天津市第九十中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题及参考答案

题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题

1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

2．已知点A(a，1)与点B(5，b)关于原点对称，则a、b值分别是( ) A．a=5，b=1

B．a=﹣5，b=1

C．a=﹣5，b=﹣1

D．a=1，b=5

3．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A．x2x10 4B．x2+2x+4=0 C．x2-x+2=0 D．x2-2x=0

4．从正方形铁片上截去2cm宽的一个长方形，剩余矩形的面积为80cm2，则原来正方形的面积为（ ） A．100cm2

B．121cm2

C．144cm2

D．169cm2

5．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（ ） A．y3＜y2＜y1

B．y2＜y1＜y3

C．y3＜y1＜y2

D．y1＜y2＜y3

6．如图，MN是O的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是AN的中点，点B是点B关于MN的对称点，O的半径为1，则AB的长等于（ ）

A．1 C．3 B．2 D．2

7．如图，将△ABC绕顶点A逆时针旋转，得△AB′C′，点C恰好落在B′C′边上．若∠B＝35°，∠CAB′＝40°，则∠BAB′的大小是（ ）

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A．30° B．35° C．40° D．45°

8．抛物线y＝﹣2x2经过平移后得到y＝﹣2（x+3）2﹣4，其平移方法是（ ） A．向右平移3个单位，再向下平移4个单位 B．向右平移3个单位，再向上平移4个单位 C．向左平移3个单位，再向下平移4个单位 D．向左平移3个单位，再向上平移4个单位

9．二次函数y＝x2+bx+3满足当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，则x＝1时，y的值等于（ ） A．﹣8

B．0

C．3

D．8

10．如图，在正方形ABCD内作EAF45，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．将ADF绕点A顺时针旋转90得到ABG．则下列结论一定正确的是（ ）

A．EFCAFD B．AGAE C．AGEAFE D．ABAF

n的值为m11．关于x的一元二次方程x2mxn0m0有两个相等的实数根，则（ ） A．4

B．-4

1C．

41D．

412．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：∠abc＞0；∠2a+b＝0；∠m为任意实数，则a+b＞am2+bm；∠a﹣b+c＞0；∠若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）

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A．∠∠∠ 二、填空题

B．∠∠ C．∠∠ D．∠∠∠

13．方程x2﹣22x＝0的根为________．

14．参加足球联赛的每两个队之间都进行一次比赛，共要比赛36场，共有________个队参加比赛.

15．用配方法将二次函数y＝x2﹣6x+11化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，其结果为_______．

16．若抛物线y3x24xk与x轴没有交点，则k的取值范围为______． 17．二次函数y＝﹣2x2+1的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1≠x2，y1＝y2，当x＝x1+x2时，对应的函数值y＝___．

18．如图，已知Rt∠ACB，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝8，点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE，则CB＝___．在点D运动过程中，CE的最小值为 ___．

三、解答题 19．解方程： （1）（2x+1）2＝9； （2）3x（2x+1）＝2+4x．

20．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．

（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．

21．如图所示，AB是∠O的一条弦，OD∠AB，垂足为E，交∠O于点C、D，

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（1）若∠AOD＝52°，求∠DOB的度数； （2）若AB＝27，ED＝1，求CD的长．

22．某市为响应国家“退耕还林”的号召，改变水土流失严重现状，2016年某地区退耕还林1200亩，计划2018年退耕还林1728亩.求这两年平均每年退耕还林的增长率. 23．某公司在市场销售“国耀2020”品牌手机，第一年售价定为4500元时，销售量为14百万台，根据以往市场调查经验，从第二年开始，手机每降低500元，销售量就增加2百万台，设该手机在市场销售的年份为x年（x为整数）． （1）根据题意，填写下表： 第x年 售价（元） 1 2 3 … x 4500 4000 …

