奇异一阶微分方程周期边值问题的正解

第２５卷第２期　河北工程大学学报（自然科学版）　Ｖ０１．２５　Ｎｏ．２　２ＯＯ８年６月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｅｂｅｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｊｕｎ．２０ｏ８　文章编号：１６７３—９４６９（２ｏｏ８）ｏ２—００９８—０３　奇异一阶微分方程周期边值问题的正解　暴宁伟　（河北工程大学理学院，河北邯郸０５６０３８）　摘要：利用格林函数与锥不动点定理证明了奇异一阶微分方程周期边值问题　｛　１０≠０。　”’。　７ｒ正解的存在性肿允许厂在删处具有奇性且常数　文献标识码：Ａ　关键词：周期边值问题；奇性；格林函数；锥不动点定理　中图分类号：０２４１．８ｌ　Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ａ　ｆｉｒｓｔ　ｏｒｄｅｒ　ｓｉｎｇｕｌａｒ　Ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ＢＡＯ　Ｎｉｎｇ－ｗｅｉ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，Ｈｅｂｅｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈａｎｄａｎ　０５６０３８，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｄｏｎｓ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｆｉｒｓｔ—ｏｒｄｅｒ　ｓｉｎｇｕｌａｒ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｂｏｕｎａａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｓ　ｐｒｏｖｅｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　Ｇｒｅｅｎ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｆｉｘｅｄ　Ｐｏｉｎｔ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　ｉｎ（２０１１ｅ８　ｆｏｒ　ｐｒｏｂｌｅｍ，　ｆＩⅡ　＋　ｒ）　＝　Ⅱ（ｏ）＝Ⅱ（２，）’０　￡ｓ２　ｗｈ。ｒｅ　Ⅱ）ｎ１ａｙ印ｐｅａｒ　ｉ　哆ａｔ比：０．　ｗｎｅｒｅ　‘’Ⅱ　ｍｙ印ｐｅａｒ　ｓ。ｎ毛　哆ａｔ比＝ｕ　（　）　￡，１１，）关于变量１１，＞０连续，且存在￡ｏ＞　０，使得当０＜１１，ｓ￡ｏ时　ｔ，１１，）关于１１，单调不增。　