2019考研数学一考试真题(完整版)

2019考研数学一考试真题（完整版）

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. 当x0，若xtanx与xk是同阶无穷小，则k = A.1. B.2. C.3. D.4.

2. 设函数f(x)x|x|,x0,,x0,则x=0是f（xxlnx）的

A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点. C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点.

3.设｛un｝是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是 A.

un.n1n B.(1)n1n1u. nC.

(1unn1u). n1D.

(u2n1u2n).

n14.设函数Q(x,y)xy2.如果对上半平面（y>0）内的任意有向光滑封闭曲线，那么函数P(x,y)可取为

yx2A.y3.

B.1yx2y3. C.1x1y. C都有

D.x1. y5.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵.若A2A2E，且｜A｜=4，则二次型xTAx的规范形为 A.y1y2y3. B.y1y2y3. C.y1y2y3. D.y1y2y3.

6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程

222222222222ai1xai2yai3zdi(i1,2,3)

组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,A，则 A.r(A)2,r(A)3. B.r(A)2,r(A)2. C.r(A)1,r(A)2. D.r(A)1,r(A)1.

7.设A，B为随机事件，则P(A)A.P(AUB)P(A)P(B). B.P(AB)P(A)P(B). C.P(AB)D.P(AB)P(BA). P(AB).

2P(B)的充分必要条件是

8.设随机变量X与Y相互独立，且都要从正态分布N(,A.与无关，而与2有关 B.与有关，而与2无关 C.与，2都有关 D.与，2都无关

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 9.设函数与f(u)可导，z10.微分方程2yy'y211.幂级数

n)，则PXY1

f(sinysinx)xy，则

1cosxzx1cosyzy .

20满足条件y(0)1的特解y .

(1)nnx在0,(2n)!0内的和函数S(x) .

12.设13.设A为曲面x2y24z24(z≥0)的上侧，则

a1 . 2a2，则线性方程组Ax0的通解

a1,a2,a3为3阶矩阵，若a1,a2线性无关，且a3为 .

14.设随机变量X的概率密度为f(x)x,0x20,其他.2，F(X)为X的分布函数，EX为X的数学期望，则

PF(X)EX1 .

三、解答题：15～23小题，共94分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 解答题（高等部分）

15.设函数y(x)是微分方程yxye（1）求y(x)；

（2）求曲线yy(x)的凹凸区间及拐点.

16.设a，b为实数，函数z2ax2by2在点（3，4）处的方向导数中，沿方向l3i4j的方向导数最大，最大值为10. （1）求a，b

（2）求曲面z2ax2by2(z0)的面积. 17.求曲线yexsinx(x0)与x轴之间图形的面积. 18.设anx22 满足条件y(0)0的特解.

10xn1x2dx(n0,1,2,…)

n1an2(n2,3,…) n2（1）证明：数列｛an｝单调减少，且an（2）求limnan an119.设是由锥面在

x2(yz)2(1z)2(0z1)与平面z=0围成的锥体，求的形心坐标。

20.设向量组x1=(1,2,1)T x2=(1,3,2)T x3=(1,a,3)T为R3的一个基，=（1,1,1）T在基下的坐标（b,c,1）T. （1）求a,b,c

3

（2）证明2,3,为R的一个基.并求2,3,到1,2,3的过渡矩阵.

221210x2与B010相似. 21.已知矩阵A200200y（1）求x、y

-1

（2）求可逆矩阵P，使得PAP=B

22.设随机变量X与Y独立.X服从参数为1的指数分布.Y的概率分布为

PY1p，PY11p(0p1)，令Z=XY

（1）求Z的概率密度.

（2）p为何值时，X与Y不相关？ （3）X与Z是否相互独立？ 23.（本题满分11分）

A(x2)e2，x≥.2f(x;) 设总体X的概率密度为0,x.其中是已知参数，0是未知参数，A是常数，X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本. （1）求A；

（2）求2的最大似然估计量.

2