2016年山东省高考数学理科试题含答案(Word版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试

卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和

试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干

净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能

写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

参考公式：

第Ⅰ卷（共50分）

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合要求的

（1）若复数z满足2zz32i,其中i为虚数单位，则z=（ ）

（A）1+2i

（B）12i

（C）12i （D）12i

B=（ ）

如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).如果事件A，B独立，那么P(AB)=P(A)·P(B)

x2A{y|y2,xR},B{x|x10},则（2）设集合A（A）(1,1) （B）(0,1) （C）(1,) （D）(0,)

（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）

（A）56 （B）60

（C）120 （D）140

ìïïïx+y?2,ïíï2x-3y?9,4）若变量x，y满足ï锍ïîx0,则x2+y2的最大值是（ ）

（A）4 （B）9 （C）10 （D）12

5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）

（A）

1323π（B）1212233π（C）36π（D）16π 6）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

（（（ ）

（7）函数f（x）=（3sinx+cosx）（3cosx –sinx）的最小正周期是（ ）

（A）

π3π（B）π （C）（D）2π 221.若n⊥（tm+n），则实数t的值为（ ） 3（8）已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos=

（A）4 （B）–4 （C）

99（D）– 443（9）已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)x1；当1x1时，f(x)f(x)；当x1时，211f(x)f(x) .则f(6)= （ ）

22（A）−2（B）−1（C）0（D）2

（10）若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是（ ） （A）y=sinx（B）y=lnx（C）y=ex（D）y=x3

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）执行右边的程序框图，若输入的a,b的值分别为0和9，则输出的i的值为________.

(12)若（ax2+1）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______. xx2y2（13）已知双曲线E1：221（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为

abE的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.

（14）在[-1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为 . xm|x|,（15）已知函数f(x)2其中m0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三

x2mx4m,xm个不同的根，则m的取值范围是________________.

三、解答题：本答题共6小题，共75分。

（16）（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tanAtanB)（Ⅰ）证明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC的最小值. 17（本小题满分12分）

.在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的一条母线. （I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC； （II）已知EF=FB=

tanAtanB. cosBcosA1AC=23AB=BC.求二面角FBCA的余弦值. 2

（18）（本小题满分12分）

已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n，bn是等差数列，且anbnbn1. （Ⅰ）求数列bn的通项公式；

(an1)n1（Ⅱ）令cn.求数列cn的前n项和Tn. n(bn2)（19）（本小题满分12分）

甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分。已知甲每轮猜对的概率是

32，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。各轮结43果亦互不影响。假设“星队”参加两轮活动，求： （I）“星队”至少猜对3个成语的概率；

（II）“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX (20)(本小题满分13分) 已知f(x)axlnx2x1,aR. x2（I）讨论f(x)的单调性；

（II）当a1时，证明f(x)＞f'x

（21）本小题满分14分）

3对于任意的x1,2成立 2x2y232平面直角坐标系xOy中，椭圆C：221a＞b＞0 的离心率是，抛物线E：x2y的焦点F

2ab是C的一个顶点。 （I）求椭圆C的方程；

（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M. （i）求证：点M在定直线上;

（ii）直线l与y轴交于点G，记PFG的面积为S1，PDM的面积为S2，求时点P的坐标.

S1的最大值及取得最大值S2

2016年普听高等学校招生全国统一考试(山东卷)

理科数学试题参考答案

一、选择题 （1）【答案】B （2）【答案】C （3）【答案】D （4）【答案】C （5）【答案】C （6）【答案】A （7）【答案】B （8）【答案】B （9）【答案】D （10）【答案】A

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

（11）【答案】3 （12）【答案】-2 （13）【答案】2 （14）【答案】

3 4（15）【答案】(3,) 三、解答题 （16）

解析：由题意知2sinAsinBsinAsinB， cosAcosBcosAcosBcosAcosB化简得2sinAcosBsinBcosAsinAsinB， 即2sinABsinAsinB. 因为ABC,

所以sinABsinCsinC. 从而sinAsinB=2sinC. 由正弦定理得ab2c.

()由()知cab, 2222ababa2b2c23ba112所以 cosC，

2ab2ab8ab42当且仅当ab时，等号成立. 故 cosC的最小值为

1. 2考点：两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式. （17）

（I）证明：设FC的中点为I,连接GI,HI, 在△CEF,因为G是CE的中点，所以GI//EF,

又EF//OB,所以GI//OB,

在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI//BC，

又HIGII,所以平面GHI//平面ABC，

因为GH平面GHI，所以GH//平面ABC.

（II）解法一：

连接OO',则OO'平面ABC，

又ABBC,且AC是圆O的直径，所以BOAC. 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，

由题意得B(0,23,0)，C(23,0,0)，过点F作FM垂直OB于点M， 所以FMFB2BM23,

可得F(0,3,3)

故BC(23,23,0),BF(0,3,3). 设m(x,y,z)是平面BCF的一个法向量.

mBC0, 由mBF023x23y0, 可得3y3z0可得平面BCF的一个法向量m(1,1,3), 3因为平面ABC的一个法向量n(0,0,1), 所以cosm,nmn7. |m||n|77. 7所以二面角FBCA的余弦值为

解法二：

连接OO'，过点F作FMOB于点M，

则有FM//OO', 又OO'平面ABC， 所以FM⊥平面ABC, 可得FMFB2BM23,

过点M作MN垂直BC于点N，连接FN， 可得FNBC,

从而FNM为二面角FBCA的平面角. 又ABBC,AC是圆O的直径， 所以MNBMsin456, 2从而FN742. ，可得cosFNM72所以二面角FBCA的余弦值为7. 7考点：空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力 （18）

（Ⅰ）由题意知当n2时，anSnSn16n5， 当n1时，a1S111， 所以an6n5. 设数列bn的公差为d，

a1b1b2112b1d由，即，可解得b14,d3，

abb172b3d2312所以bn3n1.

