知识点
考点一 数轴的概念及画法
数轴：画一条 直线，在直线上取一点表示 ，这个点叫做 ；选取某一长度作为 ；规定直线上 的方向为正方向，就得到下面的数轴，如图所示.
注意：
(1)数轴是一条直线，可以向两边 ；
(2)数轴的三要素： 、 、 ，三者缺一不可；
(3)“规定”二字，就是说的 选定、 的选取、 大小的确定，都是根据实际需要而“规定”的. 数轴的画法：
(1)先画一条直线（一般画成水平方向的直线，但不是说必须是水平方向）；
(2)确定正方向（通常取向右为正方向，实际选取正方向是任意的），用箭头表示出来；
(3)在直线上任意取一点为原点（通常取图上适中的位置，若所需的都是正数，则可偏向左边），用0表示出来.
(4)选取适当的单位长度（单位长度根据实际情况而定），从原点向左每隔一个单位长度在直线上取一个点，依次表示为-1，-2，-3，…，从原点向右每隔一个单位长度在直线上取一个点，依次表示为1,2,3，….
考点二 数轴上的点与有理数的关系
任何有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数.
考点三 在数轴上表示有理数的大小
数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的 .
比较法则：正数 0，负数 0，正数 负数.
考点四 相反数的概念及意义
相反数的代数定义：如果两个数只有 不同，那么称其中一个数为另一个数的 ，也称这两个数 . 特别地，0的相反数是 .
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注意：
(1)相反数总是成对出现，不能单独存在.
(2)对于“两个数只有符号不同”中的“只有”指的是除了符号不同外，其他完全相同.例如：-1和+2，符号不同，但它们 相反数.
(3)相反数等于它本身的数 个，是 .
(4)如果a，b互为相反数，那么𝑎+𝑏= ；反之，也成立.
相反数的几何意义：在数轴上，位于原点的 ，且到原点的距离 的两个点所表示的数互为相反数.
相反数的表示法：在一个数前面添上一个“ ”号就表示这个数的 .一般地，数a的相反数是 .这里的a是任意的有理数，可以是正数、负数或零.
考点五 绝对值的意义
定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的 叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作“ ”，读作“ ”.
从几何意义上看，一个数的绝对值是 ，所以绝对值 为负数.
一个数的绝对值与这个数的关系：正数的绝对值是 ；负数的绝对值是 ；0的绝对值是 . 总结：
(1)若|a|=a，则a 0；若|a|=−a，则a 0. (2)任何一个有理数的绝对值都是一个 数.
(3)绝对值等于一个正数的数有 个，这两个数 . (4)互为相反数的两个数的绝对值 .
考点六 绝对值的非负性
任何一个数的绝对值 为负数，即|a| 0.这里的a可以是 ，也可以是 ，还可以是 . 绝对值最小的有理数是 .
考点七 两个负数大小的比较法则
因为两个负数在数轴上的位置关系是：绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数的 ，所以，两个负数比较大小，绝对值大的反而 . 比较两个负数的大小的步骤是：
(1)先分别求出两个负数的 ；
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(2)比较两个 ；
(3)根据“ ”作出正确的判断.
题型一 数轴的画法
【例1】在下图中，表示数轴正确的是（ ）
【过关练习】
1.下列各图中，所画数轴正确的是（ ）
2.下列说法中，错误的是（ ） A.在数轴上，原点位置的确定是任意的
B.在数轴上，正方向可以是从原点向右，也可以是从原点向左 C.在数轴上，确定单位长度时可根据需要任意选取 D.数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线
题型二 有理数与数轴上的点
【例1】下列语句：数轴上的点只能表示整数；数轴是一条线段；数轴上的一个点只能表示一个数；数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；数轴上的点所表示的数都是有理数.其中正确的有（ ） A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
1
2
【例2】画一条数轴，并在数轴上表示下列各数：-3，-1.5，-0.5,0,1,22,4，−23.
