高中物理弹簧弹力问题(含答案)

弹簧问题归类

一、“轻弹簧”类问题

在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为“轻弹簧”，是一种常见的理想化物理模型.由于“轻弹簧”质量不计，选取任意小段弹簧，其两端所受张力一定平衡，否则，这小段弹簧的加速度会无限大.故轻弹簧中各部分间的张力处处相等，均等于弹簧两端的受力.弹簧一端受力为F，另一端受力一定也为F,若是弹簧秤，则弹簧秤

图3-7-1

示数为F.

【例1】如图3-7-1所示，一个弹簧秤放在光滑的水平面上，外壳质量m不能忽略，弹簧及挂钩质量不计，施加弹簧上水平方向的力F1和称外壳上的力F2，且F1F2，则弹簧秤沿水平方向的加速度为，弹簧秤的读数为.

【解析】以整个弹簧秤为研究对象，利用牛顿运动定律得：F1F2ma，即aF1F2,仅以轻质弹簧m为研究对象，则弹簧两端的受力都F1，所以弹簧秤的读数为F1.说明:F2作用在弹簧秤外壳上，并没有作用在弹簧左端，弹簧左端的受力是由外壳内侧提供的.【答案】aF1F2F1 m二、质量不可忽略的弹簧 【例2】如图3-7-2所示，一质量为M、长为L的均质弹簧平放在光滑的水平面,在弹簧右端施加一水平力F使弹簧向右做加速运动.试分析弹簧上各部分的受力情况. 【解析】弹簧在水平力作用下向右加速运动，据牛顿第二定律得其加速度a度x为研究对象，设其质量为m得弹簧上的弹力为：,TxmaxFxMFLMLFM图3-7-2 ,取弹簧左部任意长xL【答案】TxF 三、弹簧的弹力不能突变(弹簧弹力瞬时)问题 弹簧(尤其是软质弹簧)弹力与弹簧的形变量有关，由于弹簧两端一般与物体连接，因弹簧形变过程需要一段时间，其长度变化不能在瞬间完成，因此弹簧的弹力不能在瞬间发生突变.即可以认为弹力大小和方向不变，与弹簧相比较，轻绳和轻杆的弹力可以突变. 【例3】如图3-7-3所示，木块A与B用轻弹簧相连，竖直放在木块C上，三者静置于地面，A、B、C的质量之比是1:2:3.设所有接触面都光滑，当沿水平方向迅速抽出木块C的瞬时，木块A和B的加速度分别是aA=与aB= 【解析】由题意可设A、B、C的质量分别为m、2m、3m，以木块A为研究对象，抽出木块C前，木块A受到重力和弹力一对平衡力，抽出木块C的瞬时，木块A受到重力和弹力的图3-7-3 大小和方向均不变，故木块A的瞬时加速度为0.以木块A、B为研究对象，由平衡条件可知，木块C对木块B的作用力FCB3mg.以木块B为研究对象，木块B受到重力、弹力和FCB三力平衡，抽出木块C的瞬时，木块B受到重力和弹力的大小和方向均不变，FCB瞬时变为0，故木块C的瞬时合外力为3mg,竖直向下，瞬时加速度为1.5g.【答案】0说明：区别于不可伸长的轻质绳中张力瞬间可以突变.

【例4】如图3-7-4所示，质量为m的小球用水平弹簧连接，并用倾角为300的光滑木板AB托住，使小球恰好处于静止状态.当AB突然向下撤离的瞬间，小球的加速度为() A.0B.大小为C.大小为23323g，方向竖直向下 3g，方向垂直于木板向下

D.大小为233g,方向水平向右

【解析】末撤离木板前，小球受重力G、弹簧拉力F、木板支持力FN作用而平衡，

mg.撤离木板的瞬间，重力G和弹力F保持不变(弹簧弹力cos不能突变)，而木板支持力FN立即消失,小球所受G和F的合力大小等于撤之前的

图

如图3-7-5所示，有FN图

方向与FN相反，故加速度方向为垂直木板向下，大小为aFN(三力平衡)，

FNg23g【答案】mcos3C.

