北师大八下册知识点总结

(北师大版)

第一章 三角形的证明

一、全等三角形的判定

定理：三边分别相等的两个三角形全等.（SSS）

定理：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.（SAS）

定理：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.（ASA）

定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全 等.(AAS)

定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.(HL)

二、全等三角形的性质

全等三角形对应边相等、对应角相等.

三、等腰（边）三角形的性质

定理：等腰三角形的两底角相等.(等边对等角)

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推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.

定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.

四、等腰（边）三角形的判定

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.（等角对等边）

定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.

定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

五、反证法

在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.

六、直角三角形的性质

定理：直角三角形的两个锐角互余.

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

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七、直角三角形的判定

定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.

定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

八、线段垂直平分线

定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

九、角平分线

定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.

三角形三内角的平分线性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.

十、互逆命题和互逆定理

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互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.

备注：一个命题一定有逆命题，但一个定理不一定有逆定理.

十一、尺规作图的应用

已知等腰三角形的底边及底边上的高作等腰三角形.

第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组

一、不等关系

定义：一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式.

与方程的区别：方程表示的是相等的关系；不等式表示的是不相等的关系.

备注：准确“翻译”不等式，正确理解“非负数”“不小于”“不大于”“至多”“至少”等数学术语.

二、不等式的基本性质

●不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变，即如果a＞b，那么ac

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＞bc；

●不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，

ab那么ac＞bc（或c＞c）；

●不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b，c＜0，

ab那么ac＜bc（或c＜c）.

三、不等式的解集

1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.求不等式解集的过程叫做解不等式.

2、不等式的解集在数轴上的表示：用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：

（1）边界：有等号的实心圆点，无等号的空心圆圈；

（2）方向：大于向右，小于向左.

四、一元一次不等式

定义：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次是1，像这样的不等式叫做一元一次不等式.

解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化

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为1.

列不等式解应用题的基本步骤：①审，②设，③列，④解，⑤答.

备注：解一元一次不等式特别要注意，当不等式两边都乘一个负数时，不等号要改变方向.

五、一元一次不等式与函数

设一次函数ykxb，则有一次函数的图像在x轴的上方kxb＞0；一次函数的图像在x轴的下方kxb＜0.

六、一元一次不等式组

解一元一次不等式组的方法：“分开解，集中判

备注：几个不等式

解集的公共部分，通常是利用数轴来确定.

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第三章 图形的平移与旋转

一、平移

定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.

平移的两个要素：平移方向、平移距离.

二、平移的性质

1、平移不改变图形的形状和大小.

2、一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等.

3、一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的.

4、平移前后的图形全等.

三、旋转

定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.

旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角.

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四、旋转的性质

1、旋转不改变图形的大小和形状.

2、一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.

3、旋转前后的图形全等.

五、两图成中心对称

定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心.

备注：成中心对称的图形是两个图形.

六、两个图形成中心对称的性质

1、成中心对称的两个图形是全等图形；

2、成中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分；

3、成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等.

七、中心对称图形

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定义：把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.例如：圆，平行四边形，长方形，正方形及边数是偶数的正多边形都是中心对称图形.

八、中心对称图形的性质

中心对称图形上的每一对对应点连成的线段都被对称中心平分.

九、图案设计步骤

1、确定设计图案的表达意图；2.分析设计图案所给定的基本图形；

3.对基本图形综合运用平移、旋转、轴对称设计图案

第四章 因式分解

一、因式分解

定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.

因式分解与整式乘法的区别与联系：

（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；

（2）因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式.

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备注：因式分解与整式乘法是互逆关系

二、提公因式法

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.如：abaca(bc).

依据：ambmcmm(abc)

步骤：①找公因式：系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积；

②提公因式：提取公因式后的多项式，合并同类项前与原多项式的项数相同.（多项式中的某一项恰为公因式，提出后，括号中这一项为1，而不是0）

三、公式法

22ab(ab)(ab)； 1、平方差公式：

222222a2abb(ab)a2abb(ab)2、完全平方公式：,.

●因式分解的一般步骤：首项有“负”必先提，各项有“公”先提“公”，每项都提莫漏“1”，括号里面分到底.

第五章 分式与分式方程

一、分式

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A1、定义：一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成B的形式，如果B中含A有字母，那么称B为分式.对于任意一个分式，分母都不能为零.

2、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.

3、公因式：一个分式的分子与分母都含有的因式，叫这个分式的公因式.

4、约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.

约分的方法：可以运用分式的基本性质，把这个分式的分子、分母同除以它们的公因式，也就是把分子、分母的公因式约去.

5、最简公分母：

（1）把各分式分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；

（2）把相同字母（或因式分解后得到的相同因式）的最高次幂作为最简公分母的一个因式；

（3）把只在一个分式的分母中出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式.

6、通分：把异分母的分式化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.

7、最简分式：一个分式的分子与分母除了1以外没有其他的公因式时，叫做最简分

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式.

二、分式的乘除法

1、两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；

2、两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.

三、分式的加减法

1、同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

ABABC 式子表示是：CC2、异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.

ACADBCADBCBDBDBDBD 式子表示是：

备注：先对多项式进行因式分解，再确定最简公分母.

四、分式方程

1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

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2、解分式方程的一般步骤：①在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③把整式方程的根代入原方程进行检验，也可以代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.

3、分式方程的增根：解分式方程的过程中所求出的使原分式方程的分母等于零的根，是原方程的增根.

4、列分式方程解应用题的一般步骤：①审清题意；②设未知数；③根据题意找相等关系，列出（分式）方程；④解方程，并验根；⑤写出答案.

备注：解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验！

第六章 平行四边形

一、平行四边形的性质

定理：平行四边形的对边相等.

定理：平行四边形的对角相等.

定理：平行四边形的对角线互相平分.

平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.

二、平行四边形的判定

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定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

三、三角形的中位线

定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.

●由三角形的三条中位线，可以得出以下结论：

（1)三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半；

（2)三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形；

（3)三条中位线将三角形划分出三个面积相等的平行四边形.

四、多边形的内角和与外角和

（n2)·180°. 定理：n边形的内角和等于

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定理：多边形的外角和都等于360°.

1n(n3)备注：n边形共有2条对角线.

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