2014年上海市高考数学试卷（理科）
一、填空题（共14题，满分56分） 1．（4分）（2014•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是 _________ ．
2．（4分）（2014•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•= _________ ．
3．（4分）（2014•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆_________ ．
4．（4分）（2014•上海）设f（x）=
+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为
，若f（2）=4，则a的取值范围为 _________ ．
5．（4分）（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 _________ ． 6．（4分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 _________ （结果用反三角函数值表示）． 7．（4分）（2014•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是 _________ ．
8．（4分）（2014•上海）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=
9．（4分）（2014•上海）若f（x）=
﹣
，则满足f（x）＜0的x的取值范围是 _________ ．
（a3+a4+…an），则q= _________ ．
10．（4分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 _________ （结果用最简分数表示）． 11．（4分）（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b= _________ ． 12．（4分）（2014•上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3= _________ ． 13．（4分）（2014•上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为 _________ ．
14．（4分）（2014•上海）已知曲线C：x=﹣的Q使得
+
，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上
=，则m的取值范围为 _________ ．
二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分 15．（5分）（2014•上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（ ）
A． 充分非必要条B．必 要非充分条
件 件 C． 充要条件 D．既 非充分又非
必要条件
16．（5分）（2014•上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则
•
（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（ ）
A． 1 C． 3 D．4 17．（5分）（2014•上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组
的解的情况是（ ）
B．2
A． 论k，P1，P2无论k，P1，P2B．无
如何，总是无解 如何，总有唯一
解
C． D．存 在k，P1，P2，存在k，P1，P2，
使之恰有两解 使之有无穷多
解
18．（5分）（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（ ）
A． [﹣1，2] B．[ ﹣1，0] C． [1，2] D．[ 0，2]
三、解答题（共5题，满分72分） 19．（12分）（2014•上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．
20．（14分）（2014•上海）设常数a≥0，函数f（x）=
﹣
．
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f1（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．
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21．（14分）（2014•上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β． （1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．
22．（16分）（2014•上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线． （1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．
23．（16分）（2014•上海）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1． （1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；
（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围．
（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差．
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2014年上海市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（共14题，满分56分）
1．（4分）（2014•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是
．
2．（4分）（2014•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•= 6 ．
3．（4分）（2014•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆2 ．
4．（4分）（2014•上海）设f（x）=
+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 x=﹣
，若f（2）=4，则a的取值范围为 （﹣∞，2] ．
5．（4分）（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 2
．
6．（4分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 arccos （结果用反三角函数值表示）．
7．（4分）（2014•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是
．
8．（4分）（2014•上海）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q= ．
9．（4分）（2014•上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是 （0，1） ．
10．（4分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是
（结果用最简分数表示）．
11．（4分）（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b= ﹣1 ． 12．（4分）（2014•上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=
．
13．（4分）（2014•上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为 0.2 ． 14．（4分）（2014•上海）已知曲线C：x=﹣的Q使得
+
，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上
=，则m的取值范围为 [2，3] ．
二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分 15．（5分）（2014•上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（ ） A． 充分非必要条B．必 要非充分条
件 件 C． 充要条件 D．既 非充分又非
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必要条件
解答： 解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，
若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立， 故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件， 故选：B．
16．（5分）（2014•上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则解答：
•
（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（ ）
解：如图建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（2，0，1），P1（1，0，1），P2（0，0，1），P3（2，1，1），P4（1，1，1），P5（0，1，1），P6（2，2，1），P7（1，2，1）， P8（0，2，1），
，
1，1，1），
=（﹣1，0，1），
=（﹣2，0，1），
=（0，1，1），
=（﹣
=（﹣2，1，1），=（0，2，1），
=（﹣1，2，1），易得∴
••
=（﹣2，2，1），
=1（i=1，2，…，8），
