饮酒驾车模型

【摘要】

本文针对酒后驾车人员血液中酒精含量是否符合驾车标准这一问题，详细分析了人体对酒精的吸收，以及吸收后的分解过程。并建立了一个反映体液中酒精含量随时间变化的基本模型，以便了解酒后不同时段，血液中的酒精含量有什么规律，对于酒后不同时段，根据数学模型来计算出血液中的酒精含量，针对《车辆驾驶人员血液、呼吸酒精含量阈值与检验》的国家标准，来给出酒后人员经过多长时间，才符合驾车标准。

本文参考药物在体内的分解模型，考虑胃与体液(血液看成是体液的一部分)之间的酒精渗透关系，主要考虑胃内酒精向体液的渗透，以及体液中酒精的分解，建立体液中酒精含量的微分方程，再通过体液中酒精含量与浓度之间的关系转换成关于体液中酒精浓度的微分方程。

我们知道酒精对人体的作用过程实际上类似于生物医学中的药用过程，针对饮酒方式的不同，本文将饮酒过程分成快速饮酒、某时间段内匀速饮酒和周期饮酒三种形式来讨论。并分别建立了快速饮酒、较长时间段内匀速饮酒以及周期次饮酒三种系统动力学模型，建模过程是将机理分析和测试分析相结合，先由机理分析确定方程形式，再由测试数据估计参数。接下来用常微分方程法对模型进行求解，用最小二乘法并借助于Matlab软件对数据进行了拟合，得到了酒精从肠胃进入血液的速率的比例系数k20.1855，血液中酒精被分解的速率的比例系数

k32.008，并通过参考数据和相关资料计算出该人的血液体积V46.67百毫

升，从而得到了血液中酒精含量与时间的函数关系，最后得到了模型的具体解，并且对题目所给出的问题做出了解答：

(1)大李在中午12点时喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合标准，接着又喝了一瓶酒，此时血液中的酒精浓度初值不为零，就很难说到凌晨2点不会违规了。 (2)短时间内快速饮酒后在11.58小时内驾车就会违反国家新标准；较长一段时间(2小时)内匀速饮酒后12.61小时内驾车也会违反国家新标准。

(3)在短时间内快速饮酒后1.3069小时血液中酒精含量达到最大值；而较长一段时间(2小时)内匀速饮酒在饮酒结束时即2小时血液中酒精含量达到最大值。 (4)如果天天饮酒，要想在一天之内还能够开车，那么每天饮酒的酒精摄入量必须小于7.7764105毫克就不会出现违规情况，可以驾车。

(5)最后，我们讨论了模型的优缺点，并结合新的国家标准写一篇关于司机如果何适量饮酒的一篇短文 。

【关键词】最小二乘法 微分方程 酒精 饮酒

1

一 问题重述

• 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。

• 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准。 • 驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车

• 血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车 • 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准 • 在吃晚饭时他又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？

• 问题1 对大李碰到的情况做出解释

• 问题2 喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述

标准，在下列情况下回答该问题： 1) ··· 酒是在很短时间内喝的；

2) ··· 酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的 • 问题3 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高 • 问题4 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车

• 问题5 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

二 问题假设

1. 假设整体过程中人没有摄入任何影响代谢的药类物质和做剧烈性运动。 2. 不考虑酒精进入体内随呼吸或汗液排出的量，及肠道细菌产生的酒精，只考虑饮入的酒全进入肠胃，再由肝脏等分解的过程。

3. 假设酒精从胃肠向体液的转移速度，与胃肠中的酒精浓度(或含量)成正比而与体液中酒精的浓度无关。

2

4. 假设体液中的酒精消耗(向外排出、分解或吸收)的速度，与体液中的酒精浓度(或含量)成正比。

5. 设人体血液和体液中酒精浓度相等,酒精进入血液后瞬间混合均匀。 6. 对问题一，假设大李在两次喝酒时都是将酒瞬时喝下去并立即进入胃肠中，没有时间耽搁。

7. 假设酒在很短的时间内喝完即将酒瞬时喝下去并立即进入胃肠中，没有时间耽搁。

8. 假设酒在较长一段时间内喝时是匀速喝下去的。

三 符号说明

p –––––––––所饮酒中含的酒精量； V –––––––––体液的体积；

x(t) ––––––––t时刻肠胃中的酒精含量： C(t) ––––––––t时刻血液中的酒精浓度； y(t) ––––––––t时刻血液中的酒精含量。 r1(t) –––––––饮入酒精的速率；

