高考一轮复习：指数与指数函数

第4讲 指数与指数函数

【2015年高考会这样考】

1．考查指数函数的图象与性质及其应用．

2．以指数与指数函数为知识载体，考查指数的运算和函数图象的应用． 3．以指数或指数型函数为命题背景，重点考查参数的计算或比较大小． 【复习指导】

1．熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是高考得分的保障，所以熟练掌握这一基本技能是重中之重．

2．本讲复习，还应结合具体实例了解指数函数的模型，利用图象掌握指数函数的性质．重点解决：(1)指数幂的运算；(2)指数函数的图象与性质.

基础梳理

1．根式 (1)根式的概念

如果一个数的n次方等于a(n＞1且，n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若x＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N.式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)根式的性质

①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这n

时，a的n次方根用符号a表示．

②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的nn

n次方根用符号a表示，负的n次方根用符号－a表示．正负两个n次方根可n

以合写为±a(a＞0)． nn＝a. ③a

n

④当n为奇数时，an＝a；

n

*

n

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a a≥0

当n为偶数时，a＝ |a|＝.

－a a＜0

nn

⑤负数没有偶次方根． 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念

*

①正整数指数幂：an＝a·a·„·na个 (n∈N)；

②零指数幂：a0＝1(a≠0)；

1

③负整数指数幂：a－p＝p(a≠0，p∈N*)；

a

mnm④正分数指数幂：a＝a(a＞0，m、n∈ N*，且n＞1)；

nm11

⑤负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m、n∈N*且n＞1)．

nmn

a

amn⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q) ②(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q) ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质

y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 值域 性质 R (0，＋∞) 过定点(0,1) x＜0时，0＜y＜1 x＜0时，y＞1. 在(－∞，＋∞)上是减函数 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＞0时，y＞1； 在(－∞，＋∞)上是增函数 我爱学习网http://www.5ixuexi.net 名人名言网http://www.5ixuexi.net/mingyan/

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一个关系

分数指数幂与根式的关系

根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． 两个防范

(1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0＜a＜1和a＞1进行分类讨论． (2)换元时注意换元后“新元”的范围． 三个关键点

画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，1

－1，. a双基自测

1．(2011·山东)若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tan A．0 B.

3

3

aπ

的值为( )． 6

C．1 D.3

解析 由题意有3a＝9，则a＝2，∴tan 答案 D

2．(2012·郴州五校联考)函数f(x)＝2|x－1|的图象是( )．

aππ

＝tan ＝3. 63

2，x≥1，

解析 f(x)＝1x－1故选B.

，x<1，2答案 B

x－1

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1

3．若函数f(x)＝x，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )．

2＋1A．单调递减无最小值 C．单调递增无最大值 解析 设y＝f(x)，t＝2x＋1， 1

则y＝，t＝2x＋1，x∈(－∞，＋∞)

t

t＝2x＋1在(－∞，＋∞)上递增，值域为(1，＋∞)． 1

因此y＝在(1，＋∞)上递减，值域为(0,1)．

t答案 A

14．(2011·天津)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3，则( )． 5A．a＞b＞c C．a＞c＞b

B．b＞a＞c D．c＞a＞b

B．单调递减有最小值 D．单调递增有最大值

101解析 c＝log30.3＝5－log30.3＝5log3，log23.4＞log22＝1，log43.6＜log44＝1，

53log3

10

＞log33＝1， 3

101010

＞log3 ，∴log2 3.4＞log3 ＞log4 3.6 333

又log23.4＞log2

又∵y＝5x是增函数，∴a＞c＞b. 答案 C

11

5．(2012·天津一中月考)已知a＋a－＝3，则a＋a－1＝______；a2＋a－2＝

22________.

11

解析 由已知条件(a＋a－)2＝9.整理得：a＋a－1＝7

22又(a＋a－1)2＝49，因此a2＋a－2＝47. 答案 7 47

考向一 指数幂的化简与求值

【例1】►化简下列各式(其中各字母均为正数)．

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(1)

2－1111a·b－·a－·b3223

6a·b5；

51－212－31(2)a·b·(－3a－b－1)÷(4a·b). 63232

[审题视点] 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键． 1111

a－b·a－b

3223

解 (1)原式＝

15ab661111151

＝a－－－·b＋－＝. 326236a512－31

(2)原式＝－a－b－3÷(4a·b)

263251－13ab－ ＝－a－b3÷3462513

＝－a－·b－ 422515ab ＝－·3＝－. 4ab4ab2 化简结果要求

(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；

(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；

(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂． 【训练1】 计算：

11－271

＋2－(2－1)0； (1)0.027－－－

9237114ab－13

(2)

4－2·－23－31.

0.1ab

2

11－225127

－－(－1)－2解 (1)原式＝

1 00037＋92－1 ＝

105

－49＋－1＝－45. 33

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41·3(2)原式＝242100·a32·a－33344

2·b2·b－2＝25a0·b0＝25

.