四、弹簧长度的变化问题

设劲度系数为k的弹簧受到的压力为F1时压缩量为x1，弹簧受到的拉力为F2时伸长量为x2，此时的“-”号表示弹簧被压缩.若弹簧受力由压力F1变为拉力F2，弹簧长度将由压缩量x1变为伸长量x2，长度增加量为x1x2.由胡克定律有:F1k(x1),F2kx2.则:F2(F1)kx2(kx1),即Fkx 说明:弹簧受力的变化与弹簧长度的变化也同样遵循胡克定律，此时x表示的物理意义是弹簧长度的改变量，并不是形变量.

【例5】如图3-7-6所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块1、2拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上(不拴接)，整个系统处于平衡状态.现将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面.在此过程中，物块2的重力势能增加了,物块1的重力势能增加了. 【解析】由题意可知，弹簧k2长度的增加量就是物块2的高度增加量，弹簧k2长度的增加量与弹簧k1长度的增加量之和就是物块1的高度增加量.由物体的受力平衡可知，弹簧图3-7-6 k2的弹力将由原来的压力(m1m2)g变为0,弹簧k1的弹力将由原来的压力m1g变为拉力m2g,弹力的改变量也为(m1m2)g.所以k1、k2弹簧的伸长量分别为:故物块2的重力势能增加了11(m1m2)g和(m1m2)g k2k1111m2(m1m2)g2，物块1的重力势能增加了()m1(m1m2)g2 k2k1k2五、弹簧形变量可以代表物体的位移 弹簧弹力满足胡克定律Fkx，其中x为弹簧的形变量，两端与物体相连时x亦即物体的位移，因此弹簧可以与运动学知识结合起来编成习题. 【例6】如图3-7-7所示，在倾角为的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B，其质量分别为mA、mB，弹簧的劲度系数为k,C为一固定挡板，系统处于静止状态,现开始用一恒力F沿斜面方向拉A使之向上运动，求B刚要离开C时A的加速图度a和从开始到此时A的位移d(重力加速度为g). 【解析】系统静止时,设弹簧压缩量为x1，弹簧弹力为F1，分析A受力可知:F1kx1mAgsin mAgsin在恒力F作用下物体A向上加速运动时，弹簧由压缩逐渐变为伸长状态.设物体Bkmgsin刚要离开挡板C时弹簧的伸长量为x2，分析物体B的受力有:kx2mBgsin,解得x2B设此时kF(mAmB)gsin物体A的加速度为a，由牛顿第二定律有:FmAgsinkx2mAa解得:a因物体A

mA解得:x1与弹簧连在一起，弹簧长度的改变量代表物体A的位移，故有dx1x2，即d案】d(mAmB)gsin

k(mAmB)gsin【答

k六、弹力变化的运动过程分析

弹簧的弹力是一种由形变决定大小和方向的力，注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应.一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置及临界位置，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，弹性势能也是与原长位置对应的形变量相关.以此来分析计算物体运动状态的可能变化.

结合弹簧振子的简谐运动，分析涉及弹簧物体的变加速度运动，.此时要先确定物体运动的平衡位置，区别物体的原长位置，进一步确定物体运动为简谐运动.结合与平衡位置对应的回复力、加速度、速度的变化规律，很容易分析物体的运动过程.

【例7】如图3-7-8所示，质量为m的物体A用一轻弹簧与下方地面上质量也为m的物

图3-7-8

体B相连，开始时A和B均处于静止状态，此时弹簧压缩量为x0，一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连接物体A、另一端C握在手中，各段绳均刚好处于伸直状态，物体A上方的一段绳子沿竖直方向且足够长.现在C端施加水平恒力F使物体A从静止开始向上运动.(整个过程弹簧始终处在弹性限度以内).

(1)如果在C端所施加的恒力大小为3mg，则在物体B刚要离开地面时物体A的速度为多大?

