高中数学对数运算和对数函数

第5讲 对数运算和对数函数

知识框架

高考要求

要求层次 B A B C B 重难点 理解对数的概念 掌握当底数a1与0a1时，对数函数的不同性质 掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题 对数的概念及其运算性质 对数运算和对数函数 换底公式 对数函数的概念 对数函数的图象和性质 指数函数ya与对数函数ylogax互为反函数（a0且a1）

x

<教师备案>本讲的内容为对数和对数函数，关于对数的历史，在后面的小故事中有所体现，还有一部

例题精讲

分可称为前转：“给我空间、时间和对数，我可以创造一个宇宙”，这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话.从这段话可以看出，伽利略把对数与宝贵的空间和时间相提并论.

对数的发展绝非一人之功.首先要提到的是16世纪瑞士钟表匠标尔基，当他结识了天文学家开普勒，看到开普勒每天与天文数字打交道,数字之大、计算量之繁重,真的难以想象,于是便产生了简化计算的想法.从16031611年,标尔基用了八年的时间,一个数一个数的算,造出了一个对数表,这个对数表帮了开普勒的大忙.开普勒认识到了对数表的使用价值,劝标尔基赶快把对数表出版,标尔基认为这个对数表还过于粗糙,一直没下决心出版.正在标尔基犹豫不决的时候,1614年6月在爱丁堡出版了苏格兰纳皮尔男爵所造的题为《奇妙的对数表的说明》一书,这个对数表的出版震动了整个数学界.“对数”一词是纳皮尔首先创造的,意思是“比数”.他最早用“人造的数”来表示对数.

俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者，传说有一次他在解答一道数学题时，冥

思苦想没法解决，睡觉时做了一个梦，梦中一位老人揭示他解答的方法，醒后他真的把此题解出来了，莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来，大家一看竟是数学家纳皮尔，这个传说告诉我们：纳皮尔在人们心目中的地位是多么的高. 板块一：对数的定义和相关概念

(一)知识内容

<教师备案>在指数函数yax中，对于每个yR，存在唯一的x与之对应，幂指数x叫做以a为底的

y的对数，这样从y到x的对应是指数运算的一个相反运算，让同学思考由函数的定义，

判断这是否可以定义一种新的函数？这种运算和对应的函数有什么样的性质呢？

1.对数：一般地，如果axy(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底y的对数，记作xlogay，其中a叫做对数的底数，y叫做真数.

关系式 a x y 指数式 axy 底数(a0,a1) 指数(xR) 幂（值）(yR) 对数式 logayx 底数(a0,a1) 对数(xR) 真数(yR) 对数恒等式及对数的性质，对数logaN(a0,a1)满足： ⑴零和负数没有对数； ⑵1的对数是零，即loga10； ⑶底的对数等于1，即logaa1.

2.常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN. 3.自然对数：在科学技术中常使用以无理数e2.71828然对数，并且把logeN记为lnN.

4.对数与指数间的关系：当a0,a1时，axNxlogaN. 5.指数和对数的互化：

为底的对数，以e为底的对数称为自

abNlogaNb.alogaNN，logaaNN

（二）主要方法：

1.重视对数的概念，应用基础概念解决具体问题 2.熟练运用指数和对数的互化

（三）典例分析：

【例1】 ⑴将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

11①5625；②2；③5.73；④log1164；

64324m6⑤lg0.012；⑥ln102.303.

⑵求下列各式中x的值：

2①log64x；②logx86；③lg100x；④lne2x.

3【例2】 将下列对数式写成指数式：

（1）log1164；（2）log2128=7；

2（3）lg0.01=-2；（4）ln10=2.303

【例3】 ⑴log927，⑵log4381，⑶log2323，⑷log34625

5

板块二：对数的运算性质和法则

(一)知识内容

1.对数的运算性质：

如果a0，且a1,M0,N0，那么：

⑴loga(MN)logaMlogaN；（积的对数等于对数的和） 推广loga(N1N2...Nk)logaN1logaN2...logaNk ⑵logaM（商的对数等于对数的差） logaMlogaN；

N⑶logaMlogaM(R) ⑷loganN1logaN n（正数幂的对数，等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数） <教师备案>以性质⑴为例进行证明如下： 已知logaM，logaN（M、N0），求loga(MN) 设logaMp，logaNq，根据对数的定义，可得Map，Naq 由MNapaqapq

∴loga(MN)pqlogaMlogaN

2.换底公式：logbNlogaN（a,b0,a,b1,N0） logab<教师备案>证明： 法一：

根据指数的运算性质推导 设logbNx，则bxN.