考向二 指数函数的性质

【例2】►已知函数f(x)＝1

13ax－1＋2·x(a＞0且a≠1)．

(1)求函数f(x)的定义域； (2)讨论函数f(x)的奇偶性；

(3)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．

[审题视点] 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决．

解 (1)由于ax－1≠0，且ax≠1，所以x≠0. ∴函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}． (2)对于定义域内任意x，有 f(－x)＝1

13a－x－1＋2

(－x)

ax ＝1111－ax＋2(－x)3＝－1－ax－1＋2(－x)3 ＝11ax－1＋2x3＝f(x)，

∴f(x)是偶函数．

(3)当a＞1时，对x＞0，由指数函数的性质知ax＞1， ∴ax－1＞0，

1ax－1＋12

＞0. 又x＞0时，x3＞0，∴x31

1ax－1＋2＞0，

即当x＞0时，f(x)＞0.

又由(2)知f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)， 则当x＜0时，－x＞0，有f(－x)＝f(x)＞0成立． 综上可知，当a＞1时，f(x)＞0在定义域上恒成立． a＜1时，f(x)＝ax＋1x3

当0＜2ax－1.

当x＞0时，1＞ax＞0，ax＋1＞0，

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ax－1＜0，x3＞0，此时f(x)＜0，不满足题意； 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝f(x)＜0，也不满足题意． 综上可知，所求a的取值范围是a＞1.

(1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的

fx

形式，另外，还可利用f(－x)±f(x)，来判断．

f－x

(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立问题的常用方法． exa

【训练2】 设f(x)＝＋－x是定义在R上的函数．

ae

－

(1)f(x)可能是奇函数吗？

(2)若f(x)是偶函数，试研究其在(0，＋∞)的单调性． 解 (1)假设f(x)是奇函数，由于定义域为R， exae－xa

∴f(－x)＝－f(x)，即＋x＝－＋－x，

aeae1

(ex＋e－x)＝0， 整理得a＋a

1

即a＋＝0，即a2＋1＝0显然无解．

a∴f(x)不可能是奇函数．

(2)因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)， exae－xa即＋x＝＋－x， aeae1

(ex－e－x)＝0， 整理得a－a

1

又∵对任意x∈R都成立，∴有a－＝0，得a＝±1.

a当a＝1时，f(x)＝e－x＋ex，以下讨论其单调性， 任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝ex1＋e－x1－ ex2－e－x2 ＝

ex1－ex2ex1＋x2－1

，

ex1＋x2

∵x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，

∴ex1＋x2＞1，ex1－ex2＜0，∴ex1＋x2－1＞0，

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∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， e－xa

∴函数f(x)＝＋－x，

ae

当a＝1时在(0，＋∞)为增函数，

同理，当a＝－1时，f(x)在(0，＋∞)为减函数．

考向三 指数函数图象的应用

ex＋e－x

【例3】►(·山东)函数y＝x－x的图象大致为( )．

e－e

[审题视点] 函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性． e2x＋12

解析 y＝2x＝1＋2x，当x＞0时，e2x－1＞0且随着x的增大而增大，故

e－1e－1y＝1＋

2

＞1且随着x的增大而减小，即函数y在(0，＋∞)上恒大于1且单e2x－1

调递减，又函数y是奇函数，故选A. 答案 A

利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比如：函

ax－1ex－e－x

数y＝x，y＝，y＝lg(10x－1)等．

a＋12

【训练3】 已知方程10x＝10－x，lg x＋x＝10的实数解分别为α和β，则α＋β的值是________．

解析 作函数y＝f(x)＝10x，y＝g(x)＝lg x，y＝h(x)＝10－x的图象如图所示，由于y＝f(x)与y＝g(x)互为反函数，∴它们的图象是关于直线y＝x对称的．又直线y＝h(x)与y＝x垂直，∴y＝f(x)与y＝h(x)的交点A和y＝g(x)与y＝h(x)的交点B是关于直线y＝x对称的．而y＝x与y＝h(x)的交点为(5,5)．又方程10x＝10－x的解α为A点横坐标，同理，β为B点横坐标．∴

α＋β

＝5，即α＋β＝10. 2

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答案 10

难点突破3——如何求解新情景下指数函数的问题

高考中对指数函数的考查，往往突出新概念、新定义、新情景中的问题，题目除最基本问题外，注重考查一些小、巧、活的问题，突出考查思维能力和化归等数学思想．

一、新情景下求指数型函数的最值问题的解法

【示例】► (2011·福建五市模拟)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内

fx，fx≥K，有定义．对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2＋

K，fx＜K，x＋e－x，若对任意的x∈(－∞，＋∞)，恒有fK(x)＝f(x)，则K的最大值为________．

二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法 【示例】► 若f1(x)＝3

|x－1|

，f2(x)＝2·3

|x－a|

f1x，f1x≤f2x，

，x∈R，且f(x)＝则

fx，fx＞fx，212

f(x)＝f1(x)对所有实数x成立，则实数a的取值范围是________．

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