信号与系统课后习题答案—第章完整版

信号与系统课后习题答

案—第章

HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

第1章 习题答案

1－1 题1－1图所示信号中，哪些是连续信号哪些是离散信号哪些是周期信号哪些是非周期信号哪些是有始信号

解： ① 连续信号：图（a）、（c）、（d）； ② 离散信号：图（b）； ③ 周期信号：图（d）；

④ 非周期信号：图（a）、（b）、（c）； ⑤有始信号：图（a）、（b）、（c）。

1－2 已知某系统的输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)=|f(t)|，试判定该系统是否为线性时不变系统。

解： 设T为此系统的运算子，由已知条件可知： y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，以下分别判定此系统的线性和时不变性。 ① 线性 1）可加性

不失一般性，设f(t)=f1(t)+f2(t)，则

y1(t)=T[f1(t)]=|f1(t)|，y2(t)=T[f2(t)]=|f2(t)|，

y(t)=T[f(t)]=T[f1(t)+f2(t)]=|f1(t)+f2(t)|，而 |f1(t)|＋|f2(t)|≠|f1(t)+f2(t)|

即在f1(t)→y1(t)、f2(t)→y2(t)前提下，不存在f1(t)＋f2(t)→y1(t)＋y2(t)，因此系统不具备可加性。

由此，即足以判定此系统为一非线性系统，而不需在判定系统是否具备齐次性特性。 2）齐次性

由已知条件，y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则T[af(t)]=|af(t)|≠a|f(t)|=ay(t) （其中a为任一常数） 即在f(t)→y(t)前提下，不存在af(t)→ay(t),此系统不具备齐次性，由此亦可判定此系统为一非线性系统。

② 时不变特性

由已知条件y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则y(t-t0)=T[f(t-t0)]=|f(t-t0)|， 即由f(t)→y(t)，可推出f(t-t0)→y(t-t0)，因此，此系统具备时不变特性。

依据上述①、②两点，可判定此系统为一非线性时不变系统。 1－3 判定下列方程所表示系统的性质： 解：（a）① 线性 1）可加性

df1(t)ty(t)f1(x)dx即f1(t)y1(t)1df(t)t0dtf(x)dx可得 由 y(t) t0df(t)dty2(t)f2(x)dx即f1(t)y1(t)0dt则

即在f1(t)y1(t)、f2(t)y2(t)前提下，有f1(t)＋f2(t)y1(t)＋y2(t)，因此系统具备可加性。 2）齐次性

由f(t)y(t)即y(t)df(t)tf(x)dx，设a为任一常数，可得 0dt即af(t)ay(t)，因此，此系统亦具备齐次性。

由上述1）、2）两点，可判定此系统为一线性系统。

② 时不变性

df(t)t f(t)y(t) 具体表现为：y(t)f(x)dx

0dt将方程中得f(t)换成f(t-t0）、y(t)换成y(t-t0)（t0为大于0的常数），

df(tt0)tf(xt0)dx 即 y(tt0)0dt设xt0，则dxd，因此y(tt0)df(tt0)tt0f()d t0dtdf(tt0)tt0f(x)dx， 也可写成y(tt0)t0dt只有f(t)在t=0时接入系统，才存在f(tt0)y(tt0)，当f(t)在t≠0

时接入系统，

不存在f(tt0)y(tt0)，因此，此系统为一时变系统。

依据上述①、②，可判定此系统为一线性时变系统。 （b）① 线性 1）可加性

在由y(t)2y(t)3y(t)f(t)f(t2)规定的应关系的前提下，可得

''''f(t)y(t)对

f1(t)y1(t)可推出f1(t)＋f2(t)y1(t)＋y2(t)，系统满足 即由

f2(t)y2(t)可加性。

2）齐次性 由

f(t)y(t)，即y''(t)2y'(t)3y(t)f'(t)f(t2)，两边

同时乘以常数a，有

即af(t)ay(t)，因此，系统具备齐次性。 由1）、2）可判定此系统为一线性系统。 ② 时不变性

分别将y(tt0)和f(tt0)（t0为大于0的常数）代入方程

y''(t)2y'(t)3y(t)f'(t)f(t2) 左右两边，则

d2y(tt0)dy(tt0)23y(tt0) 左边＝2dtdtddddd2y(tt0)y(tt0)， 而 [y(tt0)]2y(tt0)

