数列通项公式的求法较全

公式：

1、 定义法

若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出a1与d或a1与q,再代入公式ana1n1d或

ana1qn1中即可.

例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列bn的b3,b4,b5,求数列bn的的通项公式.

练习：数列an是等差数列,数列bn是等比数列,数列cn中对于任何nN*都有

127cnanbn,c10,c2,c3,c4,分别求出此三个数列的通项公式.

69542、 累加法

形如an1anfn已知a1型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当fnd为常数时，an为等差数列，则ana1n1d； （2） 当fn为n的函数时，用累加法. 方法如下：由an1anfn得 当n2时，anan1fn1，

an1an2fn2a3a2f2a2a1f1，

，

，

以上n1个等式累加得

（3）已知a1，an1anfn，其中fn可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.

①若fn可以是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若fn可以是关于n的二次函数，累加后可分组求和；

③若fn可以是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；

④若fn可以是关于n的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列an中已知a11,an1an2n3, 求an的通项公式. 练习1：已知数列an满足an1an3n2且a12,求an.

练习2：已知数列an中，a11,an1an3n2n, 求an的通项公式. 练习3：已知数列an满足a13、 累乘法

11,an1an2,求求an的通项公式. 2nnan1fn形如an已知a1型的的递推公式均可用累乘法求通项公式.

给递推公式

an1fn,nN中的n依次取1,2,3，……，n1,可得到下面n1个式子： an利用公式ana1a2a3a4a1a2a3an,an0,nN可得： an1例3、已知数列an满足a12n,an1an,求an. 3n1an1n2, 求an的通项公式. ann练习1：数列an中已知a11,22练习2:设an是首项为1的正项数列，且(n1)an1nanan1an0，求an的通项公式.

4、 奇偶分析法

(1) 对于形如an1anfn型的递推公式求通项公式

①当an1andd为常数时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.

②当fn为n的函数时，由an1anfn，anan1fn1两式相减，得到

an+1an1fnfn1，分奇偶项来求通项.

例4、数列an满足a11,an1an4，求an的通项公式. 练习：数列an满足a16,an1an6，求an的通项公式. 例5、数列an满足a10,an1an2n，求an的通项公式. 练习1: 数列an满足a11,an1ann1，求an的通项公式.

练习2：数列an满足a12,an1an3n1，求an的通项公式. (2) 对于形如an1anfn型的递推公式求通项公式

①当an1andd为常数时，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.

②当fn为n的函数时，由an1anfn，anan1fn1两式相除，得到来求通项.

例6、已知数列an满足a12,an1an4，求an的通项公式. 练习：已知数列an满足a1fnan+1，分奇偶项an1fn12,an1an2，求an的通项公式. 3n1例7、已知数列an满足a13,an1an，求an的通项公式.

2n练习1: 数列an满足a12,an1an3，求an的通项公式. n练习2：数列an满足a11,an1an2，求an的通项公式.

5、 待定系数法（构造法）

若给出条件直接求an较难,可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列,从而根据等差或者等比数列的定义求出通项.常见的有:

(1)an1panqp,q为常数an1tpant,构造ant为等比数列.

两边同时除以pan1pantpn1t,p为常数n1(2)

an1anntn1 ppan1pant,再参考类型1qn1qqn

(3)

两边同时除以pan1pantqn1t,p,q为常数n1(4)an1panqnrp,q,r是常数an1n1pann (5)an2pan1+qanan2tan1pan1tan,构造等比数列an1tan 例8、已知数列an中，a11，an12an3，求an. 练习：已数列an中，a11且an11an1,则an____. 2n1例9、已知数列an中，a13,an13an3, 求an的通项公式.

n练习1：已知数列an中，a13,an2an12，则an________．

练习2：已知数列an中，a12,an13an43n, 求an的通项公式. 3n1例10、已知数列an满足an16an2,a11,求an.

练习1：设数列{an}满足a11,an13an2n，则an________．

511练习2：已知数列an中，a1,an1an632n1，求an.

练习3：已知数列annN的满足：a113k,an4n13an1n2,k1,kR 74n（1）判断数列an是否成等比数列；

7（2）求数列an的通项公式.

例11、数列an中已知a11,an12an3n, 求an的通项公式. 练习1：数列an中已知a12,an13ann2, 求an的通项公式.

2练习2：数列an中已知a12,an13an2nn2, 求an的通项公式.

例12、已知数列an中，a15,a22,an2an1+3an2n3，求求an的通项公式. 练习1：已知数列an中，a11,a22,an+2练习2：在数列{an}中，a11，a23，an2521an+1+an，求求an的通项公式. 3332an1an，令bnan1an 。 53(1) 求证:数列{bn}是等比数列，并求bn 。 (2)求数列{an}的通项公式 。 6、利用an与Sn的关系

如果给出条件是an与Sn的关系式,可利用ann1a1求解.

SnSn1,n22例13、已知数列an的前n项和为Snn2n3，求an的通项公式.

练习1：已知数列an的前n项和为Sn练习2：若数列an的前n项和为Sn12nn3，求an的通项公式. 43an3,求an的通项公式. 2练习3：已知数列an前n项和Sn4an7、 倒数法 （1）an112n2,求an的通项公式.

1panqap1q1n=,构造是等差数列

qanpan1pananpan(2) an1panqatt1q1n=

qantan1panpanp2an，求an的通项公式.

3an2例14、已知数列an满足a1=1，an1练习：已知数列an中，a13,an1an,则an________.

12an2an1，求an的通项公式.

3an14例15、已知数列an满足a1=1，an练习：已知数列an中，a12an2,an1,则an________. 31an两边取对数r8、an1panlgan1lgprlgan,转化为an1panq型 p0,an02例16、已知数列an中，a1100,an110an,求an 3练习：已知数列an中，a12,an12an,求an

9、其他

例17、已数列an中，a11，an1anan1an，则数列通项an____. 例18、在数列an中，a1＝1，n≥2时，an、Sn、Sn－（1）求a2,a3,a4； （2）求数列an的通项公式.

例19、已知在等比数列{an}中，a11，且a2是a1和a31的等差中项. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列bn满足b12b23b31成等比数列. 2nbnannN，求数列bn的通项公式

例20、已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{bn}的第二项，第三项，第四项．

（1）求数列{an}与{bn}的通项公式； （2）设数列{cn}对任意正整数n，均有

cc1c2c3nan1，求cn. b1b2b3bn