诗莞市光明中学2020_2021学年高一数学下学期第一次月考试题

广东省东莞市光明中学2020-2021学年高一数学下学期第一次月考试题

考生注意：本卷共四大题，22小题，满分150分,考试时间120分钟．

一、单项选择题：（本大题8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。)

3a－b＝（ ）1.已知平面向量a=(1，1）,b=(1，-1）,则向量1 22 A (-2,1） B （—2，1） C （-1,0） D （-1，2）

2. 若复数(a2—3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为（ ）

A。1 B.2 C.1或2 D.-1 3。 在中，已知，，，则a等于（ ）

A．

B．6

C．

或6 D．

4. 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线。若AB=(2,4）, （1，3），则BD=（ )

AC=

A （-2，4） B (-3，—5） C （3,5） D （-3，—7）

5。下列命题中，不正确的是 （ ）

A．a=a2 B．λ(ab）=a(λb)

b

C．（ab）c=acbc D．a与b共线ab=a126。已知P1（2,3），P2（1，4），且PP2PP，点P在线段P1P2的延长线上，则P点的坐标为

1

（ )

545A．（4，B．（C．(4，5） D．（4，5） ） ，） 33337.设P（3,6）,Q（5,2）,R的纵坐标为9,且P、Q、R三点共线,则R点的横坐标为 （ ）

A．9 B．6 C．9 D．6

8．已知a3，b4,且（a+kb）⊥（akb），则k等于 （ )

334A．4 B． C． D．

5345二、多项选择题：(本大题4小题,每题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求,全选对的给5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分,请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑）

9。已知两点A2,1,B3,1，与AB平行，且方向相反的向量a可能是（ ）

A．a1,2 B．a9,3 C．a1,2 D．a4,8 10。 在ABC中，下列命题正确的是（ )

A．若AB，则sinAsinB

B．若sin2Asin2B，则ABC定为等腰三角形或直角三角形 C．在等边ABC中，边长为2,则角

2

=2

D．若三角形的三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为钝

11.点O在ABC所在的平面内,则以下说法正确的有（ ) A.若OAOBOC0，则点O是ABC的重心。 B.若OA(AC|AC||AB|AB)OB(BC|BC||BA|BA)0，则点

O是ABC的内心.

C。若(OAOB)AB(OBOC)BC0，则点O是ABC的外心。 D.若OAOBOBOCOCOA，则点O是ABC的垂心。 12。在

S△ABC334ABC中,a，b，cB，C分别为角A，

cosBb的对边，已知cosC2ac，

,且b=3,则( )

1 2A．cosBB．cosB3 2C．ac3 D．ac32 三、填空题: （本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把正确的答案写在答题卡对应的位置上．）

13．若向量a的始点为A（－2，4)，终点为B（2，1），则向量a的模为________

14．在△ABC中，已知A=60O,b=4，c=5,则sinB= 。 15．已知e为一单位向量，a与e之间的夹角是120O，而a在e方向上的投影向量为－2e,则a 。

16。一船以15 km/h的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B位于北偏东60°方向，行驶4 h后,船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔间的距离为_________km。

四、解答题, 本大题共6小题,共70分，解答应写出必要的文字

说明、证明过程和演算步骤．

3

17．（本题满分10分）

已知复数z满足(z2)(1i)1i（i为虚数单位）,复数z的虚部为2，

112z1z2

是实数，求z。

218．(本题满分12分)

在△ABC中，已知b＝63,c＝6，C＝30°，求a.

19．（本题满分12分) 已知|a|1，|b|3，ab(

3,1) ,试求:

(1）|ab| （2）ab与ab 的夹角.

20。 （本题满分12分）

已知直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC＝90°,AD＝2,BC＝1，P是腰DC上的动点，求|错误!＋3错误!｜的最小值.

21. (本题满分12分）

据气象台预报，在S岛正东距S岛300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速30°的方向移动，在距台风中心的地区将受到台风的影响.问:S岛

度向北偏西270 km以内是否受其影

4

响？若受到影响,从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多 久？说明理由.

22。 （本题满分12分)

cosC＋错误!·cosA＝在△ABC中，若|错误!|＝2错误!，且错误!·

错误!

·sinB。

(1)

求角B的大小;（2）求

△ABC的面积S.

