高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学 第八章 平面向量

第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念

aa①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB，；坐标表示法xiyj(x,y)。

向量的模（长度），记作|AB|.即向量的大小，记作｜a|。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.

②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，规定0平行于任何向量。（与0的区

别） ③单位向量｜

a0｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a∥b

x1x2(x,y)(x,y)y1y2 1122⑤相等向量记为ab。大小相等，方向相同

2．向量的运算

（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.

如图，已知向量a，b，在平面内任取一点A，作ABa，BCb，则向量AC叫做a与b的

和，记作a+b，即 a+bABBCAC

Caa+bbBDbab三角形法则Aa平行四边形法则a+bCB特殊情况：

abab(1)A

ababAB(2)CCA(3)B

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

..

..

ABBCCDPQQRAR，但这时必须“首尾相连”。

ab ②向量减法： 同一个图中画出ab、要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”

（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点. （3）实数与向量的积

3．两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a。

二．【典例解析】

题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确

(1)零向量没有方向 (2)若 (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段

ab,则ababbca(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若，，则c；

|a||b|(7)若a//b，b//c，则a//c (8) ab的充要条件是且a//b；

(9) 若四边形ABCD是平行四边形,则ABCD,BCDA

→＝2DC→”是“四边形ABCD为梯形”的 练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD中，“ABA、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律 例2 化简(ABCD)(ACBD)=

练习1.下列命题中正确的是 A．OAOBAB B．ABBA0

C．0AB0 D．ABBCCDAD

2.化简ACBDCDAB得

..

..

A．AB B．DA C．BC D．0

3．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则( ) →→→→→→A.AD＋BE＋CF＝0 B.BD－CF＋DF＝0 →→→→→→C.AD＋CE－CF＝0 D.BD－BE－FC＝0

题型三: 结合图型考查向量加、减法

例3在ABC所在的平面上有一点P，满足

PAPBPCAB，则PBC与ABC的面积之比是

( )

1123A．3 B．2 C．3 D．4

例4重心、垂心、外心性质

→

练习: 1．如图，在ΔABC中，D、E为边AB的两个三等分点，CA =3a，→→→CB =2b，求CD ，CE ． 2已知

E D A

ab=ab求证ab

B C

3若O为ABC的内心，且满足

(OBOC)(OBOC2OA)0，则ABC的形状为

（ ）

A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形

→→→

4．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，则OC＝( ) 2→1→1→2→→→→→

A．2OA－OB B．－OA＋2OB C.OA－OB D．－OA＋OB

3333

..

..

→|AB|→→→

5．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA－3OB＋2OC＝0，则等于________．

→|BC|

→→→→

6．已知平面内有一点P及一个△ABC，若PA＋PB＋PC＝AB，则( )

A．点P在△ABC外部 B．点P在线段AB上 C．点P在线段BC上 D．点P在线段AC上

→→→1→→

7．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ等于( )

32112A. B. C．－ D．－ 3333题型四: 三点共线问题

例4 设e1,e2是不共线的向量,已知向量AB2e1ke2,CBe13e2,CD2e1e2,若A,B,D三点共线,求k的值

→→→例5已知A、B、C、P为平面内四点， A、B、C三点在一条直线上 PC =mPA +nPB ，求证： m+n=1．

BCe1e2, CD2e1e2，则下列关系一定成立的练习：1．已知：AB3(e1e2), 是（ ）

A、A，B，C三点共线 B、A，B，D三点共线 C、C，A，D三点共线 D、B，C，D三点共线

→→→

2．(原创题)设a，b是两个不共线的向量，若AB＝2a＋kb，CB＝a＋b，CD＝2a－b，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于________．

第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示 一．【要点精讲】

1．平面向量的基本定理

e如果1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一

..

..

e,aeea1122其中不共线的向量1,e2叫做表示这一平向量，有且只有一对实数12使：

面内所有向量的一组基底.

2．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的_单位向量_ i、j作为基底任作一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得axiyj…………○1，把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y)…………○2其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示 与a相等的向量的坐标也为(x,y)特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0) 特别提醒：设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标

(x,y)也就是向量OA的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示 3．平面向量的坐标运算

（1）若

a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab=(x1x2,y1y2)，ab= (x1x2,y1y2)

a(x,y)和实数，则

（2） 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB （3）若

a(x,y)

4．向量平行的充要条件的坐标表示：设a=(x1, y1) ，b=(x2, y2) 其中ba

a∥b (b0)的充要条件是x1y2x2y10

二．【典例解析】

题型一. 利用一组基底表示平面内的任一向量

A

11OCOA,ODOBC 42[例1] 在△OAB中，，AD与BC交于点M，

设OA=a，OB=b，用a,b表示OM.