（i=1，2，…，8）的不同值的个数为1，
故选A．
17．（5分）（2014•上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组解答：
的解的情况是（ ）
解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜
率存在， ∴k=
，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1
，
①×b2﹣②×b1得：（a2b1﹣a1b2）x=b2﹣b1， 即（a2﹣a1）x=b2﹣b1．∴方程组有唯一解． 故选：B．
18．（5分）（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（ ）
解答：
解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，
当a≥0时，f（0）=a2， 由题意得：a2≤x++a≤2+a，
解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2， ∴0≤a≤2，
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点评：
三、解答题（共5题，满分72分） 19．（12分）（2014•上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．
故选：D．
本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．
解答：
解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°， ∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°， ∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，
∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体， ∴△P1P2P3的边长为4， VP﹣ABC=
=
20．（14分）（2014•上海）设常数a≥0，函数f（x）=
﹣
．
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f1（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．
解答： 解：（1）∵a=4，
∴∴∴
，
，
，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
∴调换x，y的位置可得
（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立， ∴
﹣
=，整理可得a（2x﹣2x）=0．
﹣
∵2x﹣2x不恒为0，
∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；
若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立， ∴
=﹣
，整理可得a2﹣1=0，
∴a=±1， ∵a≥0， ∴a=1，
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此时f（x）=
，满足条件；
点评： 21．（14分）（2014•上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β． （1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．
综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数．
本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题．
解答：
解：（1）设CD的长为x米，则tanα=∵0
∴tanα≥tan2β， ∴tan
， ，
，tanβ=，
即=，
解得0≈28.28， 即CD的长至多为28.28米． （2）设DB=a，DA=b，CD=m， 则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°， 由正弦定理得即a=∴m=
， ，
≈26.93，
答：CD的长为26.93米．
22．（16分）（2014•上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线． （1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔； （2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．
分析： （1）把A、B两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据η＜0，得出结论．
（2）联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得 （1﹣4k2）x2=1，根据此方程无解，可得1﹣4k2≤0，从而求得k的范围．
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（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线． （1）证明：把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1 可得（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0， ∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线 x+y﹣1=0分隔．
（2）解：联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得 （1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有 1﹣4k2≤0， ∴k≤﹣，或 k≥．
（3）证明：设点M（x，y），则 ①．
y轴为x=0，显然与方程①联立无解．
又P1（1，2）、P2（﹣1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有 η=1×（﹣1）=﹣1＜0， 故x=0是一条分隔线．
若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+（y﹣2）2]x2=1，可得[x2+（kx﹣2）2]x2=1， 令f（x）=[x2+（kx﹣2）2]x2﹣1， ∵f（0）f（2）＜0，
∴f（x）=0有实数解，即y=kx与E有公共点， ∴y=kx不是E的分隔线．
∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．
23．（16分）（2014•上海）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1． （1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；
（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围．
（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差． 分析：
（1）依题意：，又将已知代入求出x的范围；
（2）先求出通项：
，由
求出
，对q分类讨论求出Sn分
•|x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1
解答：
别代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围．
（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…ak的公差．
解答：
解：（1）依题意：∴
；又
，
∴3≤x≤27，
综上可得：3≤x≤6 （2）由已知得，∴
，
，成立．
，
，
当q=1时，Sn=n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即
当1＜q≤3时，
，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，
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∴
不等式
∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2=qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n=1， 得q2﹣3q+2≤0，
解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，
∴qn+1﹣3qn+2=qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）≤0成立， ∴1＜q≤2， 当
时，
，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，
∴此不等式即3q﹣1＞0，q﹣3＜0，
，
3qn+1﹣qn﹣2=qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，
qn+1﹣3qn+2=qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）＞0 ∴
时，不等式恒成立，
．
，且a1=1，
上，q的取值范围为：
（3）设a1，a2，…ak的公差为d．由得
即
当n=1时，﹣≤d≤2； 当n=2，3，…，k﹣1时，由所以d≥所以1000=k得k≤1999
所以k的最大值为1999，k=1999时，a1，a2，…ak的公差为﹣
．
，
，即k2﹣2000k+1000≤0，
，得d≥
，
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