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ￣ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ；ｓｉｎｇｕｌａｒ；Ｇｒｅｅｎ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｉｎ　ｃｏｎｅ８　本文研究了如下奇异一阶微分方程周期边值　问题　＋Ｊ０　＝　（￡）），０≤　（１）　（　）存在函数ｇ（１１，）和ｈ（１１，），使得０　１１，）≤ｇ（１１，）＋ｈ（１１，），０＜１１，＜＋∞。　ｔ，　【Ⅱ（０）＝Ⅱ（２７ｒ）　、　若Ⅱ　（ｔ）＝Ｆ（ｔ，Ⅱ（ｔ）），当Ｆ（ｔ，Ⅱ）∈Ｃ［Ｉ×　，，尺］，，＝［０，２７ｒ］时，此时方程（１）中Ｆ（ｔ，Ⅱ）没有　奇性，许多作者讨论了周期边值问题（１）解的存在　性，见文献［１—３］。２００１年，Ａｇａｒｗ￣ｌ　Ｒ．Ｐ．［　Ｊ等利　用Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理讨论了奇异～阶方程初值　问题。　其中ｇ（　）＞０在（０，＋∞）上连续且单调不　增，而　（Ⅱ）　０于［０，＋∞）上连续。此外　（０，＋∞）上单调不减。　＾　在　ｌ　（Ｉ／４）＞　，　。∈　ｆｙ　（ｔ）＝ｑ（￡）　ｔ，ｙ）＼　其中　：ｅ－２￣＂。　Ｉｙ（ｏ）：０　Ｊ　本文将利用锥不动点定理来研究奇异一阶微　分方程周期边值问题（１）的正解的存在性。对于　问题（１），做如下假设：　本文允许．厂（ｔ，Ⅱ（ｔ）在Ⅱ＝０具有奇性。满足　上述假设条件（日。）一（矾）的函数是存在的。其主　要定理如下：　定理　假设条件（日。）一（Ｉ／４）成立，则周期边　值问题（１）存在正解。　（日１）对每一个固定的／Ｚ＞０，　ｔ，　）在［０，２　］　本文用到主要引理为锥不动点定理［引。设　上非负可积，且ｌ　￡，　）ｄｔ＞０。　是一个Ｂａｎａｃｈ空间，　ｃ　Ｅ是Ｅ中的一个锥，　ｌ和　收稿日期：２００７—１２一ｌ１　作者简介：暴宁伟（１卯１一），女，河北邯郸人，硕士，讲师，从事应用数学的教学与研究。　维普资讯 http://www.cqvip.com

第２期　暴宁伟：奇异一阶微分方程周期边值问题的正解　２是Ｅ中的有界开集，０∈　ｌ，　ｌ　ｃ　２，　：Ｋ　ｎ　的正解。　（　２＼　１）一　全连续，如果　满足下列条件：　应用Ａｒｚｅｌａ—Ａｓｃｏｌｉ定理，我们可以证明　：　—　是全连续的。　证明：首先证明对　中任意有界集　，　（　）　是列紧集。由Ａｒｚｅｌａ—Ａｓｃｏｌｉ定理　（　是列紧集　的充分必要条件是：它是一致有界和等度连续的。　先证明　（　）在　上一致有界。　设　是　中的任意有界集，则存在常数Ｃｏ＞　ｌｌ￣Ｐｕ　ｌｌ　ｌ　ｌＵ　ｌｌ，Ｖ　Ｕ∈Ｋ　ｎ　ａ　．　１ｌ￣Ｐｕ　Ｉｌ≤ｌｌ　Ｕ　ｌＩ，Ｖ　Ｕ∈Ｋ　ｎ　ａ　２　则　在Ｋ　ｎ（ｎ２＼ｎ１）中必具有不动点。　定理的证明：用锥不动点定理和格林函数证　明本文定理。　设ｅｏ充分小，由条件（矾）可知，一定存在常　数Ｍ＞￡ｏ，使得　ｇ（跏）［１＋　］　１０‘　（２）　选取适当的ｒ＞０，使得　ｒ≤ｍｉｎ（￡ｏ＇Ａ．『０　。）　）　（３）　其中Ａ是格林函数Ｇ（ｔ，ｓ）在［０，２ｚｒ］×［０，２ｚｒ］上　的最小值，　（２　＋ｓ—Ｉ）　＝＿　—一，０　ｓ　ｔ　２ｚｒ　（４）　一　）　—广，０≤ｔ　ｓ　２ｚｒ　直接计算表明　＝Ａ　＝　．　