(2)若将物体B的质量增加到2m，为了保证运动中物体B始终不离开地面，则F最大不超过多少? 【解析】由题意可知，弹簧开始的压缩量x0mgmg，物体B刚要离开地面时弹簧的伸长量也是x0. kk12(1)若F3mg,在弹簧伸长到x0时，物体B离开地面，此时弹簧弹性势能与施力前相等，F所做的功等于物体A增加的动能及重力势能的和.即：F2xmg2x0mv2得:v22gx0 (2)所施加的力为恒力F0时，物体B不离开地面，类比竖直弹簧振子，物体A在竖直方向上除了受变化的弹力外，再受到恒定的重力和拉力.故物体A做简谐运动.在最低点有：F0mgkx0ma1,式中k为弹簧劲度系数，a1为在最低点物体A的加速度.在最高点，物体B恰好不离开地面，此时弹簧被拉伸，伸长量为2x0，则:k(2x0)mgF0ma2而kx0mg，简谐运动在上、下振幅处a1a2，解得：

3mg[也可以利用简谐运动的平衡位置求恒定拉力F0.物体A做简谐运动的最低点压缩量为x0，2x最高点伸长量为2x0，则上下运动中点为平衡位置，即伸长量为所在处.由mgk0F0,解

23mg3mg得:F0.]【答案】22gx0 22F0说明:区别原长位置与平衡位置.和原长位置对应的形变量与弹力大小、方向、弹性势能相关,和平

衡位置对应的位移量与回复大小、方向、速度、加速度相关. 七．与弹簧相关的临界问题 通过弹簧相联系的物体，在运动过程中经常涉及临界极值问题：如物体速度达到最大；弹簧形变量达到最大时两个物体速度相同；使物体恰好要离开地面；相互接触的物体恰好要脱离等.此类问题的解题关键是利用好临界条件，得到解题有用的物理量和结论。 【例8】如图3-7-9所示，A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，已知木块A、B的质量分别为0.42kg和0.40kg，弹簧的劲度系数k100N/m，若在A上作用一个竖直向上的力F,使A由静止开始以0.5m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g10m/s2）求：(1)使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值; 图3-7-9

(2)若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248J，求这一过程中F对木块做的功. 【解析】此题难点在于能否确定两物体分离的临界点.当F0(即不加竖直向上F力)时，设木块A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x,有:kx(mAmB)g,即图3-7-10 (mAmB)g①对木块A施加力F，A、B受力如图3-7-10所示,对木块Axk有:FNmAgmAa②对木块B有:kx'NmBgmBa③可知，当N0时，木块A、B加速度相同，由②

式知欲使木块A匀加速运动，随N减小F增大,当N0时,F取得了最大值Fm,即:FmmA(ag)4.41N又当N0时，A、B开始分离，由③式知，弹簧压缩量kx'mB(ag)，则

mB(ag)2v2a(xx')⑤由题知，④木块A、此过程弹性势能减少了WPEP0.248JB的共同速度：

k1设F力所做的功为WF，对这一过程应用功能原理，得：WF(mAmB)v2(mAmB)g(xx')EP

2联立①④⑤⑥式，且EP0.248J,得：WF9.64102J【答案】（1）Fm4.41NWF9.64102J x'【例9】如图3-7-11所示，一质量为M的塑料球形容器，在A处与水平面接触.它的内部有一直立的轻弹簧，弹簧下端固定于容器内部底部，上端系一带正电、质量为m的小球在竖直

图3-7-11

方向振动，当加一向上的匀强电场后，弹簧正好在原长时，小球恰好有最大速度.在振动过程中球形容器对桌面的最小压力为0，求小球振动的最大加速度和容器对桌面的最大压力.

【解析】因为弹簧正好在原长时小球恰好速度最大，所以有：qEmg①小球在最高点时容器对桌面的压力最小，有：kxMg②此时小球受力如图3-7-12所示，所受合力为FmgkxqE③由以上三式得小球的加速度aMg.显然，在最低点容器对桌面的压

m力最大，由振动的对称性可知小球在最低点和最高点有相同的加速度，解以上式子得：

图3-7-12 kxMg所以容器对桌面的压力为：FNMgkx2Mg.