r2(t) –––––––酒精从肠胃内进入血液的速率；

k2––––––––––酒精从肠胃进入血液的速率的比例系数；

r3(t) –––––––血液中酒精被分解的速率；

k3 –––––––––血液中酒精被分解的速率的比例系数。

四 问题分析与模型建立

由科学知识知道，酒精无需经过消化系统就可被肠胃直接吸收。酒进入肠胃后，进入血管，饮酒后几分钟，迅速扩散到人体的全身。酒首先被血液带到肝脏，在肝脏过滤后，到达心脏，再到肺，从肺又返回到心脏，然后通过主动脉到静脉，再到达大脑和高级神经中枢；同时人体本身也能合成少量的酒精。因此一个人的血液中酒精含量取决于他的饮酒量、体内原有的酒精含量以及喝酒方式等。酒精可通过各种途径离开机体（排泄），即吸收、分布、代谢和排泄过程,酒精从肠胃（含肝脏）向体液转移情况可用图1直观地表示。

3

r1(t) 肠胃 r2(t) 血液 r3(t)

图1

虽然酒精在体内的分布状况复杂，但酒精的吸收、分解等则都在系统内部进行，酒精进入人体后，经一段时间进入血液，进入血液后，当在血液中达最高浓度时，随后开始消除，把酒精在体内的代谢过程看为进与出的过程，这样便会使

dy问题得到简化，即单位时间内血液中酒精的改变即变化率就等于酒精输入速

dt率与输出速率之差，又因为酒精的转移或消耗速率与肠胃或血液中的酒精含量成正比，因此根据假设可建立以下基本模型I0：

dxdtr1(t)r2(t)dydtr2(t)r3(t) r(t)kx(t)22r3(t)k3y(t)从生物学可知，酒类进入人体后，胃及血液中酒精随注入酒精速率、浓度、

时间等不同产生不同的代谢速率。下面根据饮酒速率及方式的不同建立三种实用模型。

模型一：短时间内快速饮酒模型

在基本模型的基础上，由短时间快速饮酒的特点可得出初始值：r1(t)0，

x(0)p,y(0)0，将其代入基本模型I0可得模型I1

dxk2x(t)dt, dyk2x(t)k3y(t)dt解得方程的解为

x(t)pek2ty(t)k2p(ek2tek3t)k3k2，

此时血液中的酒精浓度为C(t)k2pk2p(ek2tek3t)，令A，则

(k3k2)V(k3k2)VC(t)A(ek2tek3t)，根据附录一数据表通过Matlab进行曲线拟合可得：

4

A114.4，k20.1855，k32.008，即C(t)114.4(e0.1855te2.008t)，用Matlab软件画出图形如图二。

8070605040302010C vs. tfit 1246810121416

图二

由于某人体重为70kg，血液占体重的7%左右，查资料可知人体血液的密度为1.05mg/ml，所以可得该人的血液的总体积

Vk2p707%1000，可求出该人喝4667ml46.67百毫升，根据A(k3k2)V1.05下2瓶啤酒所含酒精量

AV(k3k2)114.446.67(2.0080.1855)p25.25104mg。

k20.1855模型二：一定时间内（T小时）慢速饮酒模型

由于在两小时内慢速喝酒有多种方式，为了便于计算我们考虑为匀速饮入等量酒精，即在时间T内匀速吸收酒精,设饮酒速度恒定为r0, 假设人的酒精含量未达到平衡状态，随着人体喝酒次数增多，血液中酒精浓度逐渐升高，T时刻后酒精含量就会逐渐减小，因此由模型I0可得模型I2

dxdtr0k2x(t)， dyk2x(t)k3y(t)dt当0tT时，肠胃中的酒精含量x(t)