（５）　对所有的ｓ，ｔ∈［０，２丌］成立。　问题（１）的可解性等价于如下积分方程的可　解性［　］：　Ｍ（￡）＝Ｉ　Ｇ（￡，ｓ）厂（ｓ，Ｍ）ｄｓ，０　￡　２丌　（６）　记Ｅ＝ｃ［ｏ，２丌］，在其上引入范数ｌ　Ｕ　ｌｌ＝　。　］｛ｌ　Ｍ（￡）ｌ：Ｍ∈Ｅｌ并取条件（　）中的　，则　容易验证Ｋ＝｛Ｕ∈ｃ［ｏ，２丌］；Ｕ（ｔ）　ｌｌ　Ｕ　ｌｌ｝是　Ｂａｎａｃｈ空间Ｅ中的一个锥。　由于　ｔ，Ｕ）在Ｕ＝０点可能具有奇性，定义　）一　ｆ（ｔ，　ｒ３）’ｕ　＜　ｒ３　（７）　，Ｍ则当Ｕ　２　ｒ３时／　（ｔ，Ｕ）＝厂（ｔ，Ｕ）。　在Ｂａｎａｃｈ空间Ｅ＝ｃ［ｏ，２丌］中，定义Ｅ—Ｅ　中的映射　如下：　（　）（ｔ）＝ｌ　Ｇ（ｔ，　．厂　（ｓ，Ｍ）ｄｓ　（８）　则易得若（８）的Ｅ中具有不动点Ｕ＞０，且ｌ　ｌＵ　ｌ　＿ｒ，由锥　的定义ｌ＿Ｕ　ｌ　ｌｒ３，从而Ｕ是问题（１）　０，使得Ｕ∈Ｂ，有ｌ　ｌＵ　ＩＩ＝ｓｕｐ｛ｌ　Ｕ（ｔ）ｌ：０　５　ｔ　２丌｝≤Ｃｏ　一　记　＝ｓｕｐ　ｌ　Ｇ（ｔ，ｓ）ｆ　（ｓ，Ｕ）ｌ，（ｔ，ｓ）∈［０，：　一　　２丌］Ｘ［０，２丌］，ｌｌ　Ｕ　ｌ　ｌＣｏ　一ｌ　ｒ２　那么ｌ（　）（￡）ｌ－ｌ　Ｉ　Ｇ（￡，ｓ）厂　（ｓ，Ｍ）　Ｉ　２ｚｒＬ，Ｖ　Ｕ∈Ｂ　因此　（　中的元素在　上一致有界。　再证　（　中的诸函数具有等度连续性。　对任意的￡＞０，由Ｇ（ｔ，ｓ）．厂　（ｓ，Ｍ）在【０，　２ｚｒ］Ｘ［０，２ｚｒ］Ｘ［０，Ｃｏ］上连续，从而一致连续，故　存在　＞０，使得当ｔｌ，ｔ２∈［０，２ｚｒ］，ｌ　ｔｌ—ｔ２　ｌ＜　时恒有　ｌ　Ｇ（ｔｌ，ｓ）厂　（ｓ，Ｕ）一Ｇ（ｔ２，ｓ）厂　（ｓ，Ｕ）ｌ＜　Ｖ　ｓ∈［０，２丌］，Ｍ∈［０，ｃｏ］　于是当ｌ　ｔｌ—ｔ２　ｌ＜　时，对任意Ｕ∈Ｂ有　ｌ（　Ｍ）（ｔ１）一（　Ｍ）（ｔ２）Ｉ－　ｌ　ｒ２　　Ｉ　ｌＩｌ［Ｇ（０　　ｓ）厂　（ｓ，Ｍ）一Ｇ（￡２，ｓ）厂　（ｓ，Ｍ）】　ｊＩ　　２丌Ｅ　＜　＜。　它就证明了　（８）具有等度连续性，从而　（　是　列紧集。　其次证明　的连续性。　设｛Ｕ　｝在　中收敛于Ｕｏ，则｛Ｕ　｝在　中有界，　因此存在常数Ｃｌ，使得当ｔ∈［０，２丌］时，有ｌ　Ｕ　ｌ　Ｃｌ，（／７，＝１，２，３…）。对任意￡＞０，由Ｇ（ｔ，　ｓ）ｆ　（ｓ，Ｍ）在［０，２　］×［０，２　］×［０，ｃ１］上的一致　连续性可知，存在　＞０，使得当Ｕｌ，Ｕ２∈［０，Ｃ１］　且ｌ　Ｕｌ—Ｕ２　ｌ＜　时恒有　ｌ　Ｇ（ｔｌ，ｓ）厂　（ｓ，Ｕ１）一Ｇ（ｔ２，ｓ）厂　（ｓ，Ｕ２）Ｉ＜　兰　ｌ＋２丌　由于｛Ｕ　｝在　中收敛于Ｕｏ，故存在自然数Ｊ７ｖ，使当　几＞Ｎ时恒有ｌ　ｌＵ　一Ｕｏ　ｌｌ＜　，于是　ｌ（　Ｍ　）（ｔ）一（　Ｍｏ）（ｔ）Ｉ＝　维普资讯 http://www.cqvip.com