八、弹力做功与弹性势能的变化问题

弹簧伸长或压缩时会储存一定的弹性势能，因此弹簧的弹性势能可以与机械能守恒规律综合应用,用公式EPkx2计算弹簧势能，弹簧在相等形变量时所具有的弹性势能相等.

弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量.弹簧的弹力做功是变力做功，一般可以用以下方法: (1)因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算; (2)利用Fx图线所包围的面积大小求解; (3)根据动能定理、能量转化和守恒定律求解. 由于弹性势能仅与弹性形变量有关，弹性势能的公式高考中不作定量要求，因此，在求弹力做功或弹性势能的改变时，一般从能量的转化与守恒的角度来求解.特别是涉及两个物理过程中的弹簧形变量相等 时，往往弹性势能的改变可以抵消或替代求解. 【例10】如图3-7-14所示，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k,物体A、B都处于静止状态.一不可伸长的轻绳一端绕过轻滑轮连接物体A，另一端连接一轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态，物体A上方的一段绳沿竖直方向.现给挂钩挂一质量为m2的物体C并从静止释放，已知它恰好能使物体B离开地面但不继续上升.若将物体C换成另一质量为(m1m2)的物体D，仍从上述初始位置由图3-7-14 静止释放，则这次物体B刚离地时物体D的速度大小是多少?已知重力加速度为g 【解析】开始时物体A、B静止，设弹簧压缩量为x1，则有：kx1m1g，悬挂物体C并释放后，物体C向下、物体A向上运动，设物体B刚要离地时弹簧伸长量为x2，有kx2m2g，B不再上升表明此时物体A、C的速度均为零，物体C己下降到其最低点,与初状态相比，由机械能守恒得弹簧弹性势能的增加量为：Em2g(x1x2)m1g(x1x2)。物体C换成物体D后，物体B离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得：1(m2m1)v21m1v2(m2m1)g(x1x2)m1g(x1x2)E联立上式解得题中所求2212速度为：v2m1(m1m2)g2(2m1m2)k 九、弹簧弹力的双向性 弹簧可以伸长也可以被压缩，因此弹簧的弹力具有双向性，亦即弹力既可能是推力又可能是拉力，这类问题往往是一题多解.

【例11】如图3-7-15所示，质量为m的质点与三根相同的轻弹簧相连，静止时相邻两弹簧间的夹角均为1200，已知弹簧a、b对质点的作用力均为F，则弹簧c对质点作用力的大小可能为() A、0B、Fmg

图3-7-15 C、FmgD、mgF

【解析】由于两弹簧间的夹角均为1200，弹簧a、b对质点作用力的合力仍为F，弹簧a、b对质点有可能是拉力，也有可能是推力,因F与mg的大小关系不确定，故上述四个选项均有可能.正确答案:ABCD

【答案】ABCD

十一、弹簧串、并联组合

弹簧串联或并联后劲度系数会发生变化，弹簧组合的劲度系数可以用公式计算，高中物理不要求用公式定量分析，但弹簧串并联的特点要掌握:弹簧串联时，每根弹簧的弹力相等;原长相同的弹簧并联时，每根弹簧的形变量相等.

【例12】如图3-7-17所示，两个劲度系数分别为k1、k2的轻弹簧竖直悬挂，下端用光滑细绳连接，并有一光滑的轻滑轮放在细线上;滑轮下端挂一重为G的物体后滑轮下降，求滑轮静止后重物下降的距离.

