习题解答

2-1．什么是信号？信号处理的目的是什么？

2-2．信号分类的方法有哪些？

2-3．求正弦信号xtAsint的均方值x。

2解：

1T21T22xtdtAsintdtT0T022T222T21cos2t2AsintdtAdt 00TT222TsinTA2AT4422xA2也可先求概率密度函数：p(t)则：xp(x)dx。

222Ax12x2

2-4．求正弦信号xtAsin(t)的概率密度函数p(x)。

xdt1,Adx1Ax1()2A1解： tarcsinAx22

代入概率密度函数公式得：

p(x)limt12dt12limx0xx0TdxTTA2x2

21222A2x2Ax

x

1 / 15

-T

t

-T1

T1

T

2-5．求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱

解 在x(t)的一个周期中可表示为

1x(t)0tT1T1tT2

该信号基本周期为T，基频0=2/T，对信号进行傅里叶复指数展开。由于x(t)关于t=0对称，我们可以方便地选取-T/2≤t≤T/2作为计算区间。计算各傅里叶序列系数cn 当n=0时，常值分量c0：

2T1T1c0a0dt1

TT1T当n0时，

cn1TT1T1ejn0tdt1jn0Tejn0tT1T1

最后可得

ejn0tejn0tcnn0T2j2

注意上式中的括号中的项即sin (n0 T1)的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数cn可表示为

cn2sin(n0T1)2sinc(n0T1)，n0

n0TT其幅值谱为：cn

2T1sinc(noT1)，相位谱为：n0,,。频谱图如下： TCn2T1/T00/T1Cn2T1/T/T100n02 / 15 

2-6．设cn为周期信号x(t)的傅里叶级数序列系数，证明傅里叶级数的时移特性。 即：若有

FSxtcn

FSj0t0则 xtt0ecn

证明：若x(t)发生时移t0（周期T保持不变），即信号x(t- t0)，则其对应的傅立叶系数为

'cn1j0txtedt TT令tt0，代入上式可得

'cn1j0(t0)xedTT1ej0t0xej0d

TTej0t0cn因此有

FSxtt0ej0t0cnej(2/T)t0cn

FSxtt0ej0t0cnej(2/T)t0cn

同理可证

证毕！

2-7．求周期性方波的（题图2-5）的幅值谱密度 解：周期矩形脉冲信号的傅里叶系数

Cn2T11Tjn0tedtsinc(n0T1) T1TT则根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有

X()22T1sinc(n0T1)(n0) nT3 / 15

此式表明，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个离散脉冲序列，集中于基频0以及所有谐频处，其脉冲强度为4T1/T0被sinc(t)的函数所加权。与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是幅值谱密度。

2-8．求符号函数的频谱。

1解：符号函数为 x(t)10t0t0 t0可将符号函数看为下列指数函数当a0时的极限情况

eat解 x(t)sgn(t)ateXft0 t00xtej2ftdtlimeat.ej2ftdteat.ej2ftdta0011lim a0aj2faj2fjf1jf2-9．求单位阶跃函数的频谱：

解：单位阶跃函数可分解为常数1与符号函数的叠加，即

t01S(t)1/2t0

0t0(t)所以：

11sgn(t) 2(f)(f)2jf

2-10．求指数衰减振荡信号x11teatsin0t的频谱。

4 / 15

1atX()esin0tejtdt201(aj)tesin0td 解：

20jsin0t(ej0tej0t)21j(ajj0)tX()()ee(ajj0)tdt2201j11() 22(aj)j0(aj)j00122(aj)20

2-11．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的频移特性 即：若 xtXf

FT则 xtej2f0tFTXff0 i2f0t证明：因为 F[e又因为 xte

](ff0)

j2f0tFTXf0*F[ei2f0t]

FTxtej2f0tXf0*(ff0)Xff0

证毕！

2-12．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的共轭和共轭对称特性 即：若 则 xtX*FT*FTxtXf

f

式中x*(t)为x(t)的共轭。

证明： xtX(f)ej2ftdf

5 / 15

Xfx(t)ej2ftdt 由于

x*(t)ej2ftdt**上式两端用 -f 替代 f 得

X*fx*(t)ej2ftdt

上式右端即为x*(t)的傅里叶变换，证毕！

特别地，当x(t)为实信号时，代入x*(t)= x(t)，可得X(f)共轭对称，即

XfX*f

2-13．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的互易性 即：若 xtXf

FT则 Xtxf

FT证明：

由于 x(t)