5

r01ek2tk2，血液中的酒精含量为

kry(t)20k3k21ek2t1ek3tkk32k2r01ek2t1ek3t； k，浓度为C(t)y(t)(kk)Vk3322r0k2Tk2tTx(t)1ee当tT时，肠胃中的酒精含量，血液中的

k2r0ek2T1k2tr0ek2T1k2tk3t酒精含量y(t),酒精浓度为C(t) eeeek3t。

k3k2(k3k2)V模型三：周期次饮酒模型

设每次喝酒相隔时间相同为T，每次喝酒量也相同，所含酒精量为p，即第一次饮酒T小时之后再次饮入p。

当t0时，r1(t)0，x(0)p,y(0)0，由模型一可得

x(t)pek2ty(t)k2p(ek2tek3t) k3k2当tT时，再次饮入p，此时x(T)由p突变为p(1ek2T)，可得

x(t)p(1ek2T)ek2t

y(t)k2p1ek2Tek2tek3t

k3k2依此类推，当tnT时，再次饮入p，最终可解得

1e(n1)k2Tk2Tnk2Tk2tk2tx(t)p(1ee)epe1ek2T k2p(1e(n1)k2T)k2ty(t)eek3tk2T(k3k2)(1e)k2p(1e(n1)k2T)k3tk2t血液中的酒精浓度C(t) eek2T(k3k2)(1e)V当n时，C(t)k2pek2tek3t，如果我们需要血液中k2T(k3k2)(1e)V酒精浓度接近c0时，就近似的有c0k2pk3tk2tee(k3k2)(1ek2T)V，如

6

(k3k2)(1ek2T)Vc0果间隔时间T确定，那么饮入酒精量可由p来确定。 k3tk2teek2问题一

假设大李第一次喝酒是在短时间内喝的，根据所建立模型，可知人体中血液中的酒精含量与时间的函数关系式如下：

C(t)k2p(ek2tek3t)

(k3k2)V根据模型一的求解可得A114.4，k20.1855，k32.008，V46.67，

p1p22.62104mg，当t6时，可以求得C(t)18.794毫克/百毫升，小于2国家规定的新标准，所以第一次遭遇检查时没有被认定为是饮酒驾驶，血液中的酒精浓度随时间变化的图形见图三，解题程序见附录二。

酒精浓度C(t)/毫克/百毫升4540353025201510500246810121416时间t/小时

图三

假设大李下午六点第二次喝酒也是短时间内喝的，此时可以根据模型三来求解，即T6，n1，可得血液中的酒精含量

y(t)k2p1e6k2ek2tek3t

k3k2 7

则血液中的酒精浓度C(t)k2p1e6k2ek2tek3t，到凌晨2点驾车时，

(k3k2)Vt1468小时，并且代入数据k20.1855，k32.008，p2.62104，V46.67，可求得C(t)20.72毫克/百毫升，因此，第二次检查时被认定为饮酒驾车。

问题二

1)酒是在很短时间内喝的，符合模型一，此时三瓶啤酒的含酒精量为

p32.6210437.86104mg，要求驾车不会违反国家标准的时间，即要保证

血液中的酒精浓度C(t)20毫克/百毫升，根据Ak2p可求出A171.6，

(k3k2)V求出满足A(ek2tek3t)20的时间t即可，即171.6(e0.1855te2.008t)20，解得

t11.58小时，即短时间内和三瓶啤酒在11.58小时内驾车就会违反国家标准。

2)酒是在较长一段时间(2小时)内喝的，符合模型二。此时，喝酒的速率为

p32.621043r03.93104mg/h，tT时，血液内酒精浓度含量为

22r0ek2T1k2tC(t)eek3t

(k3k2)V3.93104e0.1855210.1855tee2.008t20 即

(2.0080.1855)46.67解得t12.61，并且通过计算可得当t5.14小时时，血液中酒精浓度达到80毫克/百毫升。因此，在较长一段时间喝三瓶酒，经过5.14小时后，血液内酒精浓度大于80毫克/百毫升，属于醉酒驾车；经过12.61小时后，血液内酒精浓度大于20毫克/百毫升，属于饮酒驾车，如图四，其解题程序见附录三。

