解析）
一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分．） 1．已知＝2+i，则复数z＝（ ） A．﹣1+3i
B．﹣1﹣3i
C．1﹣3i
D．1+3i
2．下列说法正确的是（ ）
A．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 B．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等 C．通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线 D．球面上四个不同的点一定不在同一个平面内
3．已知平面向量，满足||＝2，||＝1，⊥（+4），则向量，的夹角为（ ） A．
B．
C．
D．
4．梯形A1B1C1D1（如图）是一水平放置的平面图形ABCD的直观图（斜二测），若A1D1∥y′轴，A1B1∥x′轴，A1B1＝C1D1＝4，A1D1＝2，则平面图形ABCD的面积是（ ）
A．20 B．10 C． D．
5．在△ABC中，a＝20，b＝10，B＝32°，则此三角形的解的情况是（ ） A．有两解 6．设A．
B．有一解
C．有无数个解
D．无解
是两个非零向量，下列四个条件中，使
且
D．
B．
成立的充分条件是（ ）
C．
7．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ） A．
B．
C．
D．
8．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，其中bc＝2且满足则△ABC面积为（ ） A．
B．
C．
D．
，
9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝4，AB⊥AC，M为BB1的中点，点N在棱CC1上，CN＝3NC1，则异面直线A1N与CM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是（ ） A．
B．
C．
D．
11．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为
，△ABE，
△BEC，△ECD均是边长为2的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，
的最大值为（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
，
12．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a：b＝ln2：ln4，且则k的范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知i为虚数单位，若z＝1+2i，则|z﹣i|＝ ． 14．给出下列说法：
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α； ②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若空间中三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c一定垂直； ④垂直于同一直线的两条直线平行． 其中正确说法的是 ． 15．已知非零向量
与
满足
且
，若
，则△ABC的面积为 ．
16．把四个半径分别为9，9，9，19的小球同时放入一个大球中，使四个小球两两外切并均与大球内切，则大球的半径为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知向量
，
，
．
（Ⅰ）若点A，B，C不能构成三角形，求x，y应满足的条件； （Ⅱ）若
，求x，y的值．
18．已知圆锥SO的底面半径R＝6，高H＝8． （1）求圆锥SO的表面积和体积；
（2）圆锥SO的内接圆柱OO′的高为h，当h为何值时，圆锥SO的内接圆柱OO′的侧面积最大，并求出最大值．
19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积记为S△ABC，满足a2+b2
﹣c＝（1）求∠C； （2）若c＝
2
．
，求2a﹣4sinB的取值范围．
20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC是边长为2的等边三角形，BB1＝4，E为棱A1C1
的中点，F为棱A1B1的中点，BC1∩B1C＝O．
（Ⅰ）若M为线段BC上一动点，证明：A1M∥平面EFO； （Ⅱ）求三棱锥A1﹣OEF的体积．
21．为了美校园环境，某中学欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝6百米，AD＝2
百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直
，
角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈（π）．
（1）当cosθ＝﹣
时，求小路AC的长度；
（2）试求小路BD的长度．使得草坪ABCD的面积最大．
22．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P﹣ABCD．点
