久期与凸度-固定收益答案

1、已知一种息票利率为6%的债券每年付息,如果它离到期还有3年且到期收益率为6%,求该债券的久期.如果到期收益率为10%,久期又为多少？

答：题目没说债券面值,则默认为1000.当到期收益率=6%时,计算过程如下： 时间 1 2 3 小计 现金流 60 60 1060 1060 现金流的现值 56.603774 53.399786 889.99644 1000 现值乘时间 56.603774 106.79957 2669.9893 2833.3927 久期=2833.39/1000=2.833 年. 当到期收益率=10%时, 时间 1 2 3 小计 现金流 60 60 1060 1060 现金流的现值 54.545455 49.586777 796.39369 900.52592 现值乘时间 54.545455 99.173554 2389.1811 2542.900 久期=2542.90/900.53=2.824 年.

2、把下列两类债券按久期长短排序.

a. 债券A：息票利率8%,20年到期,按面值出售；债券B：息票利率8%,20年到期,折价出售. b. 债券A：不可赎回,息票利率8%,20年到期,按面值出售；债券B：可赎回,息票利率9%,20年到期,也按面值出售. 答：两者均为A大于B.

a.债券B的到期收益率高于债券A,因为它的息票支付额和到期期限等于A,而它的价格却较低,因此,它的久期更短.

b. 债券A的收益率更低,息票率也较低,两者都使得它比B的久期更长.而且,A不可赎回,这将使得它的到期期限至少与B一样长,也使得久期随之增加.

3、一保险公司必须向其客户付款.第一笔是1年支付1000万元,第二笔是5年后支付400万元.收益率曲线的形状在10%时达到水平.

a. 如果公司想通过投资于单一的一种零息债券以豁免对该客户的债务责任,则它购买的债券的期限应为多久？

b. 零息债券的市场价值是多少？ t 1 5 CF 1000 400 PV 909 248 1157 w 0.786 0.214 1.0 w×t 0.786 1.070 1.856 a.零息债券的久期为1.856 年

b.零息债券的市场价值应为1157 万元,与债务的市场价值相等,因此,面值: 4、a. 对拟定发行的债券附加赎回条款对发行收益有何影响？ b.对拟定发行的债券附加赎回条款对其久期和凸度有何影响？

a.1〕提供了较高的到期收益率,因为赎回的特性给发行人提供了一个有价期权,因为它可以按既定的赎回价格将债券买回,即使计划中的利息支付的现值比赎回价格要高.投资者因此会要求,而发行人也愿意支付一个较高的收益率作为该特性的补偿.

〔2〕减少了债券的预期有效期.利率下降,债券可被赎回；利率上升,债券则必须在到期日被偿付而不能延后,具有不对称性.

1 / 7

〔3〕缺点在于有被赎回的风险,也限制了利率下降导致的债券价格上涨的幅度,对价格收益率曲线影响体现在价格压缩.

b.附加赎回条款后如果利率下降,则债券不会经历较大的价格上升.而且作为普通债券的特征的曲率也会因赎回特性而减小.使其久期下降,小于其他方面相同的普通债券的久期.可以看成零息债券,久期即为赎回债券时所经历的期限.对其凸度的影响体现在一个负凸性区间的存在.

5、长期国债当前的到期收益率接近8%.你预计利率会下降,市场上的其他人则认为利率会在未来保持不变.对以下每种情况,假定你是正确的,选择能提供更高持有期收益的债券并简述理由.

a. i. 一种Baa级债券,息票利率8%,到期期限20年； ii. 一种Aaa级债券,息票利率8%,到期期限20年.

b. i. 一种A级债券,息票利率4%,到期期限20年,可以按105的价格赎回； ii. 一种A级债券,息票利率8%,到期期限20年,可以按105的价格赎回； c. i. 长期国债,息票利率6%,不可赎回,20年到期,YTM=8%； ii. 长期国债,息票利率9%,不可赎回,20年到期,YTM=8%. 答：根据久期判断,选择久期较长的债券,可以在利率下降中获益. a. Aaa级债券的到期收益率较低而久期较长.

b. 息票率较低的债券久期较长,具有更多的赎回保护. c. 选择息票率较低的债券,因为它的久期较长. 6、以下问题摘自CFA试题：

1〕一种债券的息票利率为6%,每年付息,调整的久期为10年,以800元售出,按到期收益率8%定价.如果到期收益率增至9%,利用久期的概念,估计价格会下降为： a. 76.56元 b. 76.92元 c. 77.67元d. 80.00元

2〕一种债券的息票利率为6%,半年付息一次,在几年内的凸性为120,以票面的80%出售,按到期收益率8%定价.如果到期收益率增至9%,估计因凸性而导致的价格变动的百分比为： a. 1.08% b. 1.35% c. 2.48% d. 7.35% 3〕有关零息债券的麦考利久期,以下说法正确的是： a. 等于债券的到期期限.

b. 等于债券的到期期限的一半.

c. 等于债券的到期期限除以其到期收益率 d. 因无息票而无法计算.