16 …

销售量（百万台） 14

（2）设第x年“国耀2020”手机的年销售额为y（百万元），试问该公司销售“国耀2020”手机在第几年的年销售额可以达到最大？最大值为多少百万元？

（3）若生产一台“国耀2020”手机的成本为3000元，如果你是该公司的决策者，要使公司的累计总利润最大，那么“国耀2020”手机销售 年就应该停产，去创新新的手机．

24．如图，四边形AOBC是正方形，点C的坐标是（42，0）． （∠）正方形AOBC的边长为 ，点A的坐标是 ．

（∠）将正方形AOBC绕点O顺时针旋转45°，点A，B，C旋转后的对应点为A′，B′，C′，求点A′的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；

（∠）动点P从点O出发，沿折线OACB方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q从点O出发，沿折线OBCA方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t秒，当它们相遇时同时停止运动，当∠OPQ为等腰三角形时，求出t的值（直接写出结果即可）．

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25．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（0，3），与x轴交于A，B两点，点A（﹣1，0）．

（I）求该抛物线的解析式；

（∠）D为抛物线对称轴上一点，当∠ACD的周长最小时，求点D的坐标；

（∠）在抛物线上是否存在一点P，使CP恰好将以A，B，C，P为顶点的四边形的面积分为相等的两部分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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参考答案：

1．C 【解析】 【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解即可． 【详解】

解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、不是中心对称图形，但是轴对称图形，故本选项不合题意； C、是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项合题意；

D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】

本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，注意掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．C 【解析】 【分析】

关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 【详解】 由题意，得 a=-5，b=-1， 故选C． 【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 3．D 【解析】 【分析】

答案第1页，共19页

逐一分析四个选项中方程的根的判别式的符号，由此即可得出结论． 【详解】

A.此方程判别式 Δ141210 ，方程有两个相等的实数根，不符合题意; 4B.此方程判别式 Δ22414120, 方程没有实数根，不符合题意; C.此方程判别式 Δ141270 ，方程没有实数根，不符合题意; D .此方程判别式 Δ241040 ，方程有两个不相等的实数根，符合题意; 故答案为： D. 【点睛】

此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根． 4．A 【解析】 【分析】

设正方形的边长是xcm，则所截去的长方形后剩余矩形的宽是（x-2）cm，根据矩形的面积公式列出方程，解方程求得x的值，再求原正方形的面积即可. 【详解】

设正方形的边长是xcm，则所截去的长方形的宽是（x-2）cm， 由题意可得：x（x-2）=80， 解得x=10或-8（不合题意，舍去）， 所以原来的正方形的面积是100cm2. 故选A. 【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解决本题利用已知矩形面积列出方程是解决本题的关键． 5．D 【解析】 【分析】

22答案第2页，共19页

求得抛物线对称轴为直线x＝1，根据抛物线的性质，开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得到答案． 【详解】

解：∠抛物线y＝2x2﹣4x+m，

∠抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣

4＝1， 22∠抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大，

∠点C（﹣3，y3）离对称轴最远，点A（3，y1）离对称轴最近， ∠y1＜y2＜y3． 故选：D． 【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大． 6．B 【解析】 【分析】

如图，连接OB、OB，由题意可得，AON=60，由点B是AN的中点可得AB=BN，即

AOB=BON30，所以BON30，进而得出BOA90， 由勾股定理即可求出

AB的长度．

【详解】

如图，连接OB、OB， 由题意可得，AON=60， 点B是AN的中点，

AB=BN，

AOB=BON30， BON30， BOA90，

2AB=OA2OB′12122．

故选：B．

答案第3页，共19页

【点睛】

本题主要考查圆弧与圆心角之间的关系以及勾股定理的应用，熟记圆的性质并灵活应用是解题关键． 7．A 【解析】 【分析】

由旋转的性质可得∠B＝∠B'＝35°，AC＝AC'，∠CAC'＝∠BAB'，由外角的性质和等腰三角形的性质可得∠C'＝∠ACC'＝75°，由三角形内角和定理可求解． 【详解】