O M D

B

练习:1．若已知e1、e2是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )

..

..

A．e1与—e2 B．3e1与2e2 C．e1＋e2与e1—e2 D．e1与2e1 →→→

2．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.

题型二: 向量加、减、数乘的坐标运算 例3 已知A（—2,4）、B（3,—1）、C（—3,—4）且

CM3CA,CN2CB,求点M、N的坐标及向量MN的坐标.

练习:1. (2008年高考辽宁卷)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，→→

且BC＝2AD，则顶点D的坐标为( )

71

A．(2，) B．(2，－) C．(3,2) D．(1,3)

22

MP 2．若M(3, -2) N(-5, -1) 且

12MN, 求P点的坐标；

MP 3．若M(3, -2) N(-5, -1)，点P在MN的延长线上，且 求P点的坐标；

1MN2,

2（－x,x）（x,1）4.(2009年广东卷文)已知平面向量a= ，b=， 则向量ab ( )

A平行于x轴

B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线

C.平行于y轴

→→

5．在三角形ABC中，已知A(2,3)，B(8，－4)，点G(2，－1)在中线AD上，且AG＝2GD， 则点C的坐标是( )

A．(－4,2) B．(－4，－2) C．(4，－2) D．(4,2)

6．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( )

..

..

A．(2,6) B．(－2,6) C．(2，－6) D．(－2，－6)

1→→

7．已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且AC＝2CB，则实数a 等于( )

245

A．2 B．1 C. D. 53题型三: 平行、共线问题

1b(,1sin)2 例4已知向量a(1sin,1)，，若a∥b，则锐角等于（ ）

A．30 B． 45 C．60 D．75

例5．（2009北京卷文）已知向量a(1,0),b(0,1),ckab(kR),dab， 如果c//d那么

( )

A．k1且c与d同向 B．k1且c与d反向 C．k1且c与d同向 D．k1且c与d反向

 练习：1．若向量a=(-1,x)与b=(-x, 2)共线且方向相同，求x

2．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OPOAtAB，

求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限。

(2)四边形OABP能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。

3．已知向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值为( ) 11

A．－1 B．－ C. D．1

22

4．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则等于( ) 11

A．－ B．2 C. D．－2

22

..

mn..

→→→

5．已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(m＋1，m－2)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是( )

1

A．m≠－2 B．m≠ C．m≠1 D．m≠－1

2

6．已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线AC和OB（O为坐标原点）交点P的坐标。

题型四：平面向量综合问题

例6． 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a,b)， n(sinB,sinA)，

p(b2,a2) .

（1） 若m//n，求证：ΔABC为等腰三角形；

（2） 若m⊥p，边长c = 2，角C = 3，求ΔABC的面积 .

1→→1→→→

练习已知点A(－1,2)，B(2,8)以及AC＝AB，DA＝－BA，求点C、D的坐标和CD的坐标．

33

第三讲 平面向量的数量积及应用 一．【要点精讲】

（1）两个非零向量的夹角

已知非零向量a与a，作OA＝a，OB＝b，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角； 说明：两向量的夹角必须是同起点的，范围0≤≤180。

..

..

（2）数量积的概念

C

非零向量a与b， a·b=︱a︱·︱b︱cos叫做a与b的数量积（或内积）。规定0a0；

ab向量的投影：︱b︱cos=|a|∈R，称为向量b在a方向上的投影。投影的绝对值称为射影；

（3）数量积的几何意义： a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积. 注意：⑴只要a⊥b就有a·b=0，而不必a=0或b=0． ⑵由a·b=a·c及a≠0却不能推出b=c．得|a|·|b|cosθ

1

bc=|a|·|c|cosθ2及|a|≠0，只能得到|b|cosθ1=|c|cosθ2，即b、

θ1θ2c在a方向上投影相等，而不能得出b=c(见图)．

⑶ (a·b)c≠a(b·c)，向量的数量积是不满足结合律的．

⑷对于向量a、b，有|a·b|≤|a|·|b|，等号当且仅当a∥b时成立． （4）向量数量积的性质

①向量的模与平方的关系：aaa|a|。 ②乘法公式成立

22aababa2babcosa,b222ab；

ab2a2abba2abbx1x2y1y22222；

③向量的夹角：cos=

（5）两个向量的数量积的坐标运算 已知两个向量

ab=

x1y1x2y22222。

a(x1,y1),b(x2,y2)，则a·b=x1x2y1y2。

..