(6n6)n13(n1)2n1， （Ⅱ）由（Ⅰ）知cnn(3n3)又Tnc1c2c3cn，

234n1得Tn3[223242(n1)2]，

2Tn3[223324425(n1)2n2]，

两式作差，得

Tn3[22223242n1(n1)2n2]

4(2n1)3[4(n1)2n2] 213n2n2所以Tn3n2n2

考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法 （19）

(Ⅰ)记事件A:“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”， 记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”， 记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”.

由题意，EABCDABCDABCDABCDABCD. 由事件的独立性与互斥性，

PEPABCDPABCDPABCDPABCDPABCD

PAPBPCPDPAPBPCPDPAPBPCPDPAPBPCPDPAPBPCPD



323212323132=2434343434343 ,

2.3所以“星队”至少猜对3个成语的概率为

2. 3 (Ⅱ)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得

11111 , PX0434314453111121110PX12,

4343434314472313131121231121225 , PX24343434343434343144321111321PX3 ,

434343431232313212605PX42= ,

434343431441232321PX6.

43434可得随机变量X的分布列为

X P 0 1 2 3 4 6 1251515 1441441212472152515123所以数学期望EX012346.

14472144121246考点：独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；分布列和数学期望 (20)

（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,)；

a22(ax22)(x1)f(x)a23.

xxxx3/当a0， x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增；

/x(1,)时,f/(x)0，f(x)单调递减.

/当a0时，f(x)a(x1)22(x)(x). x3aa（1）0a2，

21， a2,)时，f/(x)0，f(x)单调递增； a当x(0,1)或x(当x(1,2)时，f/(x)0，f(x)单调递减； a21，在x(0,)内，f/(x)0，f(x)单调递增； a21， a（2）a2时，

（3）a2时，0当x(0,2)或x(1,)时，f/(x)0，f(x)单调递增； a2,1)时，f/(x)0，f(x)单调递减. a当x(综上所述，

当a0时，函数f(x)在(0,1)内单调递增，在(1,)内单调递减；

当0a2时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1,当a2时，f(x)在(0,)内单调递增；

22)内单调递减，在(,)内单调递增； aa

当a2，f(x)在(0,22)内单调递增，在(,1)内单调递减，在(1,)内单调递增. aa（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a1时，

f(x)f/(x)xlnx2x1122(123)2xxxx

312xlnx231，x[1,2]，

xxx令g(x)xlnx,h(x)/312231，x[1,2]. xxx则f(x)f(x)g(x)h(x)， 由g(x)/x10可得g(x)g(1)1，当且仅当x1时取得等号. x3x22x6又h'(x)， 4x设(x)3x2x6，则(x)在x[1,2]单调递减， 因为(1)1,(2)10，

所以在x0[1,2]上使得x(1,x0) 时，(x)0,x(x0,2)时，(x)0， 所以函数h(x)在(1,x0)上单调递增；在(x0,2)上单调递减， 由于h(1)1,h(2)211，因此h(x)h(2)当且仅当x2取得等号， 22，

3， 2所以f(x)f(x)g(1)h(2)/即f(x)f(x)/3对于任意的x[1,2]成立。 2考点：利用导函数判断函数的单调性；分类讨论思想. （21）

a2b23（Ⅰ）由题意知，可得：a2b. a2因为抛物线E的焦点为F(0,)，所以a1,b22121， 2所以椭圆C的方程为x4y1.

m2)(m0)，由x22y可得y/x， （Ⅱ）（i）设P(m,2所以直线l的斜率为m，

m2m2m(xm)，即ymx因此直线l的方程为y. 22m2ymx设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0)，联立方程2

x24y21得(4m1)x4mxm10， 由0，得0m223425或0m225

4m3且x1x2，

4m21x1x22m3因此x0, 224m1m2m2将其代入ymx得y0， 222(4m1)y011x. 因为，所以直线OD方程为yx04m4m1yx1y联立方程，得点的纵坐标为， M4mM4xm即点M在定直线y1上. 4m2（ii）由（i）知直线l方程为ymx，

2m2m2)， 令x0得y，所以G(0,22m212m3m2),F(0,),D(2又P(m,,)， 2224m12(4m1)所以S111|GF|mm(m21)， 241m(2m21)2， S2|PM||mx0|228(4m1)S12(4m21)(m21)所以， 22S2(2m1)令t2m1，则

2S1(2t1)(t1)112， 22S2ttt当

S1192，即t2时，1取得最大值，此时m，满足0，

S22t24所以点P的坐标为(

92121S,)，因此1的最大值为，此时点P的坐标为(,). 2424S24考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.