2020-2021学年湖北省武汉市武昌区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）为了普及科学抗疫防控病毒知识，设计了一些防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，下面图形中，图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C．
2．（3分）若代数式A．a＝4
1𝑎−4
D．
在实数范围内有意义，则实数a的取值范围为（ ） B．a＞4
C．a＜4
D．a≠4
3．（3分）下列运算正确的是（ ） A．a+a＝a
2
B．（ab）＝ab
22
C．a•a＝a
2
3
5
D．（a）＝a
235
4．（3分）如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，则∠E的度数为（ ）
A．80°
B．35°
C．70°
D．30°
5．（3分）某桑蚕丝的直径约为0.000016米，则这种桑蚕丝的直径用科学记数法表示约为（ ） A．1.6×10米
﹣6
B．1.6×10米
2
6
C．1.6×10米
﹣5
D．1.6×10米
5
6．（3分）若（x+3）（x﹣5）＝x+mx﹣15，则m的值为（ ） A．﹣2
B．2
C．﹣5
D．5
7．（3分）下列式子为因式分解的是（ ） A．x（x﹣1）＝x﹣x C．x+x＝x（x+1）
2
2
B．x﹣x＝x（x+1） D．x﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
2
2
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线
AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（ ）
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A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
9．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
10．（3分）如图，CA⊥直线l于点A，CA＝4，点B是直线l上一动点，以CB为边向上作等边△MBC，连接
MA，则MA的最小值为（ ）
A．1
二、填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）若分式
𝑥+1𝑥−1
B．2 C．3 D．4
的值为0，则x的值是 ．
12．（3分）已知正n边形的每个内角为144°，则n＝ ．
13．（3分）若多项式x﹣mx+16是一个完全平方式，则常数m的值应为 ．
14．（3分）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝ ．
2
15．（3分）观察下面的式子：
11×2
=1−2，
1
1
2×3
=
12
−，3
11
3×4
=
13
−，…，可以发现它们的计算规律是
4
1
第 2 页
1𝑛(𝑛+1)
=
1𝑛
−
112
𝑛+1
（n为正整数）．若一容器装有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第
2
13
13
14
14
15
1
二次倒出的水量是升水的，第三次倒出的水量是升水的，第四次倒出的水量是升水的，…，如此下去，第n次倒出的水量是升水的
𝑛1
1𝑛+1
，…，按这种倒水方式，前n次倒出水的总量为
升．
16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，∠EDB=2∠C，BE⊥DE，垂足为E，
1
DE与AB相交于点F，若BE=√5，则△BDF的面积为 ．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17．（8分）（1）计算：（x+3）（x﹣4）； （2）分解因式：b﹣2b+b．
18．（8分）解方程 （1）（2）
3𝑥−2𝑥+1𝑥−1
2
3
=；
𝑥
2
−
4𝑥2−1
=1
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19．（8分）如图，AB⊥AC，CD⊥BD，AB＝DC，AC与BD交于点O．求证：AC＝DB．
20．（8分）先化简，再求值：（m+2+2−𝑚）÷2𝑚−4，其中m＝6．
21．（8分）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． （1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；
（2）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短； （3）在直线l上找一点Q，使点Q到边AC、BC的距离相等．
5
3−𝑚
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22．（10分）外出时佩戴口罩可以有效防控流感病毒，某药店用4000元购进若干包医用外科口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批同种口罩，第二批购进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包的进价多0.5元，请解答下列问题： （1）求购进的第一批医用口罩有多少包？
（2）政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持不变，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？
23．（10分）如图1，在△ABC中，AF、BE分别平分∠BAC和∠ABC，AF和BE相交于D点． （1）求证：CD平分∠ACB；
（2）如图2，过F作FP⊥AC于点P，连接PD，若∠ACB＝45°，∠PDF＝67.5°，求证：PD＝CP； （3）如图