解：∠将∠ABC绕顶点A逆时针旋转，得∠AB′C′， ∠∠B＝∠B'＝35°，AC＝AC'，∠CAC'＝∠BAB'， ∠∠C'＝∠ACC'，

∠∠ACC'＝∠B'+∠CAB'＝35°+40°=75°， ∠∠C'＝∠ACC'＝75°， ∠∠CAC'＝180°-75°-75°=30°， ∠∠BAB'=∠CAC'＝30°． 故选：A． 【点睛】

此题考查旋转的性质，解题关键在于得出∠ACC'＝∠B'+∠CAB'＝75°． 8．C 【解析】 【分析】

由抛物线y＝−2x2得到顶点坐标为（0，0），而平移后抛物线y＝−2（x+3）2−4的顶点坐标为（−3，−4），根据顶点坐标的变化寻找平移方法． 【详解】

答案第4页，共19页

解：根据抛物线y＝−2x2得到顶点坐标为（0，0），

而平移后抛物线y＝−2（x+3）2−4的顶点坐标为（−3，−4）， ∠平移方法为：向左平移3个单位，再向下平移4个单位． 故选C． 【点睛】

本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握相关概念是解题关键． 9．D 【解析】 【分析】

由已知可得对称轴为x＝﹣2，利用二次函数的性质可得b＝4，从而得出二次函数解析式，把x＝1代入，即可得y的值． 【详解】

解：∠二次函数y＝x2+bx+3，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；当x＞﹣2时，y随x的增大而增大， ∠对称轴为x＝﹣2， b∠﹣＝﹣2，

2∠b＝4，

∠二次函数y＝x2+4x+3， 当x＝1时，y＝1+4+3＝8． 故选：D． 【点睛】

本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的增减性得出对称轴，从对称轴入手进行求解是关键． 10．C 【解析】 【分析】

根据旋转的性质可知，∠ADF∠∠ABG，然后即可得到DF=BG，∠DAF=∠BAG，然后根“SAS”可以得到∠EAG∠∠EAF，从而AGEAFE，本题得以解决． 【详解】

答案第5页，共19页

A、B不一定正确； C.由旋转的性质可得， ∠ADF∠∠ABG，

∠DF=BG，∠DAF=∠BAG， ∠∠DAB=90°，∠EAF=45°， ∠∠DAF+∠EAB=45°， ∠∠BAG+∠EAB=45°， ∠∠EAF=∠EAG， 在△EAG和△EAF中，

AGAFEAGEAF， AEAE∠△EAG∠△EAF（SAS）， ∠AGEAFE， 故C正确；

D. ∠AF>AD，AB=AD， ∠AF>AB， 故D错误； 故选C． 【点睛】

本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质，解答本题的关键是证明∠EAG∠∠EAF． 11．C 【解析】 【分析】

根据根的判别式得出△=0，求出m=4n，代入求出即可 【详解】

2解：∠关于x的一元二次方程xmxn0m0有两个相等的实数根，

∠∠=（m）2-4n=0， 解得：m=4n，

答案第6页，共19页

∠

n1= m4故选C． 【点睛】

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 12．C 【解析】 【分析】

根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣

b ＝1，得到b＝﹣2a＞0，2a即2a+b＝0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x＝1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把ax12+bx1＝ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[ab（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，然后把b＝﹣2a代入计

a算得到x1+x2＝2． 【详解】

解：∠抛物线开口向下， ∠a＜0，

∠抛物线对称轴为直线x＝﹣

b＝1， 2a∠b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以∠正确； ∠抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∠c＞0，

∠abc＜0，所以∠错误； ∠抛物线对称轴为直线x＝1， ∠函数的最大值为a+b+c，

∠当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以∠错误； ∠抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1， ∠抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧

答案第7页，共19页

∠当x＝﹣1时，y＜0， ∠a﹣b+c＜0，所以∠错误； ∠ax12+bx1＝ax22+bx2， ∠ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，

∠a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0， ∠（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0， 而x1≠x2，

b∠a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，

a∠b＝﹣2a，

∠x1+x2＝2，所以∠正确． 综上所述，正确的有∠∠． 故选：C． 【点睛】

本题考查了二次函数与系数的关系，掌握二次函数与系数的关系是解题的关键． 13．x10,x222 【解析】 【分析】

利用因式分解法求解一元二次方程即可得答案． 【详解】

解：∠x222x0， ∠x(x22)0， ∠x0或x220， 解得x10，x222， 故答案为：x10，x222． 【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法． 14．9 【解析】

答案第8页，共19页

【分析】

设共有n个队参加比赛，每一个队要比赛的场数为（n-1）场，则总场数为2n（n-1）场，根据总场数=36场建立方程求出其解即可． 【详解】

设有n个队参加比赛，

1n(n1)36， 2解得n18，n29.

答：有9个队参加比赛,故答案为9. 【点睛】

本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据比赛规则的总场数=36建立方程求解即可． 15．y＝（x﹣3）2+2 【解析】 【分析】

化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【详解】

解：y＝x2﹣6x+11＝（x﹣3）2+2． 故答案为：y＝（x﹣3）2+2． 【点睛】

本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x−h）2＋k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x−x1）（x−x2）．

416．k＜−

3【解析】 【分析】

利用根的判别式b2−4ac＜0可得关于 k的不等式，求解即可得出k的取值范围． 【详解】

答案第9页，共19页

解：∠抛物线y3x24xk与x轴没有交点， ∠b2−4ac＜0，

即（−4）2−4×3•（−k）＜0，

4解得k＜−．

34故答案为：k＜−．

3【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键． 17．1 【解析】 【分析】

根据二次函数的性质和已知函数的解析式得出函数的对称轴是y轴，函数的图象关于y轴对称，根据已知条件得出x1+x2＝0，再求出答案即可． 【详解】

解：∠二次函数y＝﹣2x2+1的对称轴是y轴（即直线x＝0），函数的图象关于y轴对称， ∠二次函数y＝﹣2x2+1的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1≠x2，y1＝y2， ∠x1＝﹣x2，即x1+x2＝0，

当x＝x1+x2＝0时，y＝﹣2×02+1＝1， 故答案为：1． 【点睛】

本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够根据题意得到x1＝﹣x2，即x1+x2＝0．

18． 4 23 【解析】 【分析】

以AC为边作正∠AFC，并作FH∠AC，垂足为点H，连接FD、CE，由直角三角形可求BC＝4，AC43，由“SAS”可证∠FAD∠∠CAE，得CE＝FD，CE最小即是FD最小，此时

FDCH【详解】

1AC23，故CE的最小值是23． 2答案第10页，共19页

解：以AC为边作正∠AFC，并作FH∠AC，垂足为点H，连接FD、CE，如图： 在Rt∠ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°， ∠∠BAC＝30°， ∠BC1AB4， 2∠ACAB2BC243 ∠∠AFC，∠ADE都是等边三角形，

∠AD＝AE，AF＝AC，∠DAE＝∠FAC＝60°， ∠∠FAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠FAD＝∠CAE， 在∠FAD和∠CAE中，

ADAEFADCAE， AFAC∠∠FAD∠∠CAE（SAS）， ∠CE＝FD，

∠CE最小即是FD最小，

∠当FD∠BD时，FD最小，此时∠FDC＝∠DCH＝∠CHF＝90°， ∠四边形FDCH是矩形， ∠FDCH1AC23， 2∠CE的最小值是23． 故答案为：4，23．