E在棱PB上，满足，点F在棱PC上，满足，
要求同学们按照以下方案进行切割：
（1）试在棱PC上确定一点G，使得EF∥平面ABG；
（2）过点A，E，F的平面α交PD于点H，沿平面α将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H点的位置，请求出
的值．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知
＝2+i，则复数z＝（ ）
B．﹣1﹣3i
C．1﹣3i
D．1+3i
A．﹣1+3i 解：
＝2+i，∴z＝（1+i）（2+i）＝2﹣1+（2+1）i＝1+3i，
则复数z＝1+3i． 故选：D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 B．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等 C．通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线 D．球面上四个不同的点一定不在同一个平面内
解：对于A：当用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故A错误；
对于B：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故B错误； 对于C：通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线，故C正确； 对于D：球面上四个不同的点不一定不在同一个平面内，故D错误． 故选：C．
3．已知平面向量，满足||＝2，||＝1，⊥（+4），则向量，的夹角为（ ） A．
B．
，
，
，且
，
，且
，
C．
D．
解：∵∴∴∴
∴故选：C．
．
4．梯形A1B1C1D1（如图）是一水平放置的平面图形ABCD的直观图（斜二测），若A1D1∥y′轴，A1B1∥x′轴，A1B1＝C1D1＝4，A1D1＝2，则平面图形ABCD的面积是（ ）
A．20 B．10 C． D．
解：梯形A1B1C1D1中，A1B1＝C1D1＝4，所以C1D1＝6，A1D1＝2， 所以梯形面积为S′＝×（4+6）×2×sin45°＝5所以原平面图形ABCD的面积是5故选：A．
5．在△ABC中，a＝20，b＝10，B＝32°，则此三角形的解的情况是（ ） A．有两解
B．有一解
C．有无数个解
D．无解
×2
＝20．
，
解：在△ABC中，a＝20，b＝10，B＝32°， ∴根据正弦定理，∴sinA＝2sin32°， ∵
，∴sinA＞1，
，
∴△ABC不存在，即此三角形无解． 故选：D． 6．设A．
是两个非零向量，下列四个条件中，使
且
D．
B．
成立的充分条件是（ ）
C．
解：A．若||＝||且∥，则，两个向量为相等向量或相反向量，当＝﹣时，
＝不成立，所以A不是充分条件．
B．当＝﹣时，＝不成立，所以B不是充分条件．
C．当∥时，且，两个向量方向相反时，
件．
＝不成立，所以C不是充分条
D．当＝4时，满足，同向共线，满足
故选：D．
＝，所以D是充分条件．
7．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ） A．
B．
C．
D．
解：取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，
由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且MN＝BC1＝∴梯形的高为
，
）×
＝，
，MC1＝BN＝
，
∴梯形的面积为（故选：C．
8．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，其中bc＝2且满足则△ABC面积为（ ） A．
B．＝
＝
C．
D．
，
解：因为
所以2ccosA＝bcosA+acosB，
由正弦定理得2sinCcosA＝sinBcosA+sinAcosB＝sin（A+B）＝sinC， 由C为三角形内角得sinC＞0， 所以cosA＝， 由A为三角形内角得A＝
，
＝
．
则△ABC的面积S＝bcsinA＝故选：B．
9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝4，AB⊥AC，M为BB1的中点，点N在棱CC1上，CN＝3NC1，则异面直线A1N与CM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系， 则A1（0，0，4），N（0，1，3），C（0，1，0），M（1，0，2），
＝（0，1，﹣1），
＝（1，﹣1，2），
设异面直线A1N与CM所成角为θ， 则cosθ＝
＝
＝
．
∴异面直线A1N与CM所成角的余弦值为故选：B．
．
10．一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是（ ） A．
B．
C．
D．
解：棱长为4的正四面体放入一个棱长为则外接球的直径为故外接球的半径为
，
，
的正方体中，
棱长为4的正四面体的高h＝，
所以过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面， 则顶点到截面的距离为则球心到截面的距离为所以截面圆的半径则截面圆的面积是故选：A．
