1
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
参考公式：
若事件A，B互斥，则P(A
B)P(A)P(B)
柱体的体积公式VSh
h表示柱体的高
若事件A，B相互独立，则P(AB)若事件A在一次试验中发生的概率是重复试验中事件
A恰好发生
nk
P(A)P(B)
p，则n次独立k次的概率
其中S表示柱体的底面积，锥体的体积公式V
13
Sh
h表示锥体的高
其中S表示锥体的底面积，球的表面积公式
Pn(k)Cp(1
k
n
k
p)(k0,1,2,S1S2
,n)S2)h
h表示台
台体的体积公式V
13
(S1
S4R
2
球的体积公式
其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积，体的高
其中
V
43
R
3
R表示球的半径
40分）
选择题部分（共
一、选择题：本大题共一项是符合题目要求的。1．已知全集A．
10小题，每小题
4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
U1,0,1,2,3，集合A
B．
0,1,2，B
C．
1,0,1，则eUA1,2,3
B=（
D．
）
11,0,1,3
2．渐近线方程为A．
22
x±y=0的双曲线的离心率是（
B．1
）
C．
2
D．2
x3y
3．若实数x，y满足约束条件
40
40，则z=3x+2y的最大值是（0
）
3xx
y
y
A．
1
B．1 C．10 D．12
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2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家利用该原理可以得到柱体体积公式
V
柱体
2
.他提出的“幂势既同，则积不容易=Sh，其中S是柱体的底面积，
）
”称为祖暅原理，
h是柱体的高.若某柱
体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（
A．158 C．182
B．162 D．32
5．若a＞0，b＞0，则“a+b≤4是”“ab≤4的（”A．充分不必要条件C．充分必要条件
）
B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
6．在同一直角坐标系中，函数y =
1a
x
，y=loga(x+
12
)，(a>0且a≠0)的图像可能是（）
7．设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是
则当a在（0,1）内增大时（A．D（X）增大C．D（X）先增大后减小
）
B．D（X）减小
D．D（X）先减小后增大
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2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
3
8．设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记
直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P-AC-B的平面角为γ，则（A．β<γ，α<γC．β<α，γ<α
）
B．β<α，β<γ D．α<β，γ<β
x,x
9．已知a,b
0
12
(a1)x2
ax,x
0
，若函数y
R，函数f(x)
13x3
f(x)ax
b恰
有三个零点，则（A．a<-1，b<0 C．a＞-1，b＞0
）
B．a<-1，b>0D．a＞-1，b<0
10．设a，b∈R，数列{an}中an=a，an+1=an+b，bA．当b=
12
2
N
14
,则（）
，a10＞10 B．当b=，a10＞10
C．当b=-2，a10＞10
D．当b=-4，a10＞10
非选择题部分（共
110分）
4分，共36分。
二、填空题：本大题共11．复数z
7小题，多空题每题6分，单空题每题
11i
（i为虚数单位），则|z|=___________.
12．已知圆
C的圆心坐标是(0,m)，半径长是r.若直线2xy30与圆相切于点
A(2,1)，则m=_____，r=______.
13．在二项式(2_______.
x)的展开式中，常数项是
9
________，系数为有理数的项的个数是
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2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）14．在则
4
△ABC中，
____，
ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上，若BDC45，
BD
cosABD________.
15．已知椭圆
x
2
y
2
95
1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段
PF的斜率是_______.
PF的中
点在以原点
O为圆心，OF为半径的圆上，则直线
16．已知
aR，函数f(x)ax
3
x，若存在tR，使得|f(t
2)f(t)|
23
，则实数
a的最大值是____.
17．已知正方形
ABCD的边长为1，当每个
3
i
(i1,2,3,4,5,6)取遍1时，
|
1
AB
2
BCCD
4
DA
5
AC
6
BD|的最小值是________，最大值是_______.
三、解答题：本大题共18.（本小题满分（1）已知（2）求函数y
5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14分）设函数
f(x)sinx,xR.
的值；
[0,2),函数f(x[f(x
)]
2
)是偶函数，求[f(x
)]
2
124
的值域.
19.（本小题满分15分）如图，已知三棱柱
ABC
A1B1C1，平面A1AC1C
平面
ABC,
ABC90，
BAC
30,A1AAC1AC,E,F分别是AC，A1B1的中点.
（1）证明：
EFBC；
.
（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值
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2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
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20.（本小题满分
15分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a34，a4S3，数列{bn}满
足：对每个n
N,Snbn,Sn
1
bn,Sn
2
bn成等比数列.
（1）求数列{an},{bn}的通项公式；
（2）记
Cn
an2bn
,n
N,证明：C1C2+
Cn
2n,nN.
21.（本小题满分15分）如图，已知点
F(10)，为抛物线y
2
2px(p
0)，点F为焦点，过
点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得
△ABC的重心G在x轴上，直
线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记△AFG,△CQG的面积为S1,S2.
（1）求p的值及抛物线的标准方程；（2）求
S1S2
的最小值及此时点G的坐标.
22.（本小题满分已知实数
15分）
a0，设函数f(x)=alnx
34
时，求函数
x1,x0.
（1）当a
f(x)的单调区间；
x2a
（2）对任意x[
1e
2
,)均有f(x)
.
,求a的取值范围.
