北京邮电大学 通信原理2007下册期中考试题及答案

北京邮电大学 2008——2009 学年第 I 学期

《通信原理》期中考试试题(C卷)

一. 某分组码的最小码距是11，请问该码能保证纠多少位错？ 答：2t + 1 ≤ dmin ，t ≤ 5，因此该码可保证纠5比特错。

二．某多径信道的多径时延扩展大致为1µs，问此信道的相干带宽大致是多少？ 1 ≈ 0.16MHz。 答：1MHz，也可答2πτ

三．某系统工作在1GHz频段，系统中收发之间的相对移动速度最大是每小时100公里，求最大多普勒频移。

3 v ×10 m c 3×10 m/s = 0.3m， m = λ，车速答：f v = 100Hz 3600s ≈ 27.8m/s，波长λ = f = 109 8

故此fm ≈ 92.6Hz。

四．某限带白高斯噪声信道的带宽为B = 100kHz，信道输出的信噪功率比是31（是线性值，不是分贝值），此信道每秒钟最多可传输多少比特？ 答: C = B × log2(1 + SNR) = 100 × log2(1 + 31) = 500kbps。

五．已知瑞利平衰落信道中的接收信噪比γ 服从指数分布，其概率密度函数是pγ(x) = e−x, x ≥ 0。求平均信噪比。 答：E[γ] = J ∞ 0

xe−xdx = 1

六． 无记忆二元对称信道（BSC） 的误码率是p， 请写出其信道容量表达式。若p = 1 ，此信道最大能实现的传输速率是每符号多少比特？若p = 1，最大速2 率又是多少？

答：信道容量是C = 1 + p log2 p + (1 − p) log2(1 − p)bit/symbol。 当p = 1 时，C = 0；当p = 1时，C = 1。 2

注意：如果接收端知道收到的比特流有一半的机会是错的，那它就没必要再 去看接收结果了，因为观察信道输出和闭着眼睛瞎猜是一样的；如果接收端知

1

道收到的完全是错的，没有一个bit是例外，那它观察信道的输出就能毫无损失地得到所有信源信息。

七．某离散消息X以等概率取值于四个不相同的实数1、2、3、4。

(1) 求X的熵；

(2) 若Y 是X的函数：Y = min{X, 3} ，求Y 的熵。答：(1)X的熵是2比特。

(2) Y 的可能取值是1、2、3，其概率分布是P (Y = 1) = P (X = 1) = 1 = 2) = 1 4 ，P (Y =

2) = P (X ，P (Y = 3) = P (X = 3) + P (X = 4) = 1 。因此

4

2

1 1 1 1

H(Y ) = −E[log2 P (Y )] = −2 × 4 log2 4 − 2 log2 2

= 1.5bit

八．已知BSC信道的误码率为p，若通过此信道发送N 个比特(N > 22)，求如下事件发生的概率：

(1) 第2、12、22个比特发生了错误，其余正确； (2) N 个比特中总共有3个比特发生了错误；

答: (1)所求概率为P1 = p3(1 − p)N−3；

(2)所求概率为P2 = CN3 P1 = p3(1 − p)N−3C3 N。

九．某信源输出是四进制符号，各符号的出现概率分别为0.5、0.25、0.125、0.125。试用霍夫曼编码方法对该信源进行编码，并求出每个符号的平均编码长度。 答:由下图可知，这四个符号的编码结果是1、01、001、000(或者0、10、110、111)。均编码长度是0.5 × 1 + 0.25 × 2 + 2 ∗ 0.125 × 3 = 1.75bits。