4〕每年付息的债券,息票利率为8％,到期收益率为10％,麦考利久期为9.债券的修正久期为：

a. 8.18 b. 8.33 c. 9.78 d. 10.00 5〕债券的利率风险会：

a. 随到期期限的缩短而上升； b. 随久期的延长而下降； c. 随利息的增加而下降； d. 以上都不对.

6〕以下哪种债券的久期最长？ a. 8年期,息票利率6％； b. 8年期,息票利率11％；

2 / 7

c. 15年期,息票利率6％；

d. 15年期,息票利率11％.

7、当前债券市场期限结构如下：1年期债券收益率7%,2年期债券收益率8%,3年期以上的债券收益率9%.一位投资者从1年、2年、3年期债券中选择,所有债券的息票利率均为8%,每年付息.如果投资者深信在年末收益率曲线的形状会在9%时达到水平,则投资者会购买哪种债券？ 3年期债券；由于年末收益率变为9%,对3年期债券不受影响,而1,2年期债券影响较大,价格下降,到期收益率低于预期.

8、菲力普公司发行一种半年付息的债券,具有如下特性：息票利率8％,收益率8％,期限15年,麦考利久期为10年. a. 计算修正久期；

b. 解释为什么修正久期是测度债券利率敏感性的较好方法； c. 确定做以下调整后久期变动的方向： i. 息票利率为4％,而不是8％； ii. 到期期限为7年而不是15年.

d. 确定凸度,说明在给定利率变化的情况下,修正久期与凸度是怎样用来估计债券价格变动的.

答：a. 调整后久期=麦考利久期/ <1+YTM>

如果麦考利久期是10年,到期收益率为8%,则调整后的久期等于10/1.08= 9.26年.

b. 对于无期权的息票债券而言,调整后久期是债券对利率变动敏感性的更高的测度标准.到期期限仅考虑了最后的现金流,而调整后的久期还包括了其他的因素,如息票支付的规模,时间以与利率<到期收益率>水平.调整后的久期,不像到期期限,它告诉我们对于给定的到期收益率的变动,债券价格的大致变动比例. c. i. 调整后久期随着息票利率的下降而上升. ii. 调整后久期随期限缩短而减小.

d. 凸度测度债券的价格-收益率曲线的曲率.这一曲率表明对于债券价格变动的<仅以最初的收益率曲线的斜率为基础>久期法则仅是估计值.加入一个表示债券的凸度的项目将增加这一估计值的精确度.凸度调整表示下列等式中最后的一项,即平方项的一半. 9、在今后的两年内每年年末你将支付10000元的学费开支.债券即期收益率为8%. a. 你的债务的现值与久期各是多少？

b. 期限为多久的零息债券将使你的债务完全免疫？

c. 假定你购入一零息债券使其价值与久期完全等于你的债务.现在假定利率迅速上升至9%.你的净头寸将会如何变化,即债券价值与你的学费债务的价值之间的差额是多少？ 答：a. 债务的PV=10000美元×年金系数< 8%,2>= 17832.65美元 久期=1.4808年.

b. 要使我的债务免疫,我需要一到期期限为1.480 8年的零息债券.因为现在的价值必须为17832.65 美元,面值<即未来的赎回价>为17832.65×1.08

1.4808或19985.26 美元.

14808c. 如果利率上升到9%,零息债券价值下降为19985.26美元/ 1.09=17590.92 美元

学费债务的现值下降为17591.11美元.净头寸下降0.19美元.如果利率下跌到7%,零息债券 升值19985.26 美元/ 1.0

14808=18079.99美元,学费债务的现值上升为18080.18美元.净头寸下

降0 . 1 9美元.净头寸变化的理由在于随着利率变动,学费支付后现金流的久期也变动.