【解析】两弹簧从形式上看似乎是并联，但因每根弹簧的弹力相等，故两弹簧实为串联;两弹簧的弹力均G，可得两弹簧的伸长量分别为x12G2k1，x2G，两弹簧伸长量之2k2图3-7-17

和xx1x2，故重物下降的高度为:hx2G(k1k2) 4k1k2滑轮模型 一、“滑轮”挂件模型中的平衡问题 例1.如图1所示，将一根不可伸长、柔软的轻绳左、右两端分别系于A、B两点上，一物体用动滑轮悬挂在轻绳上，达到平衡时，两段绳子间的夹角为1，绳子张力为F1；将绳子右端移到C点，待系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为2，绳子张力为F2；将绳子右端再由C点移到D点，待系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为3，绳子张力为F3，不计摩擦，并且BC为竖直线，则（） A.123 B.123C.F1F2F3D.F1F2F3 解析：由于跨过滑轮上绳上各点的张力相同，而它们的合力与重力为一对平衡力，所以从B点移到C点的过程中，通过滑轮的移动，12，F1F2，再从C点移到D点，3肯定大于2，由于竖直方向上必须有2Fcos正确。

二、“滑轮”挂件模型中的变速问题 2mg，所以F3F2。故只有A选项例2.如图2所示在车厢中有一条光滑的带子（质量不计），带子中放上一个圆柱体，车子静止时带子两边的夹角∠ACB=90°，若车厢以加速度a=7.5m/s2向左作匀加速运动，则带子的两边与车厢顶面夹角分别为多少？ 解析：设车静止时AC长为l，当小车以a7.5m/s2向左作匀加速运动时，由于AC、BC之间的类似于“滑轮”，故受到的拉力相等，设为FT，圆柱体所受到的合力为ma，在向左作匀加速，运动中AC

sinsinsin长为ll，BC长为ll，由几何关系得，由牛顿运动定律建立方程： llll2lFTcosFTcosma，FTsinFTsinmg，代入数据求得19，93

三、“滑轮”挂件模型中的功能问题

例3.如图3所示，细绳绕过两个定滑轮A和B，在两端各挂一个重为P的物体，现

在A、B的中点C处挂一个重为Q的小球，Q<2P，求小球可能下降的最大距离h。已知AB的长为2L，不计滑轮和绳之间的摩擦力及绳的质量。

解析：选小球Q和两重物P构成的整体为研究对象，该整体的速率从零开始逐渐增为最大，紧接着从最大又逐渐减小为零（此时小球下降的距离最大为h），在整个过程中，只有重力做功机械能守恒。因重为Q的小球可能下降的最大距离为h，所以重为P的两物体分别上升的最大距离均为

h2L2L。

考虑到整体初、末位置的速率均为零，故根据机械能守恒定律知，重为Q的小球重力势能的减少量

4PLQ等于重为P的两个物体重力势能的增加量，即Qh2P(h2L2L)。从而解得h

4P2Q2【模型要点】

“滑轮”模型的特点为滑轮两侧的受力大小相等，在处理功能问题时若力发生变化，通常优先考虑能量守恒规律。

注意“死杆”和“活杆”问题。

如：如图（a）轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体。∠ACB=30°；图（b）中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比？ 解析：图（a）中绳AC段的拉力FTAC＝M1g图（b）中由于FTEGsin30°=M2g，解得：【模型演练】 1.在图6所示的装置中，绳子与滑轮的质量不计，摩擦不计，悬点a与b之间的距离远大于两轮的直径，两个物体的质量分别为m1和m2，若装置处于静止状态，则下列说法错误的是（） A.m2可以大于m1B.m2必定大于C.m2必定等于m1 D.1与2必定相等 答案：C 2.（上海徐汇区诊断）如图7所示，质量分别为M和m（M>m）的小物体用轻绳连接；跨放在半径为R的光滑半圆柱体和光滑定滑轮B上，m位于半圆柱体底端C点，半圆柱体顶端A点与滑轮B的连线水平。整个系统从静止开始运动。设m能到达圆柱体的顶端，试求： （1）m到达圆柱体的顶端A点时，m和M的速度。 （2）m到达A点时，对圆柱体的压力。 图7 11答案：（1）MgRmgR(Mm)v2 22mv2mgFN （2）Rm1 2FTACM1 FTEG2M2