两边取以a为底的对数，得xlogablogaN， 所以xlogaNlogaN，即logbN. logablogab法二：

根据对数恒等式及对数的运算性质推导

由对数恒等式得：logbNlogabloga(blogN)logaN，

b所以有logbNlogaN. logab换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的.

<教师备案>常见错误：loga(MN)logaMlogaN；loga(MN)logaMlogaN；

logaMlogaM. NlogaN3.关于对数的恒等式

①alogaNN

②logaann

③logab1 logba④logaMloganMn ⑤

logaMlogbM

logaNlogbN（二）主要方法

1.解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；

2.解决对数不等式、对数方程时，要重视考虑对数的真数、底数的范围； 3.对数不等式的主要解决思想是对数函数的单调性.

（三）典例分析

【例4】 求下列各值：

1log⑴log236log23；⑵log33；⑶lg1；⑷3log35；⑸9log35；⑹3233；

⑺log333；⑻(lg5)2lg2lg25(lg2)2；⑼log89log2732.

【例5】 求值：

log5257lg；⑵log5535；⑶5943⑴2lg3lg7lg

；⑷log34log259log165.

【例6】 若a、b0，且a、b1，logablogba，则

A.ab

B.a1 bC.ab或a1 bD.a、b为一切非1的正数

【例7】 ⑴log83p，log35q，那么lg5等于______（用p，q表示）；

⑵知log189a，18b5，用a,b表示log3645.

【点评】⑴换底公式的一个重要应用：logmnlognm1

⑵log182log1818，将未知转化为已知，是对数函数运算性质的重要应用. 9【例8】 已知log23a，3b7，求log1256

【例9】 已知lg5m，lg3n，用m,n表示log308.

【例10】 已知abm(a0,b0,m1)且logmbx，则logma等于

A.1x

B.1x C.

1x D.x1

【例11】 已知f(x)ax12，且f(lga)10，求a的值.

【例12】 下列各式中，正确的是

A.lgx22lgx

B.1nlogaxlognax

C.

logaxlogylogxaay

【例13】 已知log(x3)(x23x)1，求实数x的值.

D.log1ax2logax

【例14】 设a为实常数，解关于x的方程lg(x1)lg(3x)lg(ax).

板块三：对数函数

1.对数函数：我们把函数ylogax(a0且a1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是

(0,)，值域为实数集R.

2.对数函数的图象和性质：

一般地，对数函数ylogax(a0且a1）的图象和性质如下表所示：

y0a1 ya1 y=logax(a>1)图象 O1y=logax(0<教师备案>因为对数函数与指数函数密切相关，所以在学习对数函数的概念、图象与性质时，要处处

与指数函数相对照.如：指数函数的值域(0,)，变成了对数函数的定义域；而指数函数的

定义域为实数集R，则变成了对数函数的值域；同底的指数函数与对数函数的图象关于直线yx对称等.

【例15】 求下列函数的定义域：

⑴ylogax2；⑵loga(4x)；⑶ylog1(x1).

2

【例16】 求下列函数的定义域：

1⑴y；

log3(3x2)⑵ylogx1(3x).

【例17】 已知f(x)loga(ax1)(a0,且a1)，

⑴求f(x)的定义域； ⑵讨论函数f(x)的单调性；

【例18】 求函数f(x)log2x1log2(x1)log2(px)的定义域和值域. x1

【例19】 函数ylg(20xx)的值域是 2A.y＞0

B.y∈R

2 C.y＞0且y≠1 D.y≤2

【例20】 已知函数f(x)lg[mx2(m1)x9m4]，

⑴若此函数的定义域为R，求实数m的取值范围；

⑵若此函数的值域为R，求实数m的取值范围.

【点评】本题涉及到解一元二次不等式的解法，可根据学生情况进行讲解.

mx28xn【例21】 已知函数f(x)log3的定义域为R，值域为[0，2]，求m，n的值.

x21

【例22】 下面结论中，不正确的是

A.若a＞1，则yax与ylogax在定义域内均为增函数 B.函数y3x与ylog3x图象关于直线yx对称 C.ylogax2与y2logax表示同一函数

D.若0a1,0mn1，则一定有logamlogan0

【例23】 已知f(x)lg(ab)(a,b为常数),

xx①当a，b＞0且a≠b时，求f(x)的定义域；

②当a＞1＞b＞0时，判断f(x)在定义域上的单调性，并用定义证明

【例24】 在函数ylogax(0a1，x1)的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标分别是t，t＋2，

t＋4，

（1）若△ABC的面积为S，求S＝f（t）； （2）判断S＝f（t）的单调性； （3）求S＝f（t）的最大值.

