

【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．

14．【答案】 ﹣6 ．

【解析】解：若与共线，则2y﹣3×（﹣4）=0 解得y=﹣6 故答案为：﹣6

【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，构造关于y的方程，是解答本题的关键．

15．【答案】

10×9

10×2＋×c＝200，∴c＝4.

2答案：4

16．【答案】a1 【解析】

试题分析：因为不等式axa1x10恒成立，所以当a0时，不等式可化为x10，不符合题意；

2【解析】解析：由a1＝2，an＋1＝an＋c，知数列{an}是以2为首项，公差为c的等差数列，由S10＝200得

当a0时，应满足a0(a1)4a02222，即a0(a1)02，解得a1.1

考点：不等式的恒成立问题.

17．【答案】x1y2或x1y2

2【解析】

试题分析：由题意知F0,1，设Px0,12111x0，由y'x，则切线方程为yx02x0xx0，代入42422,1，可得PFFQ，则FPQ外接圆以PQ为直径，则x10,1得x02，则P2,1,2222222或x1y2.故本题答案填x1y2或x1y2．1

考点：1.圆的标准方程；2.抛物线的标准方程与几何性质． 18．【答案】 （，0） ．

【解析】解：y′=﹣

，

y22第 10 页，共 16 页

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∴斜率k=y′|x=3=﹣2，

∴切线方程是：y﹣3=﹣2（x﹣3）， 整理得：y=﹣2x+9， 令y=0，解得：x=， 故答案为：

．

【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道基础题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：∵AB是圆O的直径， ∴AC⊥BC， 又∵DC⊥平面ABC ∴DC⊥BC， 又AC∩CD=C， ∴BC⊥平面ACD， 又AD⊂平面ACD， ∴AD⊥BC．

（Ⅱ）解：设CD=a，以CB，CA，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 则C（0，0，0），B（2，0，0），由（Ⅰ）可得，AC⊥平面BCD， ∴平面BCD的一个法向量是由条件得，∴

=即

，

，z=， ．

=

，

，

=（﹣2，0，a）．

设=（x，y，z）为平面ABD的一个法向量，

，D（0，0，a）．

不妨令x=1，则y=∴=

又二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2， ∴∴

．

=cosθ=

，

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∴==，解得a=2．

∴VABCDE=VE﹣ADC+VE﹣ABC ====8．

∴该几何体ABCDE的体积是8．

+

+

【点评】本题考查了向量相互垂直与数量积的关系证明线面垂直、利用法向量的夹角求出二面角的方法、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

20．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查椭圆标准方程和定义、等差数列、直线和椭圆的位置关系等基础知识，意在考查转化与化归的数学思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力．

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xy3331得y，即P(1 , )，Q(1 , ) 43222252222直接计算知PQ=9，|F1P|2|F1Q|2，PQ?F1P，x1不符合题意 ； FQ12②若直线m的斜率为k，直线m的方程为y=k(x-1)

（II）①若m为直线x1，代入

22

x2y21(34k2)x28k2x(4k212)0由4得 3yk(x1)8k24k212设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1x2，x1x2

34k234k2222由PQ=F1P+FQ得，F0 11P?FQ1即(x11)(x21)y1y20，(x11)(x21)k(x11)k(x21)0

4k2128k2221)(1k)0代入得(1k)(，即7k90 2234k34k3737(x1) 解得k，直线m的方程为y772(1k2)x1x2(1k2)(x1x2)(1k2)0

21．【答案】

【解析】（1）当n1时,a112a1，解得a11. 当n2时，Snn2an，

①

②

（1分）

Sn1(n1)2an1，

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①-②得，an12an2an1即an2an11， 即an12(an11)(n2)，又a112.

nn即an12故an21（nN*）.

（3分）

所以an1是以2为首项，2为公比的等比数列.

（5分）

22．【答案】

【解析】（1）由a1=10，a2为整数，且Sn≤S4得 a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得﹣∴d=﹣3，

∴{an}的通项公式为an=13﹣3n。 （2）∵bn==

，

≤d≤﹣，

∴Tn=b1+b2+…+bn=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）

=

23．【答案】

。

【解析】证明：（I）在三棱锥A﹣BCD中，E，G分别是AC，BC的中点．

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所以AB∥EG… 因为EG⊂平面EFG，AB⊄平面EFG

所以AB∥平面EFG… （II）因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD 所以AB⊥CD…

又BC⊥CD且AB∩BC=B 所以CD⊥平面ABC…

又E，F分别是AC，AD，的中点 所以CD∥EF 所以EF⊥平面ABC…

又EF⊂平面EFG，

所以平面平面EFG⊥平面ABC．…

【点评】本题考查线面平行，考查面面垂直，掌握线面平行，面面垂直的判定是关键．

24．【答案】

【解析】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，∵数列{an}和{bn}满足a1•a2•a3…an=2∴，，

， ∴b1=1，

=2q＞0，

=2q2，

又b3=3+b2．∴23=2q2

，解得q=2． ∴an=2n

．

∴=a1•a2•a3…an=2×22×…×2n=

，

∴． （2）cn=

==

﹣

=

，

∴数列{cn}的前n项和为Sn=

﹣+…+

=﹣2

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n∈N*

），a1=2，

（

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==

﹣

﹣2+﹣1．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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