【点睛】

本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的性

答案第11页，共19页

质．

2119．（1）x1＝﹣2，x2＝1；（2）x1＝﹣2，x2＝

3【解析】 【分析】

（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】

解：（1）∠（2x+1）2＝9， ∠2x+1＝3或2x+1＝﹣3， 解得x1＝﹣2，x2＝1； （2）∠3x（2x+1）＝2+4x， ∠3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0， ∠（2x+1）（3x﹣2）＝0， ∠2x+1＝0或3x﹣2＝0， 21解得x1＝﹣2，x2＝．

3【点睛】

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

3120．（1）见解析；（2）a=2，x1=﹣

2【解析】 【分析】

（1）根据根的判别式即可求解；

（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根． 【详解】

解：（1）∠∠=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4≥0， ∠不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0 得1+a+a﹣2=0，

答案第12页，共19页

解得a=2；

31∠方程为x2+x﹣=0，

221即2x2+x﹣3=0，

3c设另一根为x1，则1×x1==﹣，

a23∠另一根x1=﹣．

2【点睛】

此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系． 21．（1）52°；（2）8 【解析】 【分析】

（1）根据垂径定理得到弧AD＝弧BD，然后根据相等的弧所对的圆心角相等求解； （2）在直角∠AOE中利用勾股定理即可列方程求得半径，则CD即可求得． 【详解】

解：（1）∠OD∠AB， ∠ADBD

∠∠DOB＝∠AOD＝52°； （2）∠OD∠AB，AB27, ∠AEBE1AB7， 2设半径是r，则OEODDE=r1 在直角∠AOE中，OE2+AE2＝OA2， 则(r1)2(7)2r2， 解得r＝4， ∠CD＝2r＝8． 【点睛】

本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理． 22．20% 【解析】

答案第13页，共19页

【分析】

求两年的平均增长率，可以看出这是一个一元二次方程的应用题，设两年的平均增长率为x，那么2018年的面积是2016年面积的 (1+x)²倍，2016年的面积1200乘以倍数 (1+x)²等于2018年的面积.解出一元二次方程组即可得到结果 【详解】

解：设两年的平均增长率为x

1200(1+x)²=1728

解得x=0.2或-2.2（舍去），增长率要大于零

答：这两年的平均每年退耕还林增长率为20% 【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于设未知数，列等式关系. 23．（1）见解析；（2）第二年销售额最大，为64000百万元；（3）四 【解析】 【分析】

（1）根据题意填写表格即可；

（2）由题意得：W＝（2x＋12）（﹣500x＋5000）＝﹣1000（x﹣2）2＋64000，进而求解；

（3）由题意得：（2x＋12）（﹣500x＋5000﹣3000）＝0，通过解方程即可求解． 【详解】

（1）根据题意，填写下表：

第x年 1 2 3 … x ﹣500x＋售价（元） 4500 4000 3500 … 5000 销售量（百14 万台）

（2）由题意得：W＝（2x＋12）（﹣500x＋5000）＝﹣1000（x﹣2）2＋64000， ∠﹣1000＜0，故抛物线开口向下，W有最大值，

16 18 … 2x＋12 答案第14页，共19页

当x＝2（年）时，W最大值为64000（百万元）， 第二年销售额最大，为64000百万元；

（3）由题意得：（2x＋12）（﹣500x＋5000﹣3000）＝0， ﹣1000（x＋1）2＋25000＝0， ∠x1＝4，x2＝﹣6（舍）， ∠第四年该手机应该停产， 【点睛】

本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，解题关键是读懂题意，确定变量，建立函数模型，利用函数的增减性来解答．

24．（1）4，22,22；（2）旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为（3）t16216；【解析】 【分析】

（1）连接AB，根据△OCA为等腰三角形可得AD=OD的长，从而得出点A的坐标，则得出正方形AOBC的面积；

（2）根据旋转的性质可得OA′的长，从而得出A′C，A′E，再求出面积即可；

（3）根据P、Q点在不同的线段上运动情况，可分为三种列式∠当点P、Q分别在OA、OB时，∠当点P在OA上，点Q在BC上时，∠当点P、Q在AC上时，可方程得出t． 【详解】

解：（1）连接AB，与OC交于点D， 四边形AOBC是正方形， ∠△OCA为等腰Rt△， 1∠AD=OD=OC=22，

28. 3∠点A的坐标为22,22.