１００　河　北　工　程　大　学　学　报　（自　然　科　学　版）　２００８年　Ｉ　ｆ　【Ｇ（￡１，　）厂　（　，　）一Ｃ（ｔ２，ｓ）厂　（ｓ，ｚ　。）】ｄｓ　ｌ　２ｒｏｅ　（Ｈ　）以及（７）（８）式有　＜而＜ｅ　从而Ｉ　Ｉ一　０　ＩＩ＜　。综上所述，由全连续的　定义可知　：　—　是全连续的。证毕。　下证　（　）ｃ　Ｋ。　由　的定义，注意到（６），对任意的　∈Ｋ有　（　）（￡）＝ＪＪ　。Ｇ（ｎ　　）厂　（ｓ，　）　＝ＪＪ　０Ｕ　Ｇ（￡，　ｓ）　（ｓ，　）ｄｓ　Ｉ　Ｇ（￡，ｓ）［ｇ（　）＋　（　）］ｄｓ＝　ｇ　）【１＋　】ｄｓ　ｓ）ｇ（　）【－＋　】　＝　ｇ（　）【－＋　】≤　（　）（￡）　＝　Ｉ　Ｇ（￡，ｓ）ｆ　（ｓ，　）ｄｓ　ＢＩ　ｆ　（　，　）ｄｓ　又由Ｅ上范数的定义，有ｌ　ＩＩ１　ｓ　Ｂｌ　ｆ　（ｓ，　）　，则　（　）（￡）≥　ｆ）≥　。ａＪ　ｆ　（　（　ｓ，　）ｄｓ≥百ｓ≥百ｌＡ／－４ｌＩ　ｌＩ：Ｉ＝　ＩＩ　ＩＩ，０　ｔ　ｓ　２丌　这就表明，　（　）ｃ　Ｋ。　下面证明本文的定理。　证明：在假设条件下（Ｈ１）～（凰），（　）（ｔ）存　在不动点。　设Ⅱ∈　且ｌＪ　ｌＪ：ｒ，则由　的定义，有　（ｔ）≥　ＩＩ　ＩＩ＝　由条件（Ｈ２），（Ｈ　）以及（７）（８）式有　（　）（￡）＝Ｊ。ｃ（ｔＪ　ｎ　，ｓ），　（ｓ，ｕ）ｄｓ：ｊ　０　ｃ（ｔ　，　ｓ）厂（ｓ，Ⅱ）ｄｓ≥Ｊ。Ｇ（￡，ｓ）　ｓ，ｒ）　Ｊ。Ａｆ（ｓ，　，ｒ）　≥　Ｉ厂ｄｓ≥Ａｆ　厂（　，ｓ，ｅ。０）ｄｓ≥，：Ｉｓ≥ｒ：ＩＩ　Ｉ　Ｉ因此，如果令１＂２，＝｛ｕ∈Ｅ；ｌｌ　ｌＩ＜ｒ｝，则上式表明　ｌＩ　ｌＩ≥ＩＩ　ｌＩ，Ｖ　∈Ｋ　ｎ　ａ　ｌ　（９）　另一方面，设　∈Ｋ且ｃ　ｌｃｌ＝　，由于Ｍ＞　ｅ０所以Ｍ＞ｒ，则　（ｔ）≥　≥　，由条件（日３），　＝Ｉｌ　Ｉ１，０　ｔ　２丌　因此，如果令　２＝｛　∈Ｅ；Ｉ　ＩＩＩ＜Ｍ｝，则上式　表明　ｌ　ＩｌＩ　ｌ　ＩｌＩ，Ｖ　∈Ｋ　ｎ　ａ　２　（１０）　这样，由　的全连续性及（９）（１０）式以及锥不　动点引理可知，　在　∈Ｋｎ（　２、　１）中存在不　动点　，且再由Ｋ的定义，　（￡）≥　ＩＩ　Ｉ　Ｉ＞　０，因此　是（６）式的正解，亦是周期边值问题（１）　的正解。　综上所述，定理结果成立，证毕。　参考文献：　［１］刘辉昭，蒋达清，赵胜民．一阶隐式微分方程周期边值　问题［Ｊ］．数学杂志，１９９９，１９（２）：１５７—１６０．　［２］万阿英，蒋达清．奇异超线性二阶周期边值问题的正解　［Ｊ］．吉林大学学报（自然科学版），２００１，２１（２）：２５—２７．　３］陈洁．一阶微分方程周期边值问题的解的存在性［Ｊ］．　数学物理学报，２００３，２３（２）Ａ：１２９—１３４．　［４］ＡＧＡＩＩＷＡＬＲ　Ｐ，Ｉ１Ｆ￣ＡＮＤＯ．Ａ　ｎｏｔｅ　ｏｎ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆｎｏｎ－　ｎｅｇａｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ｓｉＩ　ｇｕｌａｒ　ｓｅｍｉｌ￣ｉｔｏｎｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｎｏｎ－　ｌｉｎｅａｒ　Ａｎａｌｙｓｉｓ，１９９９，３６（２）：６１５—６２２．　［５］郭大均．非线性泛函分析［Ｍ］．济南：山东科技出版社，　１９９５．　［６］暴宁伟．一类高阶微分方程边值问题正解的存在性　［Ｊ］．河北工程大学学报，２Ｏ０ｒ７，２４（２）：１０８—１１０．　（责任编辑闫纯有）