3，若
2∠BAF+3∠ABE＝180°，求证：BE﹣BF＝AB﹣
AE．
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24．（12分）如图1，平面直角坐标系中，点A（0，a﹣2），B（b，0），C（b﹣6，﹣b），且a、b满足a﹣2ab+2b﹣16b+64＝0，连接AB、AC，AC交x轴于D点． （1）求C点的坐标；
（2）求证：∠OAC+∠ABO＝45°；
（3）如图2，点E在线段AB上，作EG⊥y轴于G点，交AC于F点，若EG＝AO，求证：EF＝OD+AG．
2
2
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2020-2021学年湖北省武汉市武昌区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）为了普及科学抗疫防控病毒知识，设计了一些防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，下面图形中，图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不合题意； D、不是轴对称图形，不合题意． 故选：B． 2．（3分）若代数式A．a＝4
1𝑎−4
在实数范围内有意义，则实数a的取值范围为（ ） B．a＞4
C．a＜4
D．a≠4
【解答】解：依题意得：a﹣4≠0， 解得a≠4． 故选：D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ） A．a+a＝a2
B．（ab）2＝ab2
C．a2•a3＝a5
D．（a2）3＝a5
【解答】解：A、a+a＝2a，故本选项不合题意； B、（ab）2＝a2b2，故本选项不合题意； C、a2•a3＝a5，故本选项符合题意； D、（a2）3＝a6，故本选项不合题意． 故选：C．
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4．（3分）如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，则∠E的度数为（ ）
A．80°
B．35°
C．70°
D．30°
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠C＝30°， ∴∠E＝∠C＝30°， 故选：D．
5．（3分）某桑蚕丝的直径约为0.000016米，则这种桑蚕丝的直径用科学记数法表示约为（ ） A．1.6×10
﹣6
米
B．1.6×106米
﹣
C．1.6×10
﹣5
米
D．1.6×105米
【解答】解：0.000016＝1.6×105． 故选：C．
6．（3分）若（x+3）（x﹣5）＝x2+mx﹣15，则m的值为（ ） A．﹣2
B．2
C．﹣5
D．5
【解答】解：∵（x+3）（x﹣5）＝x2﹣2x﹣15， 即x2﹣2x﹣15＝x2+mx﹣15， ∴m＝﹣2． 故选：A．
7．（3分）下列式子为因式分解的是（ ） A．x（x﹣1）＝x2﹣x C．x2+x＝x（x+1）
B．x2﹣x＝x（x+1） D．x2﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
【解答】解；A、x（x﹣1）＝x2﹣x，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B、原因式分解错误，正确的是x2﹣x＝x（x﹣1），故此选项不符合题意； C、x2+x＝x（x+1），是正确的因式分解，故此选项符合题意；
D、原因式分解错误，正确的是x2﹣x＝x（x﹣1），故此选项不符合题意； 故选：C．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（ ）
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A．10° B．20° C．30° D．40°
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝50°， ∴∠C＝40°，
∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'， ∴∠AB'B＝∠B＝50°，
∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°， 故选：A．
9．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．
故选：A．
10．（3分）如图，CA⊥直线l于点A，CA＝4，点B是直线l上一动点，以CB为边向上作等边△MBC，连接MA，则MA的最小值为（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如图，以AC为边作等边三角形ACE，连接ME，过点A作AF⊥ME于点F，
∵△MBC和△ACE为等边三角形，
∴BC＝CM，AC＝CE，∠BCM＝∠ACE＝60°， ∴∠BCA＝∠MCE， 在△BCA和△MCE中， 𝐵𝐶=𝑀𝐶
{∠𝐵𝐴𝐶=∠𝑀𝐶𝐸， 𝐴𝐶=𝐶𝐸
∴△BCA≌△MCE（SAS），
∴BA＝ME，∠BAC＝∠MEC＝90°， ∴∠AEF＝90°﹣60＝30°， ∵B是直线l的动点， ∴M在直线ME上运动， ∴MA的最小值为AF， ∵AE＝AC＝4， ∴AF=AE＝2． 故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）若分式
𝑥+1𝑥−1
1
2的值为0，则x的值是 ﹣1 ．
𝑥+1𝑥−1
【解答】解：由分式的值为0，得
x+1＝0且x﹣1≠0． 解得x＝﹣1， 故答案为：﹣1．
12．（3分）已知正n边形的每个内角为144°，则n＝ 10 ．
【解答】解：由题意得正n边形的每一个外角为180°﹣144°＝36°， n＝360°÷36°＝10， 故答案为10．
