磁场边界的最小化

【例1】如图所示，一重力不计的带电粒子质量为m、电量为＋q，从坐标原点以沿y轴正方向的速度v射出。为使该粒子能从x轴正方向上的b点射出第一象限，且粒子在b点时的速度方向与x轴正方向的夹角为30°，可在适当区域加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，求该圆形磁场区域的最小面积。

y

v

O x b

【例2】如图所示，在MN的左侧有两块正对的平行金属板P和Q，相距为d，板长为

3d，两板带等量异3种电荷。在MN的右侧某区域存在一垂直纸面的矩形有界匀强磁场（图中示画出），其左边界和下边界分别与MN、AA＇重合。现有一带电粒子以v0的初速度沿两板正中央OO＇射入，恰好从下极板的边缘射出，后经矩形有界磁场偏转，垂直于MN从A点向左水平射出，A点与下极板的距离为d。不计带电粒子的重力，求矩形有界磁场的最小面积。

M P O Q v0 O＇ A N A＇

--【例3】如图所示，竖直档板上有一小孔P，一质量m＝4×1020 kg、电量q＝＋2×1014 C的粒子，从小孔处以速度v＝3×104 m/s水平射向磁感应强度B＝0.2 T、方向垂直纸面向里的正三角形匀强磁场区域。该粒子在运动过程中始终不碰及竖直档板，且飞出磁场区域后垂直打到OA上（OA与水平方向成30°角），粒子重力不计，求正三角形磁场区域的最小边长。

A v P

30° O

命题：赵攀

作业：

1．如图所示，一重力不计的带电粒子质量为m、电量为q，以平行于x轴正方向的速度v从y轴正方向上的a点射入第一象限。为使该粒子能从x轴正方向上的b点以垂直于x轴的速度射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场，若此磁场仅分布在一个圆形区域内，求该圆形磁场区域的最小半径。 y

O b x a v

2．人们到医院体检时，其中有一项叫胸透。做胸透所用的是X光，现在我们将做胸透的原理等效如下：如图所示，P是一个放射源，能释放出质量为m、电量为q且速率都为v的带正电粒子（重力不计），从开口处在纸平面内向各个方向放出粒子，而这些粒子最终必须全部垂直射到底片MN这一有效区域，并要求底片MN上所有地方都有粒子到达。底片的下端M与放射源P的出口在同一水平面上，底片MN竖直放置，长度为L。为实现上述目的，我们必须在P的出口处放置一有界匀强磁场，求： （1）匀强磁场磁感应强度的大小和方向； M （2）有界匀强磁场的最小面积。

N

P

3．如图所示的直角坐标系中，在y轴和直线x＝－2l之间的区域内存在着两个以x轴为分界线（分界线上无

电场）、大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的匀强电场方向沿y轴正方向。在电场左边界上的点A（－2l，－l）到点C（－2l，0）区域内，连续分布着电量为＋q、质量为m的粒子。从某时刻起，由点A到点C之间的粒子依次连续以相同的初速度v0沿x轴正方向射入电场。若从点A射入的粒子恰好从点A′（0，l）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。不计粒子的重力及它们间的相互作用。 （1）求匀强电场的场强E；

（2）求在点A、C之间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿x轴正方向运动？

（3）若以直线x＝2l上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使沿x轴正

方向射出电场的粒子，在经过磁场偏转后，都能通过直线x＝2l与圆形磁场边界的一个交点处，以便于收集，则该匀强磁场区域的最小半径多大？相应的磁感应强度B多大？

y x＝2l x＝－2l

命题：赵攀

E A′ v0 C O C′ x A v0 E

参考答案

【例1】

3m2v24q2B2 【例2】16d 2

【例3】

43310m 1．2mv2qB

2．（1）方向垂直纸面向外，2mv1qL （2）4πL2

23．（1）2mv0 （2）y＝－1qln2l（n＝1，2，3…）

命题：赵攀

（3）58mv08l，5ql