d(tt0)dtd(tt0)d(tt0)dtd2y(tt0)dy(tt0)23y(tt0)＝左边，故系统具备时不变特 所以，右边＝

dtdt2性。

依据上述①、②，可判定此系统为一线性时不变系统。 （c）① 线性 1）可加性

在由式y''(t)2ty'(t)2y(t)3f(t)规定的

下，可得

即在f1(t)y1(t)、f2(t)y2(t)的前提下，有式

f(t)y(t)对应关系的前提

f1(t)f2(t)y1(t)y2(t)存在，即系统满足可加性。

2）齐次性 由

f(t)y(t)，即y''(t)2ty'(t)2y(t)3f(t)，两边同时乘以常数a，有

ay''(t)2aty'(t)2ay(t)3af(t)[ay(t)]''2t[ay(t)]'2[ay(t)]3[af(t)]，

即有 af(t)ay(t)，因此，系统具备齐次性。 依据上述1）、2），此系统为一线性系统。 ② 时不变性

分别将y(tt0)和f(tt0) （t0为大于0的常数）代入方程

y''(t)2ty'(t)2y(t)3f(t) 左右两边，则

因此，系统是时变的。

依据上述①、②，可判定此系统为一线性时变系统。 （d）① 线性 1）可加性

在由式[y'(t)]2y(t)f(t)规定的

f(t)y(t)对应关系的前提下，可得

而不是：{[y1(t)y2(t)]'}2[y1(t)y2(t)][f1(t)f2(t)] 即在f1(t)y1(t)、f2(t)y2(t)的前提下，并不存在

f1(t)f2(t)y1(t)y2(t)

因此系统不满足可加性，进而系统不具备线性特性。（下面的齐次性判定过程可省略） 2）齐次性 由

f(t)y(t)，即[y'(t)]2y(t)f(t)，两边同时乘以常数a，有

a[y'(t)]2ay(t)af(t)，即式{[ay(t)]'}2[ay(t)][af(t)]不成立，不存在

af(t)ay(t)

因此，系统也不具备齐次性。

单独此结论，也可判定此系统为一非线性系统。 ② 时不变性

分别将y(tt0)和f(tt0) （t0为大于0的常数）代入方程

[y'(t)]2y(t)f(t) 左右两边，则

即以式[y'(t)]2y(t)f(t)规定的

f(t)y(t)关系为前提，存在

f(tt0)y(tt0)

因此，系统是非时变的。

依据上述①、②，可判定此系统为一线性时不变系统。 1－4 试证明方程y'(t)ay(t)f(t)所描述的系统为线性系统。

[提示：根据线性的定义，证明满足可加性和齐次性。] 证明：1）证明齐次性

2）证明可加性

由以上1）、2），可知系统是线性的。

1－5 试证明题1－4的系统满足时不变性。[提示：将方程中的t换为t-t0,导出f(t-t0)与y（t-t0)对应。] 证明： 分别将y(tt0)和f(tt0) （t0为大于0的常数）代入方程y'(t)ay(t)f(t) 左右两边，则

即以式y'(t)ay(t)f(t)规定的

f(t)y(t)关系为前提，存在

f(tt0)y(tt0)

因此，系统满足时不变性。

1－6 试一般性的证明线性时不变系统具有微分特性。[提示：利用时不变性和微分的定义推导。] 证明：

设线性时不变系统的激励与响应的对应关系为由线性可加性可得

f(t)y(t)，则

f(t)f(tt)y(t)y(tt)

f(t)f(tt)y(t)y(tt)因此

tt所以

limt0'f(t)f(tt)y(t)y(tt)lim

ttt0'即 f(t)y(t) 线性时不变系统具有微分特性。 1－7 若有线性时不变系统的方程为y'(t)ay(t)f(t)，若在非零f(t)作用下其响应y(t)1et，试求方程

y'(t)ay(t)2f(t)f'(t)的响应。

解：

已知f(t)y(t)1et，由线性关系的齐次性特性，有 又由线性系统的微分特性，有

再由线性关系的可加性特性，可得