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【例3】点A表示的数为-2，当点A沿数轴移动4个单位长度时，它表示的数是（ ） A.2 B.2或-6
C.-6
D.不同于以上答案
2
【例4】如图，已知数轴上的点A，B，C，D分别表示数-2,1,2,3，则表示3−23的点P应落在线段（ ）
A.AO上 B.OB上
【过关练习】
1. 画一条数轴，并在数轴上表示下列各数：-3.5，-2，-0.5,0,1.5,2,4，−2. 3
2
2
1
C.BC上 D.CD上
2.如图，分别用数轴上的点A,B,C,D表示数，正确的是（ ） A.点D表示-2.5 B.点C表示-1.25
3. 在数轴上，一点从原点开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度后到达终点，这个终点表示的数是（ ） A.5
B.1
C.-1
D.-5
C.点B表示1.5
D.点A表示1.25
4. 如图，在数轴上一动点A先向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（ ） A.7
B.3
C.-3
D.-2
5. 在数轴上一点A表示数-2.
(1)若数轴上的原点改在表示数-1的点的位置，那么点A应表示什么数？
(2)现在改变了数轴的单位长度，原来的一个单位长度表示10个单位长度，A点又表示什么数？
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题型三 求相反数
【例1】 (1)分别写出−42，34的相反数. (2)指出-3.1和-p各是什么数的相反数.
【例2】如图，所表示的数互为相反数的点是（ ）
A.点A与点C
【过关练习】
1. 下列说法： m与-m互为相反数 ，因此它们一定不相等；相反数等于它本身的数只有0；正数和负数互为相反数；负数的相反数是正数； a的相反数一定是负数.其中正确的个数是（ ） A.1
B.2
C.3
D.4
B.点B与点D
C.点B与点C
D.点A与点D
1
3
2. 设a是有理数，则-a与|a|的和为（ ） A.可能是负数
B.不可能是负数
C.只可能是负数
D.只能是0
3. (1)写出下列各数的相反数，并将这些数连同它们的相反数在数轴上表示出来； (2)说明各对数在数轴上的位置特点.
1
+2，−3，0，−(−1)，−3，−(+2)
2
题型四 求绝对值
【例1】如图，点A所表示的有理数的绝对值是（ ）
A.-1
B.1
C.±1
D.以上都不对
【例2】已知数轴上的点A为-2，那么在数轴上到A点的距离是3的点所表示的数是（ ）
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A.-5 B.-5或1 C.5 D.1
【例3】已知|a|=-a，则a的值是（ ） A.正数
B.负数
C.非正数
D.非负数
【例4】已知|𝑥−5|+|3−𝑦|=0，求𝑥，𝑦的值.
【过关练习】
1.下列说法中：一个数的绝对值越大，这个数越大；一个正数的绝对值越大，这个数越大；一个数的绝对值越小，这个数越大；一个负数的绝对值越小，这个数越大.其中正确的是（ ） A.1
B.2
C.3
D.4
2. (1)绝对值不大于π的整数有 . (2)已知|𝑥−28|=0，则𝑥= .
3. a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a，b，c三数之和是 .
4. 若|𝑎−1|=𝑎−1，则a的取值范围是 . 5. 已知|𝑎−3|+|2𝑏−8|+|𝑐−2|=0，求𝑎+3𝑏−𝑐的值.
题型五 利用数轴和绝对值比较有理数大小
【例1】在数轴上表示下列各数，并用“＜”将这些数连接起来：-3，−,1,0，+4.5，-1.5，1.
3
3
2
1
【例2】在数-3,2,0,3中，大小在-1和2之间的数是（ ）
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A.-3 B.2 C.0 D.3
【例3】利用绝对值比较下列每组数的大小： (1)−
【例4】已知𝑎为正数，𝑏为负数，且|𝑎|＜|𝑏|，比较𝑎,𝑏,−𝑎,−𝑏的大小.
【过关练习】
1.有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a b（填“＞”“＜”“＝”）.