十． 将10路频率范围均在0-4kHz的话音信号各自按最小抽样率抽样后进行A律13折线PCM编码，然后进行时分复用，再通过信道传输。

(1) 复用后的数据速率是多少？

(2) 假设以QPSK传输复用后的数据，若脉冲成形是不归零矩形脉冲，求

此QPSK信号的主瓣带宽；

(3) 假设在复用后的二进制数据流中， 平均每个二进制符号实际的熵

2

平

是H∞ = 0.2bit。将其经过一个理想的信源编码器进行压缩，然后再按(2)中的方式传输，求QPSK信号的主瓣带宽。

答：(1)最小抽样率是8kHz，A律十三折线编码将每个样值编为8bit，故此每路 数据速率是64kbps，10路复用后的总速率是640kbps。

(2) QPSK的符号速率是640/2=320kBaud，因此主瓣带宽是2 × 320 = 640kHz。 (3) 此时平均而言， 每秒发送的640kbits中真正的信息量只有640 × 0.2 =

128kbits，因此经过理想的信源编码后的输出速率是128kbps，相应地，QPSK的 主瓣带宽成为128kHz。

十一． 某高清晰度电视系统（HDTV） 中， 每帧图象需要扫描1080行， 每行有1920个象素，每个象素用3种颜色（红、绿、蓝）表示，每种颜色有256个 灰度等级。该系统每秒传送30帧图象。

(1) 如果不进行任何压缩措施，请问该系统的信息传输速率为多少比特/秒？ (2) 将(1)的结果以最理想的传输方法经过信噪比为30dB的加性白高斯噪声信

道传输，信道带宽至少需要多少？

(3) 现在考虑将图像信号经过压缩编码后再通过2MHz带宽的信道传输（信噪 比仍是30dB），信源编码器的压缩比至少需要是多少？

答：(1)每帧图像含像素1080 × 1920 = 2073600个， 每个像素的灰度等级数 是2563 = 224。因此每帧图像需要的比特数是24 × 207360 ≈ 50Mbits。于是信息传输速率是1500Mbps。

(2)1500 = B log2(1 + 103)，得B ≈ 150MHz。

(3) 给定信噪比时， 信道容量C和带宽B是线性关系， 因此当B缩小为原来

的2 = 1 时，速率也必须缩小这么多。故此所求压缩比为75:1。

150 75

十二．某线性分组码的生成矩阵是

1 1 0 1 0 0 1 1 0 1

0 1 1 1 0

G =

(1) 将G化为系统码形式的生成矩阵（规定只能进行初等行变换，不能做列

交换）；

(2) 写出所有可能的编码结果； (3) 求该码的最小码距； (4) 写出监督矩阵H。

答：(1)从G的大小可以判断出这是一个(5,3)线性分组码。其系统码由3比特信 息位和2比特校验位构成。限定不能做列交换时，可以验证出G的前三列不可

能

3

化为单位阵I (实际上，G的前3列秩为2，不能用高斯消元化求解。而初等行变换的实质是高斯消元法)。系统码也可以是信息位在后（或其他任何位置），假 设信息位在后，则通过初等行变换可得系统码的生成矩阵是

1 0 1 0 0

Gsys =

1 1 0 1 0

1 1 0 0 1

(2) 所有可能的编码结果就是G或Gsys的行的各种组合结果：

00000, 11010, 01101, 01110, 10111, 00011, 10100, 11001

从中挑出末尾是100、010、001的三个码字，用他们组成的生成矩阵就是Gsys。

(3) 线性分组码的最小码距是全零码之外的最小码重，由(2)的结果可知

dmin = 2

(4)Gsys可以写成Gsys = (Q, I)， 其中Q =

1 0

。对于任意的信息分 1 1

1 1

组u，编码结果是c = u × (Q, I)，它满足HcT = 0。因此H × (Q, I)T = 0。将H写成分块矩阵H = (A, B)，其中A有2 列，B有 3列。则

T Q( ) = 0

A, B I

很明显，A = I，B = QT 能满足上述方程，所以

1 0 1 1 1 0 1 0 1 1

从这个结果也可以看出，H有两列相同，所以也可以得到前问中dmin = 2的结果。

H = (I, QT ) =

4