2004年陕西省专升本（高等数学）真题试卷 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 5. 综合题 6. 证明题
选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1． 已知
A．无极限
B．有极限但不连续 C．连续但不可导 D．可导
正确答案：D
解析：f’(0+0)=ex=1所以选D.
2． 设函数f(x)满足∫0xf(t)dt=ln(1+x2)，则f(x)=( )． A．B．
则f(x)在x=0处( )．
C． D．2x
正确答案：C
解析：对原式两边同时求一阶导数可得：
3． 积分∫02｜x一1｜dx等于( ). A．0 B．1 C．2 D．
所以选C.
正确答案：B
解析：原式可化为：
4． 设级数
条件收敛，则下列级数中发散的是( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：考察任意项级数的条件收敛性质：若级数发
散，则称级数为条件收敛，所以本题选C.
5． 对微分方程y’’一y’一2y一xe-x，利用待定系数法求其特解y*时，下列特解设法正确的是 ( )．
A．y*=x(Ax+B)e一x B．y*=(Ax+B)e一x C．y*=Axe一x
D．y*=x2(Ax+B)e一x
正确答案：A
解析：原式特征根内λ1=2，λ2=一1，于是相对于原式右边而言有单特征根．所以可设特征根为：y*=x(Ax+B)e-x．故选A.
填空题
6． 已知
正确答案：ln2
=________.
解析：
7． 设z=f(x，y)可微，又y=y(x)可导，则对复合函数
=_________。
正确答案：
解析：由偏导公式可得：
8． 已知x→0时，1一cos2x与
正确答案：a=4
为等价无穷小，则a=_______．
解析：由题意可得：
9． 设极限
，则k=_________．
正确答案：
解析：
10． 二重积分
=_______．
正确答案：1一cos1
解析：观察二重积分被积函数特点，交换积分次序计算比较方便．于是：
综合题
11． 求极限
．
正确答案：
12． 计算积分
．
正确答案：
13． 设z=f(xy，x+y)，其中f(u，v)具有二阶的连续偏导数，求
正确答案：
14． 设参数方程x=arctant，y=ln(1+t2)，试求
正确答案：
15． 计算曲线积∮L(excosy一3y)dx—exsinydy，其中积分路径L为圆周x2+y2=2x的正向．
正确答案：运用格林公式，记圆域x2+y2≤2x为D，则
16． 已知可导函数f(x)满足 正
确
答
案
：
等
式
两
边
对
，求f(x)． x
求
导
，
得
：
17． 求幂级数
的和．
的收敛域及和函数，并求级数
正确答案：
18． 试求函数的单调区间和极值．
正确答案：f’(x)=2x2一6x+4—2(x一1)(x一2)令f’(x)=0，得驻点：x=1，x=2当x∈(一∞，1)U(2，+∞)时，f’(x)＞0，f(x)单调增;当x∈(1，2)时，f’(x)＜0，f(x)单调减；所以，f(x)在x=1取得极大值且且
19． 设函数f(x)满足f(x)=x2－∫01f(x)dx，求f(x)．
f(x)在x=2取得极小值
正确答案：
20． 在曲线
上求平行于平面x+3y+2z=0的切线方程．
正确答案：设平行于平面x+3y+2z=0的在曲线上切线的切点所对应的参数
为t0，则可知在t=t0处切线的方向向量为{t03，t02，t0)．平面的法向量为{1，3，2}，由切线与平面平行，得({t03，t02，t0}.{1，3，2}=0)即t03+3t03+2t0=0解得t0=一2，t0=一1，t2=0(舍去)当t0=一2时，所求切线的方向向量为{一8，4，一
2}，切点为所求切线方程为即
当t0=一1时，所求切线的方向向量为{一1，1，一1}，
切点为所求切线方程为
证明题
21． 设直线y=kx(0＜k＜1)与曲线y=x2以及直线x=1围成两图形，记面积分别为S1和S2，试求k为何值时，S1+S2最小，并求此时S1图形绕x轴旋转
一周所得旋转体的体积．
正
确
答
案
：
求
(0
，
1)
内
交
点
：
kx=x2
→
x=k
22． 设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，存在ε∈(0，1)，使f’(ε)=0．
存在，试证明：
正确答案：又因为f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0所以由罗尔定理知：存在ε∈(0，1)，使f’(ε)=0．
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