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13．（3分）若多项式x2﹣mx+16是一个完全平方式，则常数m的值应为 ±8 ． 【解答】解：∵x2﹣mx+16＝x2﹣mx+42， ∴﹣mx＝±2•x•4， 解得m＝±8． 故答案为：±8
14．（3分）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝ 78° ．
【解答】解：解法一：连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O， ∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°， ∴∠DOE+∠ABC＝180°， ∵∠DOE+∠1＝180°， ∴∠ABC＝∠1＝39°， ∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°； 解法二： 连接OB，
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∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O， ∴AO＝OB＝OC，
∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE， ∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°，
∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°， ∴∠AOD+∠COE＝141°，
∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°； 故答案为：78°．
1111111
15．（3分）观察下面的式子：=1−，=−，=−，…，可以发现它们的计算规律是
22×31×2233×434
1111𝑛(𝑛+1)
1
=
𝑛
−
𝑛+112
（n为正整数）．若一容器装有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第
2
13
13
14
14
15
二次倒出的水量是升水的，第三次倒出的水量是升水的，第四次倒出的水量是升水的，…，如此下去，第n次倒出的水量是升水的
𝑛1
1
𝑛+1
，…，按这种倒水方式，前n次倒出水的总量为
𝑛
𝑛+1 升．
【解答】解：根据题意可知， 第一次倒出：第二次倒出：第三次倒出：…
第n次倒出：
11×2
113×4𝑛(𝑛+1)1111×22×33×4
， ， ，
，
1𝑛(𝑛+1)
+
12×3
+
𝑛
+
⋯=1−2+2−3+3−4⋯+𝑛−𝑛+1=1−𝑛+1=𝑛+1，
11111111𝑛
故答案为：
𝑛+1
．
1
16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，∠EDB=2∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F，若BE=√5，则△BDF的面积为 5 ．
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【解答】解：作BE与DH的延长线交于G点，如图，
∵DH∥AC，
∴∠BDH＝∠C＝45°， ∴△HBD为等腰直角三角形 ∴HB＝HD， 而∠EBF＝22.5°， ∵∠EDB=∠C＝22.5°， ∴DE平分∠BDG， 而DE⊥BG，
∴BE＝GE，即BE=BG，
∵∠DFH+∠FDH＝∠G+∠FDH＝90°， ∴∠DFH＝∠G，
∵∠GBH＝90°﹣∠G，∠FDH＝90°﹣∠G， ∴∠GBH＝∠FDH 在△BGH和△DFH中， {∠𝐺𝐵𝐻=∠𝐹𝐷𝐻， 𝐵𝐻=𝐷𝐻
∴△BGH≌△DFH（AAS）， ∴BG＝DF， ∴BE=2FD， ∵BE=√5， ∴DF＝2√5，
∴S△BDF=2×2√5×√5=5，
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1
212∠𝐺=∠𝐷𝐹𝐻
1
1
故答案为：5．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17．（8分）（1）计算：（x+3）（x﹣4）； （2）分解因式：b﹣2b2+b3．
【解答】解：（1）原式＝x2+3x﹣4x﹣12 ＝x2﹣x﹣12；
（2）原式＝b（b2﹣2b+1） ＝b（b﹣1）2． 18．（8分）解方程 （1）（2）
3𝑥−2𝑥+1𝑥−1
=；
𝑥
2
−
4𝑥2
−1
=1
【解答】解：（1）去分母得：3x＝2x﹣4， 解得：x＝﹣4，
经检验x＝﹣4是分式方程的解； （2）去分母得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1， 解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解．
19．（8分）如图，AB⊥AC，CD⊥BD，AB＝DC，AC与BD交于点O．求证：AC＝DB．
【解答】证明：∵AB⊥AC，CD⊥BD， ∴∠A＝∠D＝90°， 在Rt△ABC和Rt△DCB中， 𝐴𝐵=𝐷𝐶{， 𝐶𝐵=𝐵𝐶
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∴AC＝DB．
20．（8分）先化简，再求值：（m+2+2−𝑚）÷2𝑚−4，其中m＝6．
5
3−𝑚
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【解答】解：原式＝（=
𝑚2−4𝑚−2
−
5𝑚−2
）•
2(𝑚−2)−(𝑚−3)
(𝑚+3)(𝑚−3)2(𝑚−2)
•
𝑚−2−(𝑚−3)
＝﹣2（m+3） ＝﹣2m﹣6， 当m＝6时， 原式＝﹣2×6﹣6 ＝﹣12﹣6 ＝﹣18．