以 -t 替换 t 得

X(f)ej2ftdf

xtX(f)ej2ftdf

上式 t 与 f 互换即可得

xfX(t)ej2ftdt

即 Xtxf 证毕。

特殊情况,当xt为偶函数时，

FTXtxf

2-14．用傅里叶变换的互易特性求信号g(t)的傅里叶变换G(f)，g(t)定义如下：

gt2 1t2且已知

6 / 15

x(t)eatFTX(f)2aa22f2

解：当a=2，不难看出g(t)与X(f)非常相似。代入a=2，根据傅里叶变逆换有

e2t221j2ftedf2222f22j2ft1f2edf

等式两端同时乘以2，并用-t替代变量t得

2e2t2j2ftedt

1f2交换变量t和f得

2e2f2j2ftedt

1t2上式正是g(t)的傅立叶变换式，所以

g(t)22fFTG(f)2e 1t2例2-4 求如图2-27（a）矩形脉冲信号x(t)的频谱密度，已知x(t)解：根据式（2-71），信号的傅里叶变换为

1,0,tT1tT1

X(f)x(t)eT1j2ftdtT1T1ej2ftdt1ej2ftj2fT1sin(2fT1)sin(2fT1) 22T12f2fT1X(f)2T1sinc(2fT1)

A(f)X(f)2T1|sinc(2fT1)| 0(f)nfT1T1n12)n0,1,2,

(1n2fn1)(T1T1该矩形脉冲信号的频谱密度如图2-27（b）所示，它是一个sinc（t）型函数，并且是连续谱，

7 / 15

包含了无穷多个频率成分，在f11,,处，幅值谱密度为零，与此相应，相位2T1T1出现转折，这表明了幅值谱密度与相位谱密度之间的内在关系，在正频率处为负相位()，在负频率处为正相位()。

A(f)x(t)

2T1

1110tT10T1 2T1T12T1（a） （c）

X(f) (f)2T1

 12T1

11011011f T12T1T12T12T1T1

（d） （b）

图2-27 矩形脉冲信号的频谱密度

2-15．所示信号的频谱

1T1f1T1fx(t)1x1(t2.5)x2(t2.5) 2式中x1(t), x2(t)是如图2-31b），图2-31c）所示矩形脉冲。

解：求得x1(t), x2(t)的频谱分别为

X1(f)sinfsin3f和X2(f) ff根据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得：

X(f)e

j5f12sinfsin3

fx(t)8 / 15

图2-31

tx1(t)x2(t)tt例2-3已知单位阶跃函数u(t)度。

解：由式（2-71）

1t0at，信号x(t)eu(t),a0，求x(t)的频谱密

0t0X(f)eatej2ftdt1e(aj2f)taj2f0

X(f)1

aj2f所以，幅值谱密度和相位谱密度分别为：

A(f)X(f)1a22f2(f)X(f)arctg2f a如图2-26所示。 A(f)(f) /21/(2a)1/a /4 0a/(2)a/(2)

4/

/2a0af

22（a）幅值谱密度 （b）相位谱密度

9 / 15

f图2-26 x(t)的频谱密度

2-16．求信号x(t)的傅里叶变换

x(t)eata0

atFTu(t)解： e1

aj2fat注意到x(t)为实偶函数， t >0 时x(t)eu(t)，t<0 时x(t)eatu(t)，所以

x(t)eatu(t)eatu(t)，根据线性叠加特性 X(f)Featu(t)Featu(t)

又根据时间比例特性有xtXf，所以

FTFTeatu(t)1

aj2f最后得

X(f)112a2

aj2faj2fa2f2在实际应用中，一般a为0的实数

FT则 xat1fX aa

2-17．已知信号x(t)试求信号x(0.5t) ，x(2t)的傅里叶变换

1,x(t)0,tT1 tT1解：由例可知x(t)的傅里叶变换为

X(f)2T1sinc2fT1

根据傅里叶变换的比例特性可得

Fx(0.5t)1f10 c/ 15 2T1sin2T14T1sinc4fT10.50.51fFx(2t)2T1sinc2T1T1sincfT122如图2-32所示,由图可看出，时间尺度展宽(a<1.0)将导致其频谱频带变窄,且向低频端移动,这种情况为我们提高设备的频率分析范围创造了条件,但是以延长分析时间为代价的;反之,时间尺度压缩(a>1.0)会导致其频谱频带变宽,且向高频端扩展,这种情况为我们提高信号分析速度提供了可能。