3 / 7

10、对一个持有长期资产却靠浮动利率债券来融资的公司而言,应持有哪种利率互换？

答：不好说,视公司所持有的长期资产的本质特性而定.如果这些资产的收益率随着短期利率变动而变动,则采取利率互换是不适当的.但是,如果长期资产是诸如固定利率抵押贷款之类的固定利率的金融资产,则利率互换可能会减少风险.在这种情况下,公司将把它的浮动利率债券债务换成一固定利率的长期债务. 11、一公司发行了1000万元面值的浮动利率债券,其利率是LIBOR加1%,该债券以面值出售.企业担心利率会上升,因此想将其贷款锁定在某一固定利率上.公司知道在互换市场上交易商提供LIBOR和7%固定利率的互换,什么样的利率互换可以使该公司的利息债务转换成类似综合型固定利率贷款的债务？对该债务支付的利率是多少？ 答：选择利率互换协议；支付7％的固定利率即可.协议中同时收回LIBOR 利率,名义本金为1000 万元,总支付额为：1000万元8%=80万元 债券的利息支付 来自互换的净现金流 总计 LIBOR＋0.01 0.07－LIBOR 0.08 12、现在是2004年.你是一养老基金的债券资产组合的经理,基金的政策允许在管理债券资产组合时采用积极的策略.

经济周期看来正进入成熟期,通胀率预计会上升,为了抑制通胀,中央银行开始采取紧缩的政策.在以下各种情况下,说明你会选择两种债券中的哪一种.

a. 加拿大政府债券〔加元支付〕,息票利率10%,2007年到期,价格为98.75元,到期收益率为10.5%；

加拿大政府债券〔加元支付〕,息票利率10%,2015年到期,价格为91.75元,到期收益率为11.19%.

b. 得克萨斯电力公司债券,息票利率7.5%,2008年到期,AAA级,价格为85元,到期收益率为10.02%；

亚利桑那公共服务公司债券,息票利率7.45%,2008年到期,A－级,价格为75元,到期收益率为12.05%

c. 爱迪生联合公司债券,息票利率2.75%,2006年到期,Baa级,价格为61元,到期收益率为12.2%；

爱迪生联合公司债券,息票利率15.37%,2006年到期,Baa级,价格为114.4元,到期收益率为12.2%.

d. 壳牌石油公司,息票利率8.5%的偿债基金债券,2024年到期,AAA级〔偿债基金于2008年9月按面值开始〕,定价为68元,到期收益率为12.91%；

华纳-蓝伯特公司,息票利率8.87%的偿债基金债券,2024年到期,AAA级〔偿债基金于2013年4月按面值开始〕,定价为74元,到期收益率为12.31%.

e. 蒙特利尔银行〔加元支付〕的利率8%的定期存单,2007年到期,AAA级,定价100元,到期收益率为8%； 蒙特利尔银行〔加元支付〕的浮动利率债券,2012年到期,AAA级,当前息票利率为7.1%,定价100元〔利率每半年根据加拿大政府3个月国库券利率加0.5%进行调整〕. 13、新发行的10年期债券,息票利率为7%,每年付息,按面值出售. a. 该债券的凸性和久期是多少？

b. 假定其到期收益率由7%升至8%〔期限仍为10年〕,求债券的实际价格. c. 根据久期法则估算的价格是多少？这一方法的误差百分比是多少？

d. 根据久期－凸性法则估算的价格是多少？这一方法的误差百分比是多少？

4 / 7

答：a.凸性：63.736；久期：D1.07/0.07[1(1/1.07)]7.515年；

b.如果到期收益率上升到8%,债券价格下跌到面值的93.29%,下降百分比为6.71%

14、长期债券价格波动性大于短期债券,但是短期债券的到期收益率的变动要大于长期债券.你怎样说明这两个经验观察是一致的？

答：利率变动对长期债券影响大,因为长期债券的久期大于短期债券的久期.而且短期债券对利率不是很敏感,所以价格不会大幅波动.如果利率上升10基点,长期债券的价格下降幅度要大于短期债券的幅度.从另一角度讲,两者都有利息回报,可以进行再投资收益.但短期债券的价格受资金的影响更大.

15、固定收益型资产组合经理要求现值100万元的投资经过5年的投资年收益率不得低于3％.3年后,利率为8％,则届时投资的临界点是多少？即经理将不得不进行免疫以确保获得最低可能的收益之前,资产组合价值会跌至多少？

基金经理愿意接受的最小终值由初始投资的每年3%的收益率决定.因此,下限等于

10D100(1.03)5116万美元.初始投资3年后,只剩下2年,此时基金经理需要价值

116/1.08299.4万美元的资产组合以确保其目标价值可以实现,此为临界点.