21．（8分）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． （1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称； （2）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短； （3）在直线l上找一点Q，使点Q到边AC、BC的距离相等．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，点P即为所求作． （3）如图，点Q即为所求作．
22．（10分）外出时佩戴口罩可以有效防控流感病毒，某药店用4000元购进若干包医用外科口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批同种口罩，第二批购进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比
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第一批每包的进价多0.5元，请解答下列问题： （1）求购进的第一批医用口罩有多少包？
（2）政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持不变，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？
【解答】解：（1）设购进的第一批医用口罩有x包，则购进的第二批医用口罩有（1+50%）x包， 依题意得：
7500(1+50%)𝑥
−
4000𝑥
=0.5，
解得：x＝2000，
经检验，x＝2000是原方程的解，且符合题意． 答：购进的第一批医用口罩有2000包． （2）设药店销售该口罩每包的售价是y元，
依题意得：[2000+2000×（1+50%）]y﹣4000﹣7500≤3500， 解得：y≤3．
答：药店销售该口罩每包的最高售价是3元．
23．（10分）如图1，在△ABC中，AF、BE分别平分∠BAC和∠ABC，AF和BE相交于D点． （1）求证：CD平分∠ACB；
（2）如图2，过F作FP⊥AC于点P，连接PD，若∠ACB＝45°，∠PDF＝67.5°，求证：PD＝CP； （3）如图
3，若
2∠BAF+3∠ABE＝180°，求证：BE﹣BF＝AB﹣
AE．
【解答】证明：（1）如图1，过点D作DH⊥AB于H，DG⊥BC于G，DK⊥AC于K，
∵AF、BE分别平分∠BAC和∠ABC，DH⊥AB，DG⊥BC，DK⊥AC， ∴DH＝DK，DH＝DG， ∴DK＝DG，
又∵DG⊥BC，DK⊥AC，
第 16 页
∴CD平分∠ACB；
（2）如图2，过点D作DS⊥AC于S，DT⊥BC于T，在AC上取一点Q，使∠QDP＝∠FDP，
∵CD平分∠ACB，DS⊥AC，DT⊥BC， ∴DS＝DT，∠ACD＝∠BCD＝22.5°， ∵∠QDP＝∠PDF＝67.5°，∠ACB＝45°， ∴∠QDF+∠ACB＝135°+45°＝180°， ∵∠ACB+∠QDF+∠CQD+∠CFD＝360°， ∴∠CQD+∠DFC＝180°， ∵∠CFD+∠DFT＝180°， ∴∠DFT＝∠CQD，
又∵∠DSQ＝∠DTF＝90°，DT＝DS， ∴△DFT≌△DQS（AAS）， ∴QD＝DF，
∵QD＝QF，∠QDP＝∠FDP，PD＝PD， ∴△QDP≌△FDP（SAS）， ∴∠DPQ＝∠DPF＝45°， ∵∠QPD＝∠ACD+∠PDC， ∴∠ACD＝∠PDC＝22.5°， ∴PC＝PD；
（3）如图3，延长AB至M，使BM＝BF，连接FM，
∵AF、BE分别平分∠BAC和∠ABC， ∴2∠BAF+2∠ABE+∠C＝180°， ∵2∠BAF+3∠ABE＝180°，
第 17 页
∴∠C＝∠ABE＝∠CBE， ∴CE＝BE， ∵BM＝BF，
∴∠BFM＝∠BMF＝∠ABE＝∠CBE＝∠C， ∵∠C＝∠BMF，∠CAF＝∠BAF，AF＝AF， ∴△CAF≌△MAF（AAS）， ∴AC＝AM， ∴AE+CE＝AB+BM， ∴AE+BE＝AB+BF， ∴BE﹣BF＝AB﹣AE．
24．（12分）如图1，平面直角坐标系中，点A（0，a﹣2），B（b，0），C（b﹣6，﹣b），且a、b满足a2
﹣2ab+2b2﹣16b+64＝0，连接AB、AC，AC交x轴于D点． （1）求C点的坐标；
（2）求证：∠OAC+∠ABO＝45°；
（3）如图2，点E在线段AB上，作EG⊥y轴于G点，交AC于F点，若EG＝AO，求证：EF＝OD+AG．
【解答】解：（1）∵a2﹣2ab+2b2﹣16b+64＝0， ∴（a﹣b）2+（b﹣8）2＝0， ∴a＝b＝8， ∴b﹣6＝2， ∴点C（2，﹣8）； （2）∵a＝b＝8，
∴点A（0，6），点B（8，0），点C（2，﹣8）， ∴AO＝6，OB＝8，
如图1，过点B作PQ⊥x轴，过点A作AP⊥PQ，交PQ于点P，过点C作CQ⊥PQ，交PQ于点Q，
第 18 页
∴四边形AOBP是矩形， ∴AO＝BP＝6，AP＝OB＝8， ∵点B（8，0），点C（2﹣8）， ∴CQ＝6，BQ＝8， ∴AP＝BQ，CQ＝BP， ∴△ABP≌△BCQ（SAS）， ∴AB＝BC，∠BAP＝∠CBQ， ∵∠BAP+∠ABP＝90°， ∴∠ABP+∠CBQ＝90°， ∴∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°， ∴∠OAC+∠ABO＝45°；
（3）如图2，过点A作AT⊥AB，交x轴于T，连接ED，
∴∠TAE＝90°＝∠AGE，
∴∠ATO+∠TAO＝90°＝∠TAO+∠GAE＝∠GAE+∠AEG， ∴∠ATO＝∠GAE，∠TAO＝∠AEG， 又∵EG＝AO，
∴△ATO≌△EAG（AAS），
第 19 页
∴AT＝AE，OT＝AG， ∵∠BAC＝45°， ∴∠TAD＝∠EAD＝45°， 又∵AD＝AD，
∴△TAD≌△EAD（SAS）， ∴TD＝ED，∠TDA＝∠EDA， ∵EG⊥AG， ∴EG∥OB， ∴∠EFD＝∠TDA， ∴∠EFD＝∠EDF， ∴EF＝ED，
∴EF＝ED＝TD＝OT+OD＝AG+OD，∴EF＝AG+OD．
第 20 页
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