特征根法求数列通项

特征根法求解数列递推公式

类型一、形如an2pan1qan(p,q是常数)的数列 (二阶线性递推式) 形如a1m1,a2m2,an2pan1qan(p,q是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项an，其特征方程为x2pxq…①

（１)若①有二异根,，则可令anc1nc2n(c1,c2是待定常数） (２)若①有二重根,则可令an(c1nc2)n(c1,c2是待定常数) 再利用a1m1,a2m2,可求得c1,c2,进而求得an

例1 已知数列{an}满足a12,a23,an23an12an(nN*),求数列{an}的通项

an

解:其特征方程为x23x2，解得x11,x22,令anc11nc22n,

c11a1c12c22n1由,得1, an12 a2c14c23c22

例2已知数列{an}满足a11,a22,4an24an1an(nN*)，求数列{an}的通项

an

11解：其特征方程为4x4x1，解得x1x2，令anc1nc2,

222n1a(cc)112c143n212由，得, ann1

2c26a(c2c)122124

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AanB的数列 （分式递推式）

CanDAanB，a1m,nN*(A,B,C,D是常数且C0,ADBC0)

CanD类型二、形如an1 对于数列an1 其特征方程为xAxB,变形为Cx2(DA)xB0…②

CxDan1acn（其中c是待定常数)

an1an（1） 若②有二异根,,则可令

代入a1,a2的值可求得c值。

ana1 即数列,公比为c的等比数列，于是这样可求得an 是首项为

a1an（2） 若②有二重根，则可令

代入a1,a2的值可求得c值。

11c（其中c是待定常数）

an1an11 即数列，公差为c的等差数列,于是这样可求得是首项为

ananan

例3已知数列{an}满足a12,an解：其特征方程为xan11a1cn an11an1an12(n2)，求数列{an}的通项an

2an11x2，化简得2x220,解得x11,x21，令2x1 由a12,得a2数列41,可得c， 53an1a1111是以为首项，以为公比的等比数列，a133a11nn13n(1)nan111,ann

3(1)nan133--

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例4已知数列{an}满足a12,an1解:其特征方程为x2an1(nN*)，求数列{an}的通项an 4an62x11,即x2x20,解得x1x2,令4x611c

a1n12a1n2 由a312,得a214，求得c1， 数列1是以12为首项，a15n12a1212(n1)3a151n5，

n2a135nn10n6

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2以1为公差的等差数列，--

【附】

类型一证明:递推公式为an2pan1qan（其中p,q均为非零常数)。 先把原递推公式转化为an2x1an1x2(an1x1an),其中x1,x2满足

x1x2p，显然x1,x2是方程x2pxq0的两个非零根。 x1x2q1） 2）

如果a2x1a10，则an2x1an10，an成等比,很容易求通项公式。 如果a2x1a10,则{an2x1an1}成等比。公比为x2，

n1 所以an1x1an(a2x1a1)x2

,转化成：

an1x2n1x1an(a2x1a1)，

x2x2n2an1x2n1（ Ｉ )又如果x1x2,则｛}等差,公差为(a2x1a1),

所以

an1x2n1a2(n1)(a2x1a1), 1n1即:an1[a2(n1)(a2x1a1)]x2

an[

可以整理成通

a2(ax1a1)n1(n2)2]x2 x2x2n1式:an(ABn)x2

(ＩI)如果x1x2,则令

an1x2n1bn1，

x1A，(a2x1a1)B,就有 x2bn1AbnB，利用待定系数法可以求出bn的通项公式

bna1x2(1x2)x1n1(a2x1a1)x2()

x1x2x2x1x2a1x2(1x2)x1n1(a2x1a1)x2n2()]x2，化简整理得：

x1x2x2x1x2a1(1x2)n1a1x1a2n1x1x2 可以整理成通式：

x1x2x1x2所以an[ an--

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anAx1nBx1n

（注:类型二证明方法如同类型一，从略。特征根法结论可直接在大题中使用。)

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