椭圆焦点三角形的性质

椭圆

x2a2y2b21焦点为F1，F2，P为椭圆上的点，F1PF2，则

SF1PF2b2sinb2tan；

1cos2证明：设PF1m,PF2n

mn2a12222cmn2mncos21SVF1PF2mnsin322b212：mn1cos22sincos22b2tan SVF1PF222cos22推论与应用：（注意：r为内切圆半径）

sinbb21cos2

（1）直角三角等面积法：如右图，当PF1PF2时，有S△F1PF2b22cyp2b2yp；

cS△F1PF2b2e=mnrac，mn2b2；2F1F2F1F2c2c1====． a2aPF1+PF2F1F2(sina+sinb)2sin(a+45)（2）任意角度的等面积法：S△F1PF2cypb2tan1PF1PF2tan(ac)r． 222cyp2cypbc（3）最大面积、最大夹角问题：当点P位于椭圆的短轴顶点时，S△F1PF2取最大值，根据等面积原理，此时S△F1PF2b2tan（4）直角顶点的讨论：当S△F1PF2b2tan2bctan2c． b245，

2若90，则bc时，取得最大值，

tanqcc=>1；同理，若90，则45，tan1；若90，则45，2b2b22qc在分析直角顶点个数时，当cb时，PF1PF2有四个点P存在；当cb时，=<1．

2btanPF1PF2有两个点P存在；当cb时，PF1PF2无点P存在。（注意：PF1PF2与RtPF1F2的区别）

（5）已知的度数，求椭圆离心率的取值范围：假设为椭圆的最大角，则1esin2．

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