答案第15页，共19页

4，22,22. （2）如图

∠ 四边形AOBC是正方形， ∠ AOB90，AOC45.

∠ 将正方形AOBC绕点O顺时针旋转45， ∠ 点A落在x轴上. ∠OAOA4. ∠ 点A的坐标为4,0. ∠ OC42，

∠ ACOCOA424.

∠ 四边形OACB，OACB是正方形， ∠ OAC90，ACB90. ∠ CAE90，OCB45. ∠ AECOCB45. ∠ AEAC424.

11 SΔOBCS正方形AOBC428， ∠ 22SΔAEC11ACAE42422224162，

S四边形OAEBSΔOBCSΔAEC 82416216216. ∠ ∠旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为16216. （3）设t秒后两点相遇，3t=16，∠t=∠当点P、Q分别在OA、OB时，

16 3答案第16页，共19页

∠POQ90,OP=t，OQ=2t ∠ΔOPQ不能为等腰三角形

∠当点P在OA上，点Q在BC上时如图2，

当OQ=QP，QM为OP的垂直平分线， OP=2OM=2BQ，OP=t，BQ=2t-4， t=2（2t-4）， 8解得：t=．

3∠当点P、Q在AC上时， ΔOPQ不能为等腰三角形

8综上所述，当t时ΔOPQ是等腰三角形

3【点睛】

此题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定以及旋转的性质，是中考压轴题，综合性较强，难度较大．

25．（I）y＝﹣x2+2x+3；（∠）点D（1，2）；（∠）点P（5，﹣12）． 【解析】 【分析】

（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（0，3），则抛物线的表达式为：＝﹣x2+bx+3，将点A的坐标代入上式，即可求解；

（2）抛物线的对称轴为：x＝1，点A关于函数对称轴的对称点为点B（3，0），连接BC交抛物线的对称轴于点D，则点D为所求，即可求解；

（3）当点P在第一、二象限时，PC是四边形的边，故CP不可能平分以A，B，C，P为顶点的四边形的面积，当点P在第三、四象限时，设点P（m，﹣m2+2m+3），将点P、C的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+n并解得：

答案第17页，共19页

直线PC的表达式为：y＝（2﹣m）x+3，过点A、B分别作CP的等距离的平行线m、n，分别交y轴于点M、N，则点C是MN的中点，即6＝3m﹣6+2﹣m，即可求解． 【详解】

解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（0，3），则抛物线的表达式为：y═﹣x2+bx+3， 将点A的坐标代入上式并解得：b＝2， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）抛物线的对称轴为：x＝1，点A关于函数对称轴的对称点为点B（3，0）， 连接BC交抛物线的对称轴于点D，则点D为所求， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3， 当x＝1时，y＝2， 故点D（1，2）；

（3）当点P在第一、二象限时，PC是四边形的边，故CP不可能平分以A，B，C，P为顶点的四边形的面积，

当点P在第三、四象限时，设点P（m，﹣m2+2m+3）， 将点P、C的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+n并解得： 直线PC的表达式为：y＝（2﹣m）x+3，

过点A、B分别作CP的等距离的平行线m、n，分别交y轴于点M、N，

则直线m的表达式为：y＝（2﹣m）x+k，

将点A的坐标代入上式并解得：k＝3m﹣6，即点M（0，3m﹣6）， 同理可得：点N（0，2﹣m），

答案第18页，共19页

则点C是MN的中点，即6＝3m﹣6+2﹣m， 解得：m＝5， 故点P（5，﹣12）． 【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．

答案第19页，共19页