2011届高考数学 导数及其应用2试题汇编 新人教A版

题组二

一、 选择题 1．（四川省成都市2011届高三理）已知定义域为R的函数f(x)在(8,)上为减函数，且

yf(x8)函数为偶函数，则

A．f(6)f(7) B．f(6)f(9) C. f(7)f(9) D. f(7)f(10)

答案 D.

2.（浙江省杭州市2011届高三文）右图是函数f(x)x2axb的部分图象，则函数

g(x)lnxf(x)的零点所在的区间是

（ ）

11421 (,1)

2

A(,) B(1,2)

D(2,3)

数

答案 B 3．（四川省成都外国语学校2011届高三10月理）已知函

y=log2x的反函数是yf1(x)，则函数yf1(1x)的图象是（ ）

答案 C.

4．（广东省广州东莞五校2011届高三理）函数ycosx的一个单调递增区间为

3A．, B．0, C．,2222x

 D．,2  答案 D.

5. (山西省四校2011届高三文）函数y=log2(x+4)-3零点的个数为（ ）

A．0 答案 C.

B．1

C．2

D．3

6. （浙江省吴兴高级中学2011届高三文）

已知函数f(x)(x23x2)lnx2008x2009，则函数f(x)在下面哪个范围

用心 爱心 专心

- 1 -

内必有零点 ( ) A、(0,1) B、(1,2) C、(2,3) D、(2,4)

答案 B

32

7．（河北省唐山一中2011届高三文）若函数f（x）=ax+bx+cx+d有极值，则导函数f’(x)的图象不可能是 （ ）

yO答案 A.

f'(x)x0yxOf'(x)x1yf'(x)yx2xOf'(x)x2xOx1x0x

ABCD8. (广西桂林中学2011届高三理) 已知函数f(x)的反函数f则函数yf(x1)的图像必经过点（ ）

1(x)图像经过点A(1,0)，

A．(1,1) B. (0,1) C．(1,2) D．(1,1)

答案 A.

9．(河南信阳市函数f(x)的图

2011届高三理）已知二次象如右图所示，则其导函数致

形

状

是

f(x)的图象大

（ ）

用心 爱心 专心

- 2 -

答案 B.

二、 填空题 10．（江苏泰兴2011届高三文） 设函数f(x)x1，对任意的x1,,f(mx)mf(x)0恒成立，则实数m的取值范x围是____________． 答案 m1

11．（江西省上高二中2011届高三理）

x2,x0,已知函数f(x)＝f(x)若f(f(x0))2,则x0＝ ．

2cosx,0x.答案

3π 4

12. (四川省成都外国语学校10-11学年高一）已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x1)(1x)f(x)，则f()的值是 答案 0. 13．（江苏泰兴市重点中学2011届高三理）

已知f(x)lg(x28x7)在(m, m1)上是增函数，则m的取值范围是 ． 答案 1m3

14．（江西省上高二中2011届高三理）若对于任意a∈[－1，1]，函数f(x)＝x＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是 ． 答案 (－∞‚1)∪(3，＋∞)； 三、 解答题 15．（江苏泰兴2011届高三理）（本题满分16分）

已知函数f(x)ax2242bb2 x，g(x)1(xa)2(a,bR)．

2

52 （1）当b0时，若f(x)在(,2]上单调递减，求a的取值范围；

（2）求满足下列条件的所有整数对(a,b)：存在x0，使得f(x0)是f(x)的最大值，

g(x0)是g(x) 的最小值；

（3）对满足（II）中的条件的整数对(a,b)，试构造一个定义在D{x|xR且

x2k,kZ} 上的函数h(x)：使h(x2)h(x)，且当x(2,0)时，h(x)f(x)． 答案 （1）当b0时，fxax24x，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分