2020-2021学年度第二学期高一年级第一次月考

数学科试卷

命题人:

考生注意：本卷共四大题，22小题,满分150分，考试时间120分钟．

一、单项选择题：（本大题8小题,每题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求.）

1

3a－b＝（ D ）已知平面向量a=(1,1)，b=(1，-1），则向量1 22 A （—2,1) B (—2，1） C (-1，0） D （—1，2)

5

2。 若复数（a2—3a+2)+（a—1）i是纯虚数，则实数a的值为（ B ）

A.1 B。2 C.1或2 D.—1 3。 在,中，已知，，则a等于（ A )

A．

B．6

C． )

或6 D．

4. 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线。若AB=（2，4），

AC=（1，3)，则BD=( B

A （—2,4) B （-3,—5) C （3，5） D (—3，-7)

5。下列命题中，不正确的是 （ D ）

A．a=a2 B．λ(ab)=a（λb）

C．（ab）c=acbc D．a与b共线ab=a12b

6。已知P1（2，3），P2（1,4），且PP2PP,点P在线段P1P2的延长线上，则P点的坐标为 ( D )

545A．（4,B．(C．(4，（） ,） 5） D．4，5)

33337。设P（3,6），Q（5，2），R的纵坐标为9,且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为 （ D ）

A．9 B．6 C．9 D．6

8．已知a3，b4，且（a+kb）⊥(akb)，则k等于 ( B ）

6

3A．4 B．3 C．5 D．

344 5二、多项选择题：（本大题4小题，每题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求,全选对的给5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分,请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑)

9.已知两点A2,1,B3,1，与AB平行，且方向相反的向量a可能是（ AD ）

A．a1,2 B．a9,3 C．a1,2 D．a4,8 【解析】AB1,2， A选项,

a1,2AB,故满足题意

D选项，a4,84AB，故满足题意 B、C选项中的a不与AB平行故选:AD

10. 在ABC中，下列命题正确的是（ ABD )

A．若AB，则sinAsinB

B．若sin2Asin2B，则ABC定为等腰三角形或直角三角形 C．在等边ABC中，边长为2,则角

11.点O在

ABC =2

D．若三角形的三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为钝

所在的平面内，则以下说法正确的有

（ ABCD ）

A。若OAOBOC0，则点O是ABC的重心。

7

B。若OA(AC|AC||AB|AB)OB(BC|BC||BA|BA)0，则点O是ABC的内心。

C。若(OAOB)AB(OBOC)BC0，则点O是ABC的外心。 D.若OAOBOBOCOCOA，则点O是ABC的垂心。 12。在

ABC中,a，b，c

分别为角A，B，C的对边,已知

cosBb33S,,且cosC2ac△ABC4b=3，则（ AD ）

3 2A．cosB1 2B．cosBC．ac3 D．ac，

32 cosBbsinB【解析】∵cosC2ac2sinAsinC整理可得：sinBcosC2sinAcosBsinCcosB，

可得sinBcosCsinCcosBsinBCsinA2sinAcosB， ∵A

为三角形内角，sinA0，∴cosB3，∵

S△ABC3341,故2A正确,B错误,

∵B0,，∴B∴，且b3,

331133acsinBacac，解得ac3， 4222422由余弦定理得9a2c2acac3acac9， 解得ac32,故C错误，D正确。故选：AD。

三、填空题: （本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把正确的答案写在答题卡对应的位置上．）

13．若向量a的始点为A（－2,4），终点为B（2，1），则向量a的模为___5______

14．在△ABC中,已知A=60O，b=4，c=5，则sinB=

。

8

15．已知e为一单位向量，a与e之间的夹角是120O，而a在e方向上的投影向量为－2e，则a 4 .

16.一船以15 km/h的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B位于北偏东60°方向，行驶4 h后,船到达C这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔间30 km。

解析：如图所示,在△ABC中，AC=15×4=60（km)，∠BAC=30°， ∠ACB=105°，所以∠ABC=45°。

根据正弦定理，得BC=

=

=30（km)。 处，看到的距离为

四、解答题, 本大题共6小题,共70分，解答应写出必要的文字

说明、证明过程和演算步骤．

17．(本题满分10分）

已知复数z满足(z2)(1i)1i（i为虚数单位）,复数z的虚部为2，

112z1z2是实数，求z。

2解

(z12)(1i)1iz12i

： ……………4

分 设z∵

2a2i,aRz1z2R，则zz12(2i)(a2i)(2a2)(4a)i,……………8分

，∴

z242i ……………10分

9

18．(本题满分12分）

在△ABC中，已知b＝6错误!,c＝6,C＝30°,求a.

