16章轴对称和中心对称

学习目标：

1.认识轴对称图形，能够识别简单的轴对称图形.

2.理解两个图形成轴对称的概念，能够运用轴对称的性质作图. 3.理解中垂线的意义和线段的轴对称性并用其作图. 一、学一学

自学指导：请同学们认真阅读教材108--109页“一起探究”之前的内容。（重点内容做出标记）3分钟后完成下列各题。 1、轴对称图形定义：

如果一个图形沿一条 折叠，直线两旁的部分能够 这个图形就叫做轴对称图形。 就是它的对称轴。

2、下面的十个英文字母A,E,F,G,H,K,M,N,O,R中是轴对称图形的是 .

3.汉字中“品,土,日”等都是轴对称图形,请写出三个这样的汉字 4、轴对称定义

如果两个图形沿某条直线对折后，这两个图形 重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线就是 ，关于对称轴对称的点、对称的线段、对称的角分别叫做 、 、 。 5、.下图是从视力表中挑出的几对图形,选项的右边图形与左边图形成轴对称的序号是 .

6、轴对称与轴对称图形的联系与区别．

二、一起探究

已知△ABC与△A’B’C’关于直线l成轴对称。

思考：（1）这两个三角形全等吗？对应线段有怎样的数量关系？对应角呢？

（2）对应点的连线AA',BB',CC' 分别与对称轴具有怎样的位置关系？

归纳：

1、如果两个图形关于某一条直线成轴对称，那么，这两个图形是全等形，它们的对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分。

2、垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。

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三、专项训练

已知线段AB和直线l，画出线段AB关于直线l的对称线段。

四、综合训练

1、下列体育运动标志中，从图案看不是轴对称图形的有( )

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

2、画出这些图形的对称轴，并指出图中关于对称轴对称的点。

3、下列四种图形中，一定是轴对称图形的有（ ）

① 等腰三角形 ② 等边三角形 ③ 直角三角形 ④ 等腰直角三角形

A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 4、下列轴对称图形中，恰好有两条对称轴的是( )

A．正方形 B．等腰三角形 C．长方形 D．圆 5、如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是( )

A．130° B．150° C．40° D．65°

6.如图，△ABC与△ABC关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是（ ） A．AP=AP

B．MN垂直平分AA′，CC′ C．△ABC与△ABC面积相等

D．直线AB、AB的交点不一定在MN上

7、如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形。

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16.2.1线段的垂直平分线

学习目标：1、知道线段垂直平分线的性质定理,

2、能运用线段垂直平分线的性质定理解题.

忆一忆

请画出线段AB的对称轴l

一、一起探究

在上图中直线l上任取一点P，链接PA，PB线段PA和线段PB有怎样的数量关系？提出你的猜想并说明理由。 猜想：

证明：

结论：

几何语言：

二、专项训练

已知:如图所示，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E. 求证AC=AB.

三、综合训练

1、如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED= cm;

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2、已知：点P，Q为线段AB垂直平分线上的两点。 （1）、如图（1），当点P，Q在线段AB的两侧时，你认为∠PAQ和∠PBQ相等吗？为什么？

（2）、如图（2），当点P，Q在线段AB的同侧时，你认为∠PAQ和∠PBQ相等吗？为什么？

3、如图，在△ABC中，线段AB的中垂线交AB于点D，交AC于点E，AC＝14，△EBC的周长是24.求BC的长.

4、如图，将长方形纸片ABCD对折，使AB和DC重合，点E，F分别是折痕与边BC，AD的交点.△ABE和△DCE全等吗？为什么？

5、已知：如图，△ABC的边AB的中垂线与边AC的中垂线相交于点O. 求证：AO＝BO＝CO.

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16.2.2线段的垂直平分线

学习目标：1、掌握线段垂直平分线的性质定理的逆定理,

2、能运用线段垂直平分线的性质定理的逆定理解题.

忆一忆

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E．求∠EBC的度数． 一、一起探究 已知:如图所示,P是线段AB外一点,且PA=PB. 求证:点P在线段AB的垂直平分线上. 结论： 几何语言： 二、专项训练 已知:如图所示,在ΔABC中，AB，AC的垂直平分线DP与EP相交于点P. 求证:点P在BC的垂直平分线上. 三、综合训练 1．如图所示，点D在ΔABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在( )的垂直平分线上. A.AB B.AC C.BC D.不能确定 C

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P A B A D B 2、已知:如图所示,在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，垂足为O. 求证:AO=OC,BO=OD.

3、如图，三条路围成一个三角地带，要在它的中间建一个市场，并且使市场到三个交叉路口的距离相等.怎样才能找到这个市场的位置呢？请画出示意图，并说明你的理由..