..

（6）垂直：如果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作a⊥b。

0

两个非零向量垂直的充要条件：a⊥ba·b＝Ox1x2y1y20

22222|a|xya(x,y)|a|xy（7）平面内两点间的距离公式设，则或。 22|a|(xx)(yy)1212 (平面内两点间的距离公式) .

二．【典例解析】

题型一：数量积的概念

例1．判断下列各命题正确与否：

（1）0a0；（2）0a0； （3）若a0,abac，则bc； （4）若abac，则bc当且仅当a0时成立； （5）(ab)ca(bc)对任意a,b,c向量都成立； 题型二. 求数量积、求模、求夹角的简单应用 例2

已知a2，b3，a与b的夹角为120o，求

22（4）ab（）1ab；（2）ab；（3）（2ab）（a3b）；

题型三：向量垂直、平行的判定

例3．已知向量a(2,3)，b(x,6)，且a//b，则x 。 例4．已知

a4,3，

b1,2，mab,n2ab，按下列条件求实数的值。

。

（1）mn；（2）m//n；

(3)mn例5．已知：a 、b、c是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2） （1） 若|c|25，且c//a，求c的坐标；

..

..

5,b2（2）若||=且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角.

练习1 若非零向量、满足

2 在△ABC中，AB=(2, 3)，AC=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角， 求k值

，证明:

1)，b(2 , n)，若|ab|ab，则n（ ） 3．已知向量a(1 , A．3 B．1 C．1 D．3 4.

已知a1，b2，且ab与a垂直，求a与b的夹角。

b5．知a，，m(ππ，63c△ABC的三个内角为

A，，BC的对边，向量

，3，1n)A，(cAossin)．若mn，且acosBbcosAcsinC，则角A，B的

2ππ，36ππ，36ππ，33大小分别为（ ） A．

B．

C．

D．

题型四：向量的夹角

例6已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，求ab与ab的夹角

0练习1已知两单位向量a与b的夹角为120，若c2ab,d3ba，试求c与d的夹角。

..

..

2．| a|=1，| b |=2，c= a+ b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为

（ ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

3．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝( ) A．150° B．120° C．60° D．30°

5

4．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为( )

2A．30°或150° B．60°或120° C．120° D．150°

5.过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若ADxAB，AEyAC，xy0，

11xy的值为（ ） 则

（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

11xy＝3．选B．

解析：取△ABC为正三角形易得

2ba(1,1)，则cos ． 4. 设向量a与b的夹角为，a(3,3)，

→→→→2

5．在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|，则三角形ABC的形状一定是( ) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 .

6已知向量a(sin,2)与b(1,cos)互相垂直，其中（1）求sin和cos的值；

(0,)2．

sin()（2）若

10,0102，求cos的值．

..

..

题型五：求夹角范围

2|a|2|b|0xx例7已知,且关于的方程|a|xab0有实根,则a与b的夹角的取值范

围是

2[,][,][,]A.[0,6] B.3 C.33 D.6

练习1．设非零向量a=x,2x，b=3x,2，且a，b的夹角为钝角，求x的取值范围 2．已知a(,2)，b(3,2),如果a与b的夹角为锐角,则的取值范围是

eeee|e|2|e|12te7e2与3．设两个向量1、2，满足1，2，1、2的夹角为60°，若向量1ete2 的夹角为钝角，求实数t的取值范围. 向量1

与BC 4．如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ的夹角取何值时BPCQ的值最大？并求出这个最大值.

（以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立坐标系）

题型六：向量的模

C a A a3,ab13,boab120例8．已知向量与的夹角为，则等于（ ）

A．5 B．4 C．3 D．1

0练习1平面向量a与b的夹角为60，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |等于

..

（ ）

..

A.3 B.23

C.4

D.12

2．已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，

（1）求证：(ab)⊥c；（2）若|kabc|1(kR)，求k的取值范围.