解：由正弦定理,得错误!＝错误!，得sin B＝错误!＝错误!. ……………4分 因为b>c，所以B〉C＝30°,所以B＝60°或120°. ……………6分

当B＝60°时，A＝90°，a＝错误!＝错误!＝12. ……………9分 当B＝120°时,A＝30°，a＝错误!＝错误!＝6. ……………11分 所以a＝6或12. ……………12分 19．(本题满分12分) 已知|a|1，|b|3，ab(解:由ab(所以a23,1) ，试求:

2(1）|ab| (2)ab与ab 的夹角。

3,1)得ab2,所以

ab(ab)24,……………4分

2abb24， 所以ab0 所以ab2 ……………6分

设ab与ab的夹角为,则

(ab)(ab)a2b2131cos

2|ab||ab||ab||ab|22 ……………11分

所以夹角为120° ……………12分

20。 （本题满分12分）

已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，求｜错误!＋3错误!|的最小值.

［解析］ 以D为原点,分别以DA，DC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设＝x，∴D（0，0），A(2,0），C(0,a),B（1,a），

DC＝a，DPP（0，x)。

10

错误!

＝(2，－x)，错误!＝(1，a－x)，……………4分

∴错误!＋3错误!＝(5，3a－4x）， ……………6分

|错误!＋3错误!｜2＝25＋（3a－4x）2≥25，……………10分

3a

当x＝4时取等号。∴|错误!＋3错误!|的最小值为5。 ……………12分

21。 （本题满分12分)

据气象台预报，在S岛正东距S岛300 km的A处有一台风中心形成,并以每小时30 km的速度30°的方向移动，在距台风中心的地区将受到台风的影响。问:S

向北偏西270 km以内岛是否受其

影响?若受到影响,从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由。

解:如图所示，设台风中心经过t h到达点B,由题意得 ∠SAB=90°—30°=60°. ……………2分

在△SAB中，SA=300,AB=30t,由余弦定理，得 SB2=SA2+AB2—2SA·AB·cos

∠

SAB=3002+(30t)2-2×300×30tcos

60°. ……………6分

若S岛受到台风影响,则应满足条件|SB|≤270,即SB2≤2702，

11

化简整理得t2-10t+19≤0,解得5-≤t≤5+， ……………1`0分

所以从现在起,经过（5—）h S岛开始受到影响,(5+）h后影响结束,持续时间：（5+）—(5-)=2（h)，即S岛受到影响，从现在起经过(5-)h S岛开始受到台风影响，且持续时间为2 h. ……………12分

22。 （本题满分12分）

cosC＋错误!·cosA＝在△ABC中,若｜错误!｜＝2错误!,且错误!·

错误!

·sinB.

（1)求角B的大小；（2)求△ABC的面积S。

[解] (1）因为错误!＝错误!＋错误!,所以错误!·cosC＋错误!·cosA＝

AC，·sinB＝（错误!＋错误!)·sinB，

即(cosC－sinB)错误!＋(cosA－sinB)·错误!＝0. ……………2分

而向量错误!，错误!是两个不共线向量，

所以错误!所以cosC＝cosA， ……………4分

因为A，C∈(0，π)，所以A＝C.在等腰△ABC中，A＋B＋C＝π,所以2A＋B＝π，A＝错误!－错误!.

所以cosA＝cos错误!＝sin错误!＝sinB,所以sin错误!＝2sin错误!cos错误!，因为sin错误!≠0，所以cos错误!＝错误!。综合0<错误!<错误!，所以错误!＝错误!，B＝错误!. ……………6分

（2）由（1）知,则A＝C＝错误!，由正弦定理得，错误!＝错误!，所以

12

→

|错误!｜＝2，…………9分 S

△

ABC

1＝2|

错误!

｜｜

错误!

|sin

错误!

＝

错误!

×2

错误!

×2×

错误!

＝

3. ……………12分

13