4、已知：如图，

ABC内部一点P在BC的中垂线上，且PA=PB。求证：

点P在AC的中垂线上。

5、如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上。请写出AB+BD与DE的长度关系，并给予证明。

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16.2.3线段的垂直平分线

学习目标：1、会作已知线段的垂直平分线和已知直线的垂线，

2、能用其解决实际问题

忆一忆

线段的垂直平分线的性质定理： 。 逆定理： 。 一、自主探究： 1、（参照118页)例3求作:线段AB的垂直平分线.

2、(参照118页例4)如图所示,已知直线AB及AB外一点P. 求作:经过点P，且垂直于AB的直线.

二、专项训练

1、如图，已知两点A，B.

求作：直线l，使点A，B关于l对称.(保留作图痕迹，不要求写出作法)

2、求做∠AOB=90°(保留作图痕迹，不要求写出作法)

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三、综合训练

1利用尺规作线段MN的垂直平分线时,设以M，N为圆心所画弧的半径分别为RM，RN，则下列说法正确的是( )

A.RM与RN不一定相等,但必须RM > MN,RN > MN B.RM=RN> MN C.RM>RN> MN D.RM=RN= MN

2.如图(1)所示，在河岸l的同侧有A，B两村,要在河边修一水泵站P，使水送到A，B两村所用的水管最短(两村不共用水管).另在河边修一码头Q，使其到A，B两村的距离相等，试画出P，Q所在的位置. AB

3、如图，已知线段AB。

求作：线段AB的中点。（保留作图痕迹，不要求写出作法）

4、已知：线段a,b

求作：以线段a,b为相邻两边的长方形。（保留作图痕迹，不要求写出作法）

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l16.3角平分线

学习目标：1.学会角平分线的性质定理及其逆定理.

2.能利用角平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论并应用. 3.能利用尺规作出一个已知角的角平分线.

一起探究

（一）角平分线的性质定理

已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂

足分别为D，E. 求证：PD=PE.

结论：（角平分线性质定理） 几何语言：

专项训练一：

如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.求证：DE＝DC，AC＝AE.

（二）角平分线性质定理的逆定理

已知：如图，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E且PD=PE. 求证：OC是∠AOB的平分线

结论：（角平分线性质定理的逆定理） 几何语言：

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专项训练二：

如图，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC边上一点，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：点D在∠BAC的平分线上.

（三）尺规作角的平分线

如图，已知∠AOB。 求作：∠AOB的平分线 综合训练

1. (2分) 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= _______度，BE=________ .

2.(2分)△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是______.

3.(2分)用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）

A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等

4.已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且BE＝CF.求证：BD＝CD.

5.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，OB＝OC. 求证：（1）当∠1＝∠2时，OB=OC. (2)当OB=OC时，∠1＝∠2。

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16.4中心对称图形

学习目标：1.知道中心对称图形的概念，会识别常见的中心对称图形.

2.知道中心对称的意义，掌握中心对称的性质.

3.理解并掌握中心对称图形和两个图形成中心对称的区别与联系.

一、学一学

1、请同学们认真阅读教材124页内容。5分钟后完成下列各题。

（1）、如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做 ，这个点叫做它的 ，其中对称的点叫做 .

（2）、根据（1）我们知道：线段是_______图形，线段的中点是________对称中心，两个端点是___________.

（3）、下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )

2、自学教材125页内容，然后回答：

（1）、如果一个图形绕某一点旋转180°后与另一图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称.这个点叫做对称中心，其中成中心对称的点、线段和角，分别叫做_____、______和________. （2）、 我们可以得到：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，并且被对称中心______.

（3）、如图，△ABC与△ABC成中心对称，下列说法不正确的是（ ）

A．S△ABC=S△ABC B．AB=AB，AC=AC，BC=BC C．AB∥AB，AC∥AC，BC∥BC D．S△ACO=S△ABO 3、自学教材126页例题，完成下题。

如图，已知点M是△ABC的边BC的中点，O是△ABC外一点. （1）画△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC关于点O成中心对称；

（2）画△A''B''C''，使△A''B''C''与△ABC关于点M成中心对称.

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综合训练

1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A . 角 B. 等边三角形 C . 线段 D . 平行四边形 2.下列图形中是中心对称图形而不是轴对称图形的是( ） A . 平行四边形 B. 矩形 C . 菱形 D . 正方形

3.请问以下三个图形中是轴对称图形的有_________，是中心对称图形的有_________.

4. 指出图中的中心对称图形 .

5.如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是成中心对称的两个图形，请你试着确定其对称中心的位置.

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