2. 以下四个选项表示某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是（ ） A.-3℃
B.15℃
C.-10℃
D.-1℃
1011
与−
1112
(2)−与−0.7
9
1
(3)−，−， 2
3
4
111
3.把下列各数在数轴上表示出来 ，再按从大到小的顺序用“＞”把数连接起来. -0.5,-2,0,4， 23
4. 已知有理数𝑎，𝑏在数轴上的位置如图，下列结论错误的是（ ）
A.|𝑎|<1<|𝑏|
B.1<−𝑎<𝑏
C. 1<|𝑎|<𝑏
D.−𝑏<𝑎<−1
5. 数轴上有四个点A,B,C,D，它们与原点的距离分别为1,2,3,4个单位长度，且点A,C在原点左边，点
B,D在原点右边.
(1)请写出点A,B,C,D分别表示的数；
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(2)比较四个数的大小，并用“＞”连接.
题型六 解决实际问题
【例1】将长度为2个单位的木棒放在数轴上，最多能覆盖 个表示整数的点，最少能覆盖 个表示整数的点.
【例2】超市、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，超市在书店西边20米处，玩具店位于书店东边50米处.小明从书店出来沿街向东走了50米，接着又向东走了-80米，此时小明的位置在何处？在数轴上标出超市、书店、玩具店的位置，以及小明最后的位置.
【例3】某天出租车司机小王驾车在南北走向的公路上行驶，从某一地点出发，若规定向南为正，向北为负，他这天上午的行程记录如下（单位：km）+2，-6，+4，-7，+12，+8，-9，-10，+5.若汽车每行驶1km耗油0.8L，请你计算一下小王驾驶的汽车这天上午共耗油多少升？
【过关练习】
1. 在数轴上任取一条长为20163个单位长度的线段，则此线段在数轴上最多能覆盖住的整数点的个数为（ ） A.2017
B.2016
C.2015
D.2014
1
2.检验4个工件，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的工件是（ ）
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A.-2 B.-3 C.3 D.5
3. 某同学在做数学作业时，不小心将墨水洒在所画的数轴上，如图，被墨水污染部分的整数有 个.
4. 小明、小兵、小颖三人的家和学校在同一条东西走向的大街上，星期天老师到这三家进行家访，从学校出发先向东走250m到小明家，后又向东走350m到小兵家，再向西行800m到小颖家，最后又回到学校. (1)以学校为原点，画出数轴并在数轴上分别表示出小明家、小兵家、小颖家的位置. (2)小明家距离小颖家多远？
(3)这次家访，老师共行了多少千米的路程？
5.足球比赛中，对所用的足球有严格的规定，下表是5个足球的质量检测结果（用正数表示超过标准质量的克数，用负数表示不足标准质量的克数）. 号码 质量/g 1 +10 2 +12 3 -8 4 -11 5 -20 请你指出哪个足球的质量更好一些，并用所学的只是加以说明.
课后练习
【补救练习】
1.-15的相反数是（ ） A.15
B.-15
C.±15
D.15
1
2. 在-4,2，-1,3这四个数中，比-2小的数是（ ）
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A.-4 B.2 C.-1 D.3
3.数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最大的是（ ）
A.𝑎
B.𝑏
C.𝑐
D.𝑑
4. 数轴上的点A对应的数是-2，点B对应的数是3，则A，B两点之间的距离是 . 5.把下列各数用“＞”连接起来：
−|42|，2，0.7，−0.7，3，|−5|，−4.2，0.
6.比较下列各组数的大小. (1)-6,-2；
(2)-2.5,1；
(3)−3，−4；
1
1
1
3
2
(4)-10,0；
(5)-7,2，-2；
7.由图回答问题：
(6)1.8，-3.1，-5.6.
