2014 ~2015 学年 第2学期 武汉理工大学 高等数学A(下)期中试卷

武汉理工大学考试试卷（A卷） 2014 ~2015 学年 2 学期 高等数学A（下） 课程 任课教师 ．．．． 80 学时， 5 学分，闭卷，总分100分，占总评成绩 70 %，2015年07月 7日 题号 一 15 得分 一、选择题（本题共5小题，每小题3分） 1、设zfx,y在点(0,0)处的偏导数存在，且fx(0,0)a，fy(0,0)b，则下面结论正 确的是（ ） （A）limx,y0,0…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………二 15 三 48 四 16 五 6 六 合计 100 姓 名 满分 得分 学 号 专业班级 学院 2、直线L:4、设IkDkfx,y存在 （B）fx,y在(0,0)处连续 x0y0（C）dz0,0adxbdy （D）limfx,0与limf0,y都存在且相等 x1yz1与平面:xyz1的关系为( ) 213(A) L在上 (B) L平行于平面但不在平面上 (C) L (D) L与斜交 3、曲线xt，yt，zt在点(1,1,1)处的法平面方程为 ( ) (A) x2y3z6 (B) x2y3z6 (C) x2y3z6 (D) x2y3z6 22D，其中是圆域yx)dxdyDx,yxy1位于第k象k1,2,3,4k23限的部分，则有（ C ） (A) I10 (B) I20 (C) I30 (D) I40 n1n111，则级数15、设un0n1,2,3,，且lim ( ) nun1nunun1(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 收敛性根据所给条件不能确定 1

得分 二、填空题（本题共5小题，每小题3分） 1、微分方程eydxxey2ydy0满足条件y10的特解为 . 2、曲面zxy上与平面2x4yz0平行的切平面方程为 . 3、若函数zzx,y由方程ex2y3z22xyz1确定，则dz0,0 . 4、设有球面:x2y2z2a2(a0)，则x2y2z2dS . 5、已知级数1n1n1an2，a2n15则an . n1n1 得分 三、计算题（本题共6小题，每小题8分） 1、 求通过直线L:2xy3z20的两个相互垂直的平面1和2，使其中一个平面 5x5y4z30通过点4,3,1. 2z2、设函数zf(sinxy,xy)，其中f有二阶连续偏导数，求. xy22 2

3、计算二重积分Ixy2222xy1，x0. ，其中为ln1xydxdyD221xyD x2y2322x1上从4、计算曲线积分：Iyexy1dx2yexydy，其中L为椭圆L2492x3点A(2,0)到点B(0,3)的弧段. 3

5、计算曲面积分I3x2yzdydz3y2xzdzdx3z21dxdy，其中为xoz平面上的曲线z2x2z0绕z轴旋转一周而成，其上法向量与z轴的夹角为锐角。 xn6、求幂级数的收敛区间及其和函数Sx. nn12n0 …………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线………… 4

得分 四、应用题（本题共2小题，每小题8分） 2221. 求旋转椭球面2xyz1 上距离平面2xyz6的最远的点和最近的点，…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………并求出最远距离和最近距离. 2. 求由曲面z x2y2及平面z1所围成的质量分布均匀的物体的质心坐标。 5

分） fxmfx,其中0m1，任取实数a0，定义 anan1绝对收敛. 1 6 得分 五、证明题（本题满分6设fx是在,内的可微函数，且anlnfan1,n1,2,3,,证明：级数n

武汉理工大学考试试卷A参考答案

2014 ~2015 学年 2 学期 高等数学A（下）课程

一、 二、 选择题：D B B B A

填空题:1.xeyy21. 2.2x4yz50. 3.dx12dy. 4.4a3. 5. 8. 33三、

1.解：设过直线L的平面束方程为2xy3z25x5y4z30

即25x5y34z230……2分

平面1：215x15y314z2130，过点4,3,1，

11，从而平面1的方程为：3x4yz10……4分

平面2：225x25y324z2230，12，n1n2

n1n20，23，从而平面2的方程为：x2y5z30……8分

2.解：zxycosxyf12xf2……4分

2z

xycosxyxysinxyf1ycosxyf11xcosxy2yf122xf21xcosxy2yf22cosxyxysinxyf1xycos2xyf112x2y2cosxyf

124xyf22……8分

3.解：由于积分区域关于x对称，故

Iln1x2y2

dxdyD…

…

2

分

21dln12d……201220ln1d12……6分22ln21……8分

4.解：由于

Qx2yex3xy2Py，所以曲线积分与路径无关……2分 I2xy31dx2yex3x2y23AOyexdyy2exxy31dx2yexx2y22OB2dy01dx3202ydy……6分11……8分

7

4分

5.解：曲面:z2x2y2的上侧，补充平面21：z0x2y2下侧，由高斯公式

6x6y6zdxdydz…43x2yzdydz3y2xzdzdx3z21dxdy分

1

6zdxdydz62dzzdxdy62z2z0Ddz8……6分z0

I2213xyzdydz3yxzdzdx3z21dxdy01dxdy2

1DxyI8I16……8分

6.解：liman1nalimn12nnn22n11,收敛半径R2

n2当x2时，级数

1n收敛，当x2时，级数

1发散，收敛区间n0n1n0n12,2..2分 设Sxxnn12n2x2，xSxxn1n2x2n0n0n12

xSxxn12n02n1x2x……5分2xSxx202xdx2ln2xx02ln2xln22ln1x2x22……7分当x0时，Sx2ln1x，2x2，当x0时，S01……8分

x2四、1.解：点x,y,z到平面的距离d162xyz6， 设Lx,y,z,2xyz622x2y2z21……2分

8

，

Lx42xyz64x0L22xyz62y01，解得xyz，xy,zy2L2xyz62z0zL2x2y2z210最远点,,，最远距离dmax1……6分 21211221246， 3最近点,,，最近距离dmin112226…….8分 32.解:设质心坐标为x,y,z，由对称性可知xy0……2分

zzdxdydzdzzdxdy01dxdydzDz13……6分10z3dz133……8分 4五、 证明：由拉格朗日中值定理可知，

fanan1lnfan1lnfan2an1an2，介于an1与an2之间……2分

fanan1fan1an2man1an2fmn1a1a0……4分

又0m1，级数

mn1n1收敛，由比较审敛法可知，级数

anan1n1收敛，……

从而级数

an1nan1绝对收敛……6分

9