11．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为
，△ABE，
＝＝，
， ， ．
△BEC，△ECD均是边长为2的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，
的最大值为（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
解：据题意：圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为2的等边
三角形．点P为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系： 则A（﹣4，0），B（﹣3，
2
2
），C（﹣1，
cosα，cosα+3，
）． sinα） sinα−
）．
圆D的方程为x+y＝，可设P（所以故
＝（3，
），
＝（
＝sinα+cosα+6＝3（sinα+cosα）+6
＝3sin（α+故选：C．
）+6≤3+6＝9．
12．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a：b＝ln2：ln4，且则k的范围是（ ） A．
B．
C．
D．
，
解：因为a：b＝ln2：ln4＝ln2：2ln2＝1：2，所以b＝2a，
因为三角形三边长分别为，a，2a，c，所以a+2a＞c，且a+c＞2a，即3a＞c，且c＞a， 于是
，所以
，
因为＝b•acosC＝2a2cosC＝kc2，所以k＝＝＝
，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．已知i为虚数单位，若z＝1+2i，则|z﹣i|＝ 解：∵i为虚数单位，z＝1+2i， ∴|z﹣i|＝|1+i|＝故答案为：
．
＝
，
．
14．给出下列说法：
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α； ②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若空间中三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c一定垂直； ④垂直于同一直线的两条直线平行． 其中正确说法的是 ③ ．
解：对于①，若直线l平行于平面α内的任意一条直线，则l∥α，故①错误； 对于②，若直线a在平面α外，当直线a与平面α相交时，则a∥α错误，故②错误； 对于③，若空间中三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c一定垂直，故③正确；
对于④，只有在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，故④错误． 故答案为：③． 15．已知非零向量
与
满足
且
，若
，则△ABC的面积为 ．
解：因为
取AC中点D，连接AD，AD⊥BC，
，所以∠BAC的平分线与BC边垂直，所以AB＝AC，
因为cos∠BAC＝，所以∠BAC＝120°，于是∠B＝∠C＝30°，
AD＝AD•tan30°＝2•
故答案为：
．
，所以＝．
16．把四个半径分别为9，9，9，19的小球同时放入一个大球中，使四个小球两两外切并均与大球内切，则大球的半径为 解：如图，
设三个半径为9的球的球心分别为A、B、C，
半径为19的球的球心为D，连接AB、BC、AC、AD、BD、CD， 则D在平面ABC上的射影为底面正三角形ABC的外心G， 可得BG＝
＝
，
．
．
三棱锥D﹣ABC为正三棱锥，侧棱DB＝28，则DG＝再设大球的球心为O，由对称性可得，O在线段DG上， 要使大球与四个小球都内切， 则OD+19＝OB+9， 设OB＝x，则OG＝∴OD＝DG﹣OG＝26﹣则
∴大球的半径为x+9＝故答案为：
．
， ，解得x＝
．
．
，
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知向量
，
，
．
（Ⅰ）若点A，B，C不能构成三角形，求x，y应满足的条件； （Ⅱ）若
，求x，y的值．
解：（Ⅰ） 若点A、B、C不能构成三角形，则A、B、C三点共线 由
，
＝（3，1），
，
＝（2﹣x，1﹣y）
∥
得
∵A、B、C三点共线，得
∴3（1﹣y）＝2﹣x，即x、y满足的条件为x﹣3y+1＝0；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）∵
＝（﹣1﹣x，﹣y）且
，
∴（2﹣x，1﹣y）＝2（﹣1﹣x，﹣y）
可得2﹣x＝﹣2﹣2x，1﹣y＝﹣2y，解之得x＝﹣4，y＝﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
18．已知圆锥SO的底面半径R＝6，高H＝8． （1）求圆锥SO的表面积和体积；
（2）圆锥SO的内接圆柱OO′的高为h，当h为何值时，圆锥SO的内接圆柱OO′的侧面积最大，并求出最大值．
解：（1）∵圆锥SO的底面半径R＝6，高H＝8， ∴圆锥SO的母线长L＝
＝10，
＝96π；
则侧面积S＝πRL＝60π，体积V＝