注：e=2.71828…为自然对数的底数
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2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
6
【参考答案】
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题1．A 6．D
2．C 7．D
3．C 8．B
4．B 9．C
4分，满分40分。5．A 10．A
6分，单空题每题4分，共36分。
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题
11．
2215
12．2,513．162,5
12272
,14．
510
15．16．
43
17．0,25
三、解答题：本大题共5小题，共74分。
18．解：（I）因为f(x即故
)sin(x)是偶函数，所以，对任意实数x都有sin(x)sin(x)，
sinxcos2sinxcoscos
cosxsin0，
sinxcoscosxsin，
所以又
0．
π2
2
[0,2π)，因此
或
3π2
．
（Ⅱ）
y
π
fx
12π6
fx
π4π2
2
sin
2
πx
12
sin
2
x
π4
1cos2x
2
1
1cos2x
2
π．3
[1
32,1
1123
cos2x23
sin2x2
3
cos2x2
因此，函数的值域是
32
]．
19．解：方法一：
（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC. 又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC.
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平面A1ACC1，
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）7
又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F. 所以BC⊥平面A1EF. 因此EF⊥BC.
（Ⅱ）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．由于A1E⊥平面ABC，故AE1⊥EG，所以平行四边形
EGFA1为矩形．
由（I）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.
连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）.
不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2
3，EG=3.
由于O为A1G的中点，故EO
OG
A1G152
2，
2
OG2
EG
2
所以cos
EOG
EO
32EOOG
5
．
因此，直线EF与平面A31BC所成角的余弦值是5
．
方法二：
连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC. 又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E
平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC. 如图，以点E为原点，分别以射线
EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系
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–xyz.
E2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）不妨设AC=4，则
8
A1（0，0，2
3），B（
33
3，1，0），B1(3,3,23)，F(,,23)，C(0，2，0).
22
(
3,1,0)．
因此，EF
33(,,23)，BC22
由
EFBC
0得EF
BC．
{an}的公差为d，由题意得3a1
3d，
20．解：（Ⅰ）设数列
a1
2d
4,a10,d2n
3d2．2,n
解得a1从而an由Sn
N．
2
*
bn,Snbn
2
1
bn,SnSn
bn
bn成等比数列得Sn
2
2
Sn
1
bn．
解得bn所以bn
1dn
2
Sn
21
SnSn
*
．
n,nN．
（Ⅱ）
cn
an2bn
2n22n(n1)
n1n(n1)
,nN．
*
我们用数学归纳法证明．
（1）当n=1时，c1=0<2，不等式成立；（2）假设n那么，当
kkN
*
时不等式成立，即
c1c2ch2k．
nk1时，
ck2k
1
kck
2k
k(k
1)(k
2)k)
2k
1k
1
c1c2
1
2k
即当
2k2(k1
2k1．
nk1时不等式也成立．
c1
c2
cn
2n对任意n
第8 页共11 页
根据（1）和（2），不等式
N成立．
*
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）21．解：（I）由题意得所以，抛物线的准线方程为（Ⅱ）设
9
p2
1，即p=2.
x=-1.
AxA,yA,BxB,yB,Cxc,yc，重心GxG,yG.令yA
2t,t
0，则xA
t.
2
由于直线AB过F，故直线AB方程为x
t
2
1
2t
y1，代入y
2
4x，得
2
y
2
2t
1
t
y40，
故2ty212B4，即yB
t，所以Bt2
,
t
.
又由于x1x1G
3xABxc,yG3
yAyByc
及重心G在x轴上，2
C
12
,2
1t2
t
t
2t
t
,G
2t
4
3t
2
,0.
所以，直线AC方程为y2t
2txt2
，得Qt2
1,0.
由于Q在焦点F的右侧，故t
2
2.从而
2t
4
2
1
2t2
S2|FG|yA13t21|2t|2t4t
2
t
22S2
1
|QG|y|t2
2
c1
2t
4
2t2
2
||2t
4
1
2
t
4
1
.
3t
2t
2t|令mt
2
2，则m>0，
S1m11S2
2
m
2
4m3
2
…21
3m
3m4
2m
32
.
m
4
当m3时，
S13S取得最小值1
2
，此时G（2，0）.
2
22．解：（Ⅰ）当
a
34
时，f(x)
34
lnx1x,x0．
f'(x)
31(1x2)(21x1)4x
21x
4x1x
，
所以，函数
f(x)的单调递减区间为（
0，3），单调递增区间为（3，+）．
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故2t
2t
yc
0得
，2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
10
（Ⅱ）由
f(1)
12a
，得0a
24
．
当0a1a
24
，则
时，f(x)
x2a
等价于
xa
2
21xa
2lnx
0．
令t
t
x
22．
2t18x
x
2lnx,t
x
22，则2lnx．
设g(t)t
2
g(t)g(22)
17
421
1x
（i）当x
,
时，
122，则
g(t)g(22)4x
8x221
421x
x2lnx．17
，则
记p(x)lnx,x
p'(x)
故
2x
2x1
1x
2xx12xx1
xx1
.
xp'(x)
17
(,1)7
1
1 0 极小值
(1,
+
)
p(x)
p()7
1
单调递减
单调递增
p(1)
所以，p(x)因此，g(t)
p(1)0．
2p(x)
0．
1x
，则q'(x)
g(22)
（ii）当x
11
时，g(t)…g2,
e72xlnx
(x1),x
1
2xlnx
2xlnx
(x1)
．
令q(x)
112,e7
2x
10，
11
故q(x)在上单调递增，所以2,
e7
q(x),q
17
．
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2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
11
由（i）得
q
17
277
p
17
277
p(1)0．
所以，q(x)<0．
因此g(t)…g
1
1x
q(x)2x1e
2
0．
由（i）（ii）得对任意x,
，t[22,),g(t)…0，
即对任意x
1e
2
,
，均有f(x),
x2a24
．
综上所述，所求a的取值范围是
0,
．
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