16、30年期债券,息票利率为7％,每年付息,现价为867.42元.20年期债券,息票利率为6.5％,每年付息,现价为879.50元.债券市场分析家预测5年后,25年期的债券将以到期收益率8％的价格出售,而15年期债券将以7.5％到期收益率的价格卖出.5年内哪种债券的预期收益率更高？

答：30年期债券,从第6年末到30年末支付的现值〔在第5年年初〕为： 从开始到第5年的5次支付在第5年年初的终值PA2701.06t15t1394.60

因此总收入：PAPA1PA2893.25394.601287.85 5年的收益为1287.85/867.621.485,年均1.4851/518.23%；20年期债券：

PB911.73366.411278.14,收益为1278.14/879.501.453,年均7.76%

17、你的公司DNC,将接受一家大型捐赠基金的投资委员会的面试,看是否有能力管理价值1亿元的指数化的固定收益型资产组合.因为该委员会尚未决定使用三种指数中的哪一种作为他们的投资基准,此次面谈的重点即在于此.有关三种指数的信息如下表,另外,DNC公司知道委员会已经采纳了一项长期的且具有高出平均风险承受力的积极的总体投资政策.

在过去的几年中,利率水平与其波动性不断下降.委员会相信这一趋势仍会持续,并且正在深入考察关于指数化资产组合在各种不同的利率条件下的可能业绩. 名称 美国财政部 美国公司代理机构 投资级

各部门综合信息 指数1 50 10 10

指数2 50 10 10 5 / 7

指数3 80 10 5

低于投资级 住房抵押 扬基债券 总计 修正久期指标 到期收益率指标

5 20 5 100 5.0 7.50

5 25 0 100 8.0 8.05

0 5 0 100 8.0 8.00

两种情景是：

i. 利率普遍降低,但同时伴随着不断上升的风险. ii. 利率自始至终一直不变,但风险一直很高.

a. 根据表中数据,将三种指数按在两种情景下相对的吸引力程度排序,并说明你的理由.

b. 推荐一种指数作为委员会使用的基准资产组合并说明理由,考虑你对a的答案与你从委员会的投资策略中所获得的信息.

c. 假定委员会已经选定了一种指数作为基准,DNC公司被任命构建和管理该指数化资产组合.试说明构建指数化固定收益型资产组合有关的实际问题.试找出两种构建资产组合的方法并简述之,并讨论每种方法的优劣. a.第一种情况：1>3>2; 第二种情况：2>3>1 b.选1

c.可能存在种类的变化；包括的种类过多,按市值比重购买难度大,耗时耗力；流动性问题,可能有些不易买卖.

18、作为你对W公司发行的债券分析的一部分,需要对下表所示的两种特定债券作出评估.

项 目 到期期限 息票利率〔%〕 当期价格/元 到期收益率〔%〕 修正久期/年 回购日 回购价格/元 回购收益〔%〕 修正回购久期/年

W公司的债券信息 债券A〔可回购〕 2014 11.50 125.75 7.70 6.20 2008 105 5.10 3.10

债券B〔不可回购〕 2014 7.25 100.00 7.25 6.80 － － － －

a. 根据表中的久期与收益情况,比较两种债券在以下两种情况下的价格和收益情况： i. 强有力的经济复苏同时伴随着高通胀预期； ii. 经济衰退与低通胀预期.

b. 根据表中的信息,如果债券B到期收益率下跌75个基点,计算它预期的价格变动. c. 试论述在分析债券A时严格限定为持有到回购日或到期日的缺陷. 答：a.i.债券收益率与利率很可能上升,债券价格将下降,可赎回债券被赎回的概率下降,更类似与不可赎回债券.它们在按到期期限定价时久期相同,可赎回债券稍低久期的特性使其在高利

6 / 7

率下表现更好；

ii.债券收益率与利率很可能下降,而债券价格将上升,可赎回债券可能被赎回,相应久期计算调整回赎回时.稍低的久期表明,价格的增值是有限的.但不可赎回债券调整后的久期相同,具有更高的价值增值. b.6.80（-0.75%）=5.1%,因此价格将上升到105.1元

c.对于可赎回债券来说,债券有效期与现金流不确定.如果忽略赎回,在到期期限上分析,所有关于久期和收益率计算将不可靠.因为久期偏高,所以收益率也偏高.

另外,如果从看涨期权出发,债券超过赎回价格的溢价使得久期偏短,从而导致收益率下降. 使用期权定价方法,可赎回债券分解成两种独立债券,一个不可赎回债券和一份期权.

可赎回债券价格=不可赎回债券价格—期权的价格,由于赎回债券期权有正的价值,因此可赎回债券价格小于不可赎回债券.

7 / 7