若a0，fx4x，则fx在,2上单调递减，符合题意；„„„3分

用心 爱心 专心 - 3 -

若a0，要使fx在,2上单调递减，

a0,必须满足4 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分

2,2a

∴0a1．综上所述，a的取值范围是0,1 „„„„„„„„„„„„„6分 （2）若a0，fx242bb2x，则fx无最大值，„„„„„„„„„7分 故a0，∴fx为二次函数，

a0,要使fx有最大值，必须满足即a0且15b15，„8分 242bb0,242bb此时，x0时，fx有最大值．„„„„„„„„„„„„„„„分

a

又gx取最小值时，x0a，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„分

22依题意，有42bbaZ，则a242bb25b1，„„„„分

a∵a0且15b15，∴0a25aZ，得a1，„„„„„„分 此时b1或b3．

∴满足条件的整数对a,b是1,1,1,3．„„„„„„„„„„„12分 （3）当整数对是1,1,1,3时，fxx22x

h(x2)h(x)，h(x)是以2为周期的周期函数，„„„„„„„„„分

又当x2,0时，,构造h(x)如下：当x2k2,2k,kZ，则， hxhx2kfx2kx2k2x2k，

216．(江西省上高二中2011届高三理）函数f(x)2xa的定义域为(0，1]（a为实数）． x⑴当a1时，求函数yf(x)的值域；

⑵若函数yf(x)在定义域上是减函数，求a的取值范围；

⑶求函数yf(x)在x∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．

故hxx2k2x2k,x2k2,2k,kZ.„

2答案 解：（1）显然函数yf(x)的值域为[22,)； （2）若函数

yf(x)在定义域上是减函数，则任取x1,x2(0.1]且x1x2都有

12)0 f(x1)f(x2) 成立， 即(x1x2)(2xax用心 爱心 专心

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只要a2x1x2即可，由x1,x2(0.1]，故2x1x2(2,0)，所以a2， 故a的取值范围是(,2]；

（3）当a0时，函数yf(x)在(0.1]上单调增，无最小值，当x1时取得最大值2a； 由（2）得当a2时，函数yf(x)在(0.1]上单调减，无最大值， 当x＝1时取得最小值2－a；

2a 当2a0时，函数yf(x)在(0.22a]上单调减，在[,1]上单调增，无最大值， 2 当x2a2 时取得最小值22a．

17．（四川省成都外国语学校2011届高三10月文） （12分）已知函数f(x)2cosxsin(x3（1）求函数f(x)的最小正周期及单调增区间；

)3sin2xsinxcosx。

7（2）若当x[,]时，f(x)的反函数为f1(x)，求f1(1)的值。

1212答案 解：（1）f(x)2sin(2x 增区间[k, （2）令2sin(2x3) T= 2k22x32k2，kZ

5,k]，kZ 121275)1 又x[,] ∴2x ∴x 3121236418.（河南信阳市2011届高三理）本小题满分12分）

 设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x)x0有实数根；

②函数f(x)的导数f(x)满足0f(x)1.” （I）判断函数f(x)xsinx是否是集合M中的元素，并说明理由； 24 （II）集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x) 的定义域为D，则对于任意

[m,n]D,都存在x0[m,n],使得等式f(n)f(m)(nm)f(x0)成立。试用

这一性质证明：方程f(x)x0只有一个实数根；

（III）对于M中的函数f(x),设x1是方程f(x)x0 的实数根，求证：对于f(x)定义

域中任意的x2,x3,当|x2x1|1,且|x3x1|1时,|f(x3)f(x2)|2.

答案 （1）因为f'(x)11cosx, 24所以f'(x)[,]满足条件0f'(x)1.

又因为当x0时,f(0)0，所以方程f(x)x0有实数根0，

1344用心 爱心 专心 - 5 -

所以函数f(x)x2sinx4是集合M中的元素。 „„„„4分

（2）假设方程f(x)x0存在两个实数根,()，

则f()0,f()0,

„„„„5分

不妨设，根据题意存在数c(,)， 使得等式f()f()()f'(c)成立， „„„„7分

因为f(),f(),且,所以f'(c)1

与已知0f'(x)1矛盾,所以方程f(x)x0只有一个实数根；

„„„„9分 （3）不妨设x2x3,因为f'(x)0,所以f(x)为增函数，

所以f(x2)f(x3),

又因为f'(x)10,所以函数f(x)-x为减函数， „„„„10分所以f(x2)x2f(x3)x3,

„„„„11分所以0f(x3)f(x2)x3x2， 即|f(x3)f(x2)||x3x2|

所以|f(x3)f(x2)||x3x2||x3x1(x2x1)||x3x1||x2x1|2.

„„„„12分

用心 爱心 专心 - 6 -