【例25】 已知函数f(x)logax2的定义域为,，值域为logaa(1),logaa(1)，且f(x) x2在,上为减函数. （1）求证＞2； （2）求a的取值范围.

【例26】 对于f(x)log1(x22ax3)，

2⑴函数的“定义域为R”和“值域为R”是否是一回事；

⑵结合“实数a取何值时，f(x)在[1，)上有意义”与“实数a取何值时，函数的定义域为

(，1)(3，)”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别.

⑶结合⑴⑵两问，说明实数a的取何值时f(x)的值域为(，1].

【例27】 ⑷实数a取何值时，f(x)在(，1]内是增函数.

⑸是否存在实数a，使得f(x)的单调递增区间是(，1]，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

【点评】该题主要考察复合对数函数的定义域、值域以及单调性问题.解题过程中遇到了恒成立问题，

“恒为正”与“取遍所有大于零的数”不等价，同时又考察了一元二次函数函数值的分布情况，解题过程中结合三个“二次”的重要结论来进行处理.

【例28】 比较下列各组数的大小：

⑴log23.4，log28.5； ⑵log0.31.8，log0.32.7；

⑶loga5.1，loga5.9(a0,且a1); ⑷0.32，log20.3，20.3.

【点评】利用对数函数的性质比较大小的题，一般都可以通过对数函数的单调性，通过直接比较、中

间值法或者图象法得到相关结论.

如：设1a10，比较lga2，(lga)2，lg(lga)的大小.

1a100lga1，于是lg(lga)0(lga)2lga2.

【例29】 设f(log2x)2x(x0)，则f（3）的值是 A.128

B.256 C.512 D.8

【例30】 a、b、c是图中三个对数函数的底数，它们的大小关系是

A.c＞a＞b

B.c＞b＞a C.a＞b＞c D.b＞a＞c

【例31】 （2005年天津文）

已知log1blog1alog1c，则（）

222A.2b2a2c

B.2a2b2c C.2c2b2a D.2c2a2b

【例32】 如果loga2logb20，那么a，b的关系及范围.

【例33】 ⑴若loga2logb20，则（）

A.0ab1 B.0ba1

2⑵已知loga1，求a的取值范围.

3 C.ab1 D.ba1

【点评】在上面的对数函数图象中，共有四条对数函数ylogax，底数a的大小比较可以通过作一条

直线：y1，于四条曲线分别交于点P1,P2,P3,P4，易知，这四点的横坐标即对应相应的底数的值，故比较这四点的横坐标即可.

【例34】 已知函数f(x)1logx3，g(x)2logx2，

⑴试比较函数值f(x)与g(x)的大小； ⑵求方程|f(x)g(x)|f(x)g(x)4的解集.

【例35】 函数ylogax在x[2,)上恒有|y|1，求a的范围.

【例36】 已知a＞0，a≠1，0x1，比较|loga(1x)|和|loga(1x)|的大小.

【例37】 若log2a1，则a的取值范围是

3A.0a

【例38】 若关于

2 3 B.a2 3 C.

2a1 3 D.0a2或a＞1 3lg(xa)2至少有一个实数根，则求a的取值范围.

lgxlg3

【例39】 设a，b为正数，若lg(ax)lg(bx)10有解，则求

a的取值范围. b

【例40】 如果log12a2(a21)≤log2a122a，求a的取值范围.

【例41】 已知A{x|logx(5x28x3)2}，B{x|x22x1k4≥0}，要使AB，求实数k的取值

范围.

【例42】 设正数a，b，c满足abc.

222bcac)log2(1)1； abbc2（2）又设log4(1)1，log8(abc)，求a，b，c的值.

a3（1）求证：log2(1

【例43】 （1）已知logaxlogay2(a0，a1)，求

11的最小值. xy（2）已知2x5y20，求lgxlgy的最大值. （3）已知x24y24，求xy的最大值.

【例44】 解方程log2(2x12)2

log2(2x1)