(1)A，C两点间的距离是多少？C，D两点间的距离是多少？
(2)若数轴取B点为原点，其他条件不变，则点A，C，D表示的数各是什么？
8. a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.a，b，c都表示正数
B.a，b，c都表示负数
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C.a，b表示正数，c表示负数 D.a，b表示负数，c表示正数
34
9.𝑎，𝑏，𝑐三个数在数轴上的位置如图所示，又|𝑎|=，|𝑏|=4，|c|=3.求𝑎，𝑏，𝑐.
【巩固练习】
1.下列说法正确的是（ ） A.一个数的绝对值一定比0大 B.一个数的相反数一定比它本身小 C.绝对值等于它本身的数一定是正数 D.最小的正整数是1
2. 在数轴上，A点和B点所表示的数分别是-1和1，若使A点表示的数是B点表示的数的2倍，则点A（ ）
A.向左移动3个单位长度 C.向左移动5个单位长度
B.向右移动3个单位长度 D.向右移动5个单位长度
3. 在数轴上表示数-1和2014的两点分别为A和B，则A，B两点之间的距离为（ ） A.2013
B.2014
C.2015
D.2016
4.数轴上，点A表示的数是-1，把点A向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度得到点B，则点B表示的数是 .
5.如图，四个有理数在数轴上的对应点为M，P，N，Q，若点M,N表示的有理数互为相反数，则图中表示到原点的距离最小的点是（ ）
A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
6.已知|15−𝑎|+|𝑏−12|=0,求2𝑎−𝑏+7的值.
7. 如图所示，在数轴上有三个点A、B、C，怎样移动其中的两个点，才能使三个点表示的数相同？
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8.老师不小心把墨水洒在了如图所示的数轴上，你能帮助他把这条数轴补充完整吗？并在补好的数轴上标出你喜欢的一个正整数、一个正分数、一个负整数、一个负分数.
9.某供电站工作人员乘车检修供电线路，向南记为正，向北记为负.某天自供电站出发，他的行程记录如下（单位：km）：+12，-5，+3，-3，-7，+11，-2，+9，+4，-8.若汽车每千米耗油0.09L，问共耗油多少升？
10.如图所示，已知在纸面上有一数轴.
操作一：
(1)折叠纸面，使表示1的点与表示-1的点重合，则表示-2的点与表示 的点重合. 操作二：
(2)折叠纸面，使表示-1的点与表示3的点重合，回答以下问题： 表示5的点与表示 的点重合；
若数轴上A，B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A，B两点折叠后重合，求A，B两点表示的数.
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11.一条直线流水线上依次有5个机器人，它们站的位置在数轴上依次用点𝐴1，𝐴2，𝐴3，𝐴4，𝐴5表示，如图所示.
(1)怎样将点𝐴3移动，使它先到达点𝐴2再到达点𝐴5，请用文字语言说明. (2)若原点是零件供应点，那5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少？ (3)将零件的供应点设在何处，才能使5个机器人分别到达供应点取货的总路程最短？
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【拔高练习】
1.数轴上A点表示的数为-5，B点表示的数的绝对值为7，C点表示的数与A点表示的数互为相反数，则点
B与点C之间的距离是 .
2.(1)式子|𝑚−3|+6的值随𝑚的变化而变化，当𝑚为何值时，|𝑚−3|+6有最小值？ (2)当𝑎为何值时，式子8−|2𝑎−3|有最大值？最大值是多少？ (3)当𝑎为何值时，|1−𝑎|+2的有最小值？并求这个最小值. (4)当𝑎为何值时，2−|4−𝑎|有最大值？并求这个最大值.
3.已知数轴上有两点M、N，它们分别表示互为相反数的两个数m、n（其中𝑚>𝑛），并且M、N两点间的距离为10，求m、n两数.
4.如图是一个正方体纸盒的展开图，若在其中3个正方形A,B,C内分别填入适当的数，使得它折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A,B,C的三个数是多少？
5. 探究：
(1) 当𝑎>0时，𝑎 −𝑎；
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当𝑎=0时，𝑎 −𝑎； 当𝑎<0时，𝑎 −𝑎.
(2)请仿照(1)方法比较𝑎和𝑎的大小关系.
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