8

酒精浓度C(t)毫克/百毫升120100806040X: 12.6Y: 20.0520时间t小时02468101214161820

图四

问题三

1)就是在短时间内喝的

由模型一可知酒精浓度最大值出现的时间是使

tdc0时t的值，即dtlnk3lnk2ln2.008ln0.1855

k3k22.0080.1855解得t1.3069小时，即短时间内喝酒时，体液中酒精浓度达到最大的时刻为

1.3069小时。

2)酒是在较长时间(2小时)内喝的

由模型二可知当0tT时，血液中的酒精浓度

k2r0C(t)y(t)(k3k2)VC(t)1ek2t1ek3tkk32，求导得

k2r0(ek2tek3t)，由于k3k2知C(t)0，因此血液中的酒精浓

(k3k2)V度不可能在(0,T)内达到最大值。

r0ek2T1k2t当tT时，C(t)eek3t(k3k2)V，对c(t)求导得：

lnk3lnk2r0ek2T11.30692，C(t)(k3ek3tk2ek2t)，当C(t)0时，tk3k2(k3k2)V 9

所以tT时，C(t)0，即体液中的酒精浓度不可能在t>T时达到最大值。

综上所述，长时间喝酒时，血液中的酒精含量当喝酒结束时达到最大值。所以当酒时间是2个小时时，在第2小时时含量最高。 问题四

如果天天喝酒，符合模型三周期次饮酒模型，即喝酒周期T24，要想

(k3k2)(1ek2T)Vc0在一天之内能够开车，即t24，由模型三p可求得k3tk2teek2t24，c020毫克时，p7.7764105毫克，即如果想天天喝酒还能开车，那么每天饮酒的酒精摄入量必须小于7.7764105毫克就不会出现违规情况，可以驾车；

6取c080时，p3.110610毫克，即饮酒导致酒精摄入量大于3.110610毫克

6时就会出现醉酒驾车情况，就不能驾车，当每天饮酒导致酒精摄入量为

7.7764105p3.1106106毫克时，就会出现饮酒驾车情况。

问题五

给想喝点酒的司机如何驾车的忠告

酒后驾车危害多

———给想喝点酒驾车的司机们的忠告

俗语说：“美酒佳肴”美酒自古以来对人的诱惑从未衰减。多少人因贪杯而命丧黄泉。据统计，酒后驾车发生事故的比率为没有饮酒情况下的16倍，几率高达27％，为了你的安全，请你注意以下信息。 一.人的健康饮酒量

肝脏处理酒精的能力，按体重每公斤每小时计算可处理0.125ml。体重为70公斤的人1小时能处理8.75ml，即相当于能处理清酒约60毫升，啤酒约200ml，威士忌酒约20ml。现在综合对酒的处理能力与免疫学调查，可以得出以下结论： 健康的安全性饮纯酒量每日为50ml以内，有害量是每日100ml，危险量是每日150ml以上。

二.过量饮酒对人体的危害

饮酒驾车，是造成交通事通行证的重要原因之一，酒精被胃、肠吸收后深于血液当中，当血液中酒精浓度达到一定程度时，中枢神经系统活动逐渐迟钝，

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致使大脑判断发生障碍，手脚迟钝不灵活，甚至丧失操作能力。

1.在血液中，酒精含量在0.5-2mg/毫升时，造成微醉。表现为脸红、话多、反应迟钝、做事不顾后果，但尚未忘记自我。

2.酒精含量在2-3mg/毫升时，造成轻醉。表现为言语不清、哭笑失常。 3.酒精含量在3-4mg/毫升时，造成深醉。表现为腿脚发软，动作失调，陷入

麻痹状态。

4.酒精含量在4-5mg/毫升时，造成泥醉。表现为陷入昏睡状态，四肢无力，甚至造成大小便失禁，呼吸困难，最终可能导致死亡。

虽然饮酒驾车危害甚多，但并不是说一点都不能喝酒。甚至还可以天天喝，但一定要注意控制自己的饮酒量和出车时间，结合上面的信息，注意以下几点，想喝一点酒的司机们也能过一把酒瘾。