3．平面向量a,b中，已知a(4,3),|b|1，且ab5，则向量b______. 4．已知|a|=|b|=2，a与b的夹角为60，则a+b在a上的投影为 。

0

5．设向量a,b满足|a||b|1,|3a2b|3，则

6．已知向量a,b的方向相同，且

|3ab| 。

|a|3,|b|7，则|2ab|___ ___。

OAOBOC,NANBNC0ABC7、已知O，N，P在所在平面内，且，且

PAPBPBPCPCPA，则点O，N，P依次是ABC的

A.重心 外心 垂心

C.外心 重心 垂心

题型七：向量的综合应用

B.重心 外心 内心 D.外心 重心 内心

（ )

→→→→

例9．已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上一点P，使AP·BP有最小值，则P点的坐标是________．

|a|

练习1．已知向量a与向量b的夹角为120°，若向量c＝a＋b，且a⊥c，则的值为( )

|b|

..

.. 123A. B. C．2 D.3 23

→→

2．已知圆O的半径为a，A，B是其圆周上的两个三等分点，则OA·AB＝( )

3232 3232A.a B．－aC.a D．－a 2222

→→→→

4．(原创题)三角形ABC中AP为BC边上的中线，|AB|＝3，AP·BC＝－2，则|AC|＝________.

3A3AAA5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知m＝(cos，sin)，n＝(cos，sin)，

2222且满足|m＋n|＝3.

(1)求角A的大小；

15|AC|5，ABAC0，ABC的面积是4，6．在ABC中，若|AB|3，则BAC( )

352(A)6 (B)3 (C)4 (D)6

7．已知O为原点，点A,B的坐标分别为A(a,0)，B(0,a)，其中常数a0，点P在线段AB上，且有APtAB(0t1)，则OAOP的最大值为（ ）

(A)a (B)2a (C)3a (D)a2

33xxa(cosx,sinx)b(cos,sin)22， 22。 8．已知向量

x[0,]2，求ab,|ab|； （1）当

3f(x)ab2m|ab|≥2对一切实数x都成立，求实数m的取值范围。

（2）若

..

..

9. 若正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动，则AP(PBPD)的取值范围

1是 ．[-2，4]

10. 已知a,b是两个互相垂直的单位向量, 且ca1,cb1,|c|2,则对任意的正实数

1|ctab|t,t的最小值是 22 .

各区期末试题

10. 在矩形ABCD中，AB3，BC1，E是CD上一

D E C 点，且AEAB1，则AEAC的值为（ ）

19.如图，点P是以AB为直径的圆O上动点，P是点P关于

A B P AB的对称点，AB2a(a0).

（Ⅰ）当点P是弧AB上靠近B的三等分点时，求APAB的值；

（Ⅱ）求APOP的最大值和最小值.

A O B P （6）如图所示，点C在线段BD上，且BC=3CD，则AD= （ ） （A）3AC2AB （B）4AC3AB

..

DCAB..

4112ACABACAB33（C）3 （D）3

(16) 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,3)，B(5,1)，P(2,1)，点M是直线OP上的一个动点. （Ⅰ）求

PB-PA的值；

（Ⅱ）若四边形APBM是平行四边形，求点M的坐标； （Ⅲ）求MA×MB的最小值.

A3，0B0，3Ccos，sin3已知A、B、C三点的坐标分别为⑵ 若

、、，且

，π23π2.

ACBC，求角的值；

2sin2sin21tan⑵ 若ACBC1，求的值.

2已知二次函数

fx对任意xR，都有

f1xf1x成立，设向量

1asinx，2，b2sinx，，ccos2x，1，d1，2x0，π2，当时，求不等式fabfcd的解集.

2.若点M是ABC所在平面内一点，且满足（ ）

..

AM31ABACS:S43，则ABMABC等于

..

1111 A.2 B. 3 C. 4 D. 5

6.已知O为一平面上的定点，A，B，C为此平面上不共线的三点，若

BC(OBOC2OA)0， 则ABC的形状是 .

3a(sinx,)2，b(cosx,1). 8.已知向量

（1）当a∥b时，求cosxsin2x的值；

2（2）设

x1，

x2f(x)为函数

2(ab)bxx24的两个零点，求1的最小值．

(5)如图，用向量e1，e2表示向量a-b为 (A)-2e 2-4e 1 (B)-4e 2-2e 1 (C)e 2-3e 1 (D)-e 2+3e1

( )

21(12)已知OM=3OA+3OB，设AM=λAB，那么实数λ的

值是____________．

(16)已知向量a=(1，3)，b=(-2，0)．

(Ⅰ)求向量a-b的坐标以及a-b与a的夹角；(Ⅱ)当t∈[-1，1]时，求|a-tb|的取值范围．

..