（2）作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，其中SO＝8，OA＝OB＝6，OK＝h（0＜h＜8）． 设圆柱底面半径为r，则
，即r＝（8−h）．
（−h+8h）．
2
设圆柱的侧面积为S′＝2πr•h＝2π•（8−h）•h＝∴当h＝4时，S′有最大值为24π．
19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积记为S△ABC，满足a2+b2
﹣c2＝（1）求∠C； （2）若c＝
，求2a﹣4sinB的取值范围．
， ，
．
解：（1）因为a2+b2﹣c2＝所以2abcosC＝所以tanC＝
，
；
由C为三角形内角得C＝（2）由正弦定理得
＝2，
所以a＝2sinA，
所以2a﹣4sinB＝4sinA﹣4sinB＝4sinA﹣4sin（＝2sinA﹣2由0＜A＜所以﹣
cosA＝4sin（A﹣得﹣＜sin（A﹣
＜A﹣）＜
）， ， ，﹣2
4sin（A﹣）．
）
．
）＝4sinA﹣2
cosA﹣2sinA故2a﹣4sinB的取值范围（﹣2
20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC是边长为2的等边三角形，BB1＝4，E为棱A1C1
的中点，F为棱A1B1的中点，BC1∩B1C＝O．
（Ⅰ）若M为线段BC上一动点，证明：A1M∥平面EFO； （Ⅱ）求三棱锥A1﹣OEF的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：∵O为B1C的中点，F为A1B1的中点，∴OF∥A1C， ∵OF⊄平面A1CB，A1C⊂平面A1CB，∴OF∥平面A1CB， ∵E为A1C1的中点，F为A1B1的中点，∴EF∥B1C1， 而BC∥B1C1，∴EF∥BC，
∵EF⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，∴EF∥平面A1CB， 又OF∩EF＝F，∴平面OEF∥平面A1CB， ∵M为线段BC上一动点，∴A1M⊂平面A1CB， 则A1M∥平面EFO；
（Ⅱ）解：取B1C1的中点为D，连接OD，则OD∥BB1， 由直三棱柱可得BB1⊥平面A1B1C1，则OD⊥平面A1B1C1， 且OD＝BB1＝2，
由△A1B1C1是边长为2的等边三角形，可得而E为A1C1的中点，F为A1B1的中点，∴
，
，
∴×OD＝．
21．为了美校园环境，某中学欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝6百米，AD＝2
百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直
，
角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈（π）．
（1）当cosθ＝﹣
时，求小路AC的长度；
（2）试求小路BD的长度．使得草坪ABCD的面积最大．
解：（1）△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2+AD2﹣2AB•ADcosθ＝36+20﹣2×
＝80，
所以BD＝4
，
， ＝
，
×
由题意得sinθ＝由正弦定理得
即＝，
所以sin∠ADB＝，
因为△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，所以cos∠ADC＝﹣sin∠ADB＝﹣，
△ADC中，由余弦定理得AC＝AD+DC﹣2AD•CDcos∠ADC＝
×（﹣）＝2
（2）由（1）得BD＝56﹣24
2
2
2
2
，CD＝BD＝4，
+（4）﹣2×
2
； cosθ，
6×
sinθ+
＝6
sinθ﹣
因为ABCD的面积S＝S△ABD+S△BCD＝12
cosθ+28＝28+30sin（θ﹣φ），
，cosφ＝，即θ＝φ+
，φ∈（0，
其中sinφ＝当θ﹣φ＝
），
时，S取得最大值，
此时BD2＝56﹣24所以BD＝2
．
cosθ＝104，
22．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P﹣ABCD．点
E在棱PB上，满足，点F在棱PC上，满足，
要求同学们按照以下方案进行切割：
（1）试在棱PC上确定一点G，使得EF∥平面ABG；
（2）过点A，E，F的平面α交PD于点H，沿平面α将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H点的位置，请求出
的值．
解：（1）当PG＝3GC时，EF∥平面ABG． 理由：设PB＝PC＝3t，
因为，，可得PE＝2t，EB＝t，PF＝FC＝t，
因为PG＝3GC，可得PG＝t， 可得
＝＝
，
所以EF∥BG，而EF⊄平面ABG，BG⊂平面ABG，则EF∥平面ABG； （2）延长FE，与延长CB交于M，
连接MA，并延长与CD的延长线交于N，连接FN，交PD于H， 由（1）可得FG＝GC＝可得B为MC的中点，
由AD∥BC，可得D为CN的中点， 在等腰三角形PCD中，F为PC的中点，
取CD的中点K，连接FK，则PD＝2KF，DH＝FK， 所以PD＝3DH，即
＝．
，即G为CF的中点，由EF∥BC，
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