1.如果你想每天即饮酒又驾车，而又不违规，请你一定记住你每天涉入的酒精量不要超过20000毫克。

2.一次性饮酒的酒精量越大，到达标时的时间会越长，所以你等待时间的长短应根据你饮酒量的多少而定。比如说一次饮一瓶啤酒，大约6个小时后酒精含量就可达标；一次性喝2瓶啤酒，大概要等9.5小时后才能达标；而一次性喝3瓶啤酒，则大概要等12小时后才能达标。

3.连续饮酒次数越多，每次间隔时间应越长。以第一题为例，第一次饮啤酒一瓶，过六个小时达标，但第二次饮同样多的酒，同样再过六个，酒精含量增加到27毫克/百毫升，要使第二次饮酒后，不超标，则至少应在7.5小时后再驾车。

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五、模型的评价与改进

5.1模型的优点

1.综合运用MATLAB软件，准确求解，在运用MATLAB进行数据拟合时，得到了较理想化的曲线。在表示喝三瓶啤酒的人什么时候是饮酒驾车，什么时候是醉酒驾车时，运用MATLAB准确的做出了函数据图像，使结果一目了然。

2.本模型从三种情况分别建立模型，模型稳定性高，适用性强。 3.本模型计算步骤清晰，引用了医药动力学的二室模型进行计算，可靠性较高

4.从问题出发，分析了应该考虑的各种情况，建立了一般的数学模型，并进行实例验证，从而证明我们建立的数学模型可以较好的解决实际问题。

5.此模型具有极为广泛的应用性，对每一个具体的情况，都可以通过模型求解。

5.2模型的缺点

1.本文的模型参数仅是依靠题中给出的一组数据拟合求解得出，可能有一点偏差。

2.模型为使计算简便，使所得的结果更理想化，忽略了一些次要的因素。如：酒进入身体后随着血液流动，人体对酒精的吸收率是随时间变化的，而本模型是在吸收率恒定的情况下，进行求解的。对于这些问题，由于时间关系本模型还未能更好的研究，有待以后的改进和完善。 5.3模型的改进

由于人体内部的复杂性，及各器官对酒精转化的多样性，用一室或二室都较为初级，三室或多室的情况模型更准确，但考虑起来会很复杂，又由于短期收集资料的局限，实行起来较为困难，可留着时间充裕时考虑。

六、模型的推广

我们建立模型的方法和思想可以推广到其它类似的问题。本文所建立的模型不仅估算出了t时刻人体内的酒精含量，而且还能给饮酒驾车的司机们如何饮酒提供一些理论参考。又如：现在有些感冒药对人的大脑有刺激作用，当其血药浓度高于某标准的时候就不能进行驾车等一系列安全操作，于是我们也可以用此模型的研究结论来对其相关问题进行分析。

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参考文献

[1] 卓先义.血中酒精消除速度与浓度推算关系的研究

[2]中华医学网.健康常识. http://www.medicinecn.net/jkcs.htm,2004-9-19 [3] 张双德.医用高等数学.天津：天津科学技术出版社，1999-8

[4] 萧树铁.大学数学实验.北京：高等教育出版社，1999-7，199-2001 [5]王沫然.MATLAB6.0与科学计算.北京:电子工业出版社,2000 [6]姜启源.数学模型，第三版.北京：高等教育出版社

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附录一

时间(小时) 0.25 0.5 0.75 酒精含量 30 68 75 时间(小时) 6 7 8 酒精含量 38 35 28

附录二

程序 t=0:0.1:16;

C=0.1855*26200/(2.008-0.1855)/46.67*(exp(-0.1855*t)-exp(-2.008*t)); plot(t,C) grid on

gtext('时间t/小时')

gtext('酒精浓度C(t)/毫克/百毫升')

1 82 9 25 1.5 82 10 18 2 77 11 15 2.5 3 3.5 68 68 58 12 13 14 12 10 7 4 4.5 5 51 50 41 15 16 7 4

附录三 程序

t=0:0.1:20;

A=39300*(exp(0.1855*2)-1)/(2.008-0.1855)/46.67; C=A*(exp(-0.1855*t)-exp(-2.008*t)); plot(t,C,'r') grid on

gtext('时间t/小时')

gtext('酒精浓度C(t)/毫克/百毫升')

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