2Tx(t/2)1a=0.5-1/2T1/2T-Tx(t/2)Tta=1.0-1/Tf1T1/T-T/2T/2x(t/2)ta=2.0-2/Tf1

1T/22/T-T/4T/4tf1

题图2-17 时间尺度展缩特性示意图

2-18．求同周期的方波和正弦波的互相关函数

解：因方波和正弦波同周期，故可用一个周期内的计算值表示整个时间历程的计算值，又根据互相关函数定义，将方波前移τ秒后计算：

3TT1T4Rxy()1sintdtT41sintdt3T1sintdtT0443TT1Tcost04costT4cost3T44T1233cos1coscos1cos 222214sin22sin

2-19．求信号x(t)e解：由定义

11 / 15

atu(t)的自相关函数。

Rx()eax(t)x(t)dteatu(t)ea(t)u(t)dt

e2atu(t)u(t)dt其中积分的被积函数的非零区间为t0与t0的交集，即tmax(0,)。因此，当

0时，上式为

Rx()eae2atdteat(012at1ate)0e 2a2a12at12a1ae)ea(0e)e 2a2a2a当0时，则有

Rx()e综合有

ae2atdtea(Rx()1ae 2a

2-20．下面的信号是周期的吗？若是，请指明其周期。 （1）f(t)asintbcost （30） 53t（2）f(t)asintbcost （12）

6338（3）f(t)asin(t) （）

433（4）f(t)acos(t54) （8）

2-21．如图所示，有N2n1个脉宽为的单位矩形脉冲等间隔（间隔为T）地分布在原点两侧，设这个信号为x(t)，求其FT。 解：由题意，

x(t)mnxn0(tmT)

其中x0(t)G(t)，其FT为X0()sinc(2)。根据FT的时移特性，可以求得

12 / 15

ejmTej(n1)TnjmTX()X0()eX0()•1ejTmnejT/2(ejNT/2ejNT/2)X0()•jT/2jT/2e(eejT/2)(ejNT/2ejNT/2)X0()•(ejT/2ejT/2)NTsin()2X0()•Tsin()2下面分析一下所求的结果。

NT)2m2当时，由罗彼塔法则可以求得N，因此X()NX0()，是单个

TTsin()22m矩形脉冲频谱X0()的N倍，这是N个矩形脉冲的谱相互叠加的结果；而当（m

NTNTsin()2不是N的倍数）时，。 0，这是N个谱相互抵消的结果。见图（b）Tsin()22m可以看出，如果N不断增大，这些等间隔分布的矩形脉冲的频谱能量逐渐向离散点T处集中，而且幅度也越来越大。特别地，当N时，时域信号变成了周期矩形脉冲信号，

2m而频域则变成了只在离散点处有值的离散谱，在这些点处的频谱幅度变成了冲激

Tsin(信号（因为能量趋于无穷大）。这也应验了：借助于冲激信号，周期信号也存在FT。

2-22．“时域相关性定理”可描述如下

F[Rxy()]X(f)Y*(f)

试证明。

下面给出两种证明方法。 证明1：

13 / 15

F[Rxy()]x(t)y*(t)dtej2fdx(t)y*(t)ej2fddtx(t)y*(t)ej2f(t)d(t)dtej2ftx(t)edty*((t))ej2f(t)d(t)X(f)•Y*(f)j2f

这里利用式：F[y(t)]Y(f)，是FT的“反褶共轭”性质。 证明2：

根据相关运算与卷积运算之间的关系

**Rxy()x(t)y*(t)

利用FT的“反褶共轭”性质，可以直接得到结论。 在式中，令xy，则可得 自相关的傅里叶变换

2F[Rx()]X(f)X*(f)X(f)

式中说明，“函数相关的FT是其幅度谱的平方”，换句话说，“函数的自相关函数与其幅度谱的平方是一对傅里叶变换对”。

利用FT的奇偶虚实性，若y(t)是实偶函数，那么Y(f)也是实偶函数。这样我们就得到了一个特例结论，

F[Rxy()]X(f)Y*(f)X(f)Y(f)

即当y(t)是实偶函数时，相关性定理与卷积定理是一致的。 2-24．帕斯瓦尔定理

x(t)dt2X(f)df

2证明：

14 / 15

f(t)dt2x(t)x*(t)dt*x(t)X(f)ej2ftdfdt(IFT定义)j2ft*dfe)f(Xx(t)•dt

x(t)ej2ftdtX*(f)•df(交换积分次序)X*(f)X(f)dfX(f)2df(FT定义)15 / 15