【单元练】2021年高中物理必修2第七章【万有引力与宇宙航行】基础练习(答案解析)(1)

一、选择题

1．甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道。以下判断正确的是（ ） A．甲的角速度小于乙的角速度 C．乙的速度大于第一宇宙速度 解析：A

A．根据万有引力提供向心力

B．甲的加速度大于乙的加速度 D．甲在运行时能经过北京的正上方A

G得

Mm2mr r2GM 3r由甲的高度大于乙的高度，可知甲的角速度小于乙的角速度，A正确； B．根据

G解得

Mmma 2rM r2aG由甲的高度大于乙的高度，甲的加速度小于乙的加速度，B错误；

C．第一宇宙速度是最小的发射速度，是最大的环绕速度，则乙的速度小于第一宇宙速度，C错误；

D．甲为地球同步卫星，轨道平面在赤道的上空，不可能运行时能经过北京的正上方，D错误。 故选A。

2．一宇宙飞船在一个星球表面附近做匀速圆周运动，宇航员要估测星球的密度，只需要测定飞船的（ ） A．环绕半径 解析：C

根据万有引力提供向心力有

2B．环绕速度 C．环绕周期 D．环绕加速度C

Mm2G2mR RT解得

42R3 MGT2星球的密度为

42R32M3GT= 24VR3GT3所以要估测星球的密度，只需要测定飞船的环绕周期。 故选C。

3．2019年1月3日，“嫦娥四号”成为了全人类第一个在月球背面成功实施软着陆的探测器。为了减小凹凸不平的月面可能造成的不利影响，“嫦娥四号”采取了近乎垂直的着陆方式，测得“嫦娥四号”近月环绕周期为T，已知月球半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）

A．“嫦娥四号”着陆前的时间内处于失重状态

B．“嫦城四号”着陆前近月环绕月球做圆周运动的速度为7.9 km/s

4π2RC．月球表面重力加速度g2

TD．月球的密度为解析：C

A．在“嫦娥四号”着陆前的时间内“嫦娥四号”需要做减速运动，处于超重状态，故A错误； B．“嫦娥四号”着陆前近月环绕月球做圆周运动的速度不等于地球的第一宇宙速度7.9 km/s，故B错误；

C．“嫦娥四号”着陆前近月环绕月球做圆周运动时万有引力提供向心力，即：

4πC GT24π2mgm2R

T得

4π2g2R

T故C正确；

D．“嫦娥四号”近月环绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有

Mm4π2G2m2R RT得月球质量

4π2R3 M2GT4MπR3

3月球的密度

故D错误。 故选C。

3π GT24．如图所示为一质量为M的球形物体，质量分布均匀，半径为R，在距球心2R处有一质量为m的质点。若将球体挖去一个半径为

R的小球，两球心和质点在同一直线上，且挖2去的球的球心在原来球心和质点连线外，两球表面相切。已知引力常量为G，则剩余部分对质点的万有引力的大小为（ ）

A．C．

7GMm

36R223GMm

100R2B．D．

11GMm 36R229GMmC

100R2解析：C 根据

4mVr3

3由于挖去的球体半径是原球体半径的的球体质量M'11，则挖去的球体质量是原球体质量的，所以挖去281M，未挖时，原球体对质点的万有引力 8F1GMm 4R2挖去部分对质点的万有引力

F2则剩余部分对质点的万有引力大小

GM'mGMm

(2.5R)250R2FF1F2故ABD错误， C正确。

23GMm

100R2故选C。

5．根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动知识知：太阳对行星的引力F∝对太阳的引力F′∝

m，行星2M，其中M、m、r分别为太阳质量、行星质量和太阳与行星间的距2r离。下列说法正确的是( )

A．F和F′大小相等，是一对作用力与反作用力 B．F和F′大小相等，是一对平衡力 C．F和F′大小相等，是同一个力

D．由F∝解析：A

ABD．根据牛顿第三定律，太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是一对作用力与反作用力，故两个力的大小相等、方向相反，A正确BD错误；

C．太阳对行星的引力受力物体是行星，行星对太阳的引力受力物体是太阳，故两个力不是同一个力，C错误。 故选A。

6．我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，图为探测任务的标识。已知火星的质量约为地球质量的

Mm和F′∝2知F:F′=m:MA 2r11，火星的半径约为地球半径的。下列说法正确的是（ ）

29

A．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间 B．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度

C．火星探测器环绕火星做圆周运动的最大速度约为地球第一宇宙速度的0.5倍 D．探测器环绕火星匀速圆周运动时，其内部的仪器处于受力平衡状态C 解析：C

A．火星探测器最终将摆脱地球的引力束缚，故其发射速度应该大于地球的第二宇宙速度，故A错误； B．根据mgGMm，可知星球表面的重力加速度为 R2gGM R2代入数据可知

g火故B错误；

C．根据第一宇宙速度定义有

4g 9地v2mgm

R解得

vgR 可知

v火故C正确；

2v0.5v地 3地D．探测器环绕火星运行时，其内部的仪器随探测器一起做匀速圆周运动，受到的万有引力提供向心力，不是平衡状态，故D错误。 故选C。

7．2020年7月23日12时41分，我国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥四运载火箭成功发射首次火星探测任务，“天问一号”探测器，火箭成功将探测器送入预定轨道，开启火星探测之旅，迈出了我国行星探测第一步。已知火星质量与地球质量之比为1：10，火星半径与地球半径之比为1:2，若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3:2，下列说法正确的是（ ）

A．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间 B．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度 C．火星与地球绕太阳运动的角速度大小之比为22:33 D．火星与地球绕太阳运动的向心加速大小之比为9:4C 解析：C

A．航天器沿地球表面作圆周运动时必须具备的发射速度，第一宇宙速度，也叫环绕速度；当航天器超过第一宇宙速度达到一定值时，它就会脱离地球的引力场而成为围绕太阳运行的人造行星，这个速度就叫做第二宇宙速度；从地球表面发射航天器，飞出太阳系，到浩瀚的银河系中漫游所需要的最小发射速度，就叫做第三宇宙速度。火星探测器要脱离地球同时不能脱离太阳系，其发射速度应介于地球的第二和第三宇宙速度之间，故A错误；

B．近地卫星运行速度近似等于第一宇宙速度，对于地球的近地卫星，有

Mmv2G2m RR得

v对火星，有

GM RMmv2 G2mRR得

vGMRG1M1GM10v

125RR2故B错误； C．根据GMmm2r得 2r=GMr31 r3已知火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3:2，则火星与地球绕太阳运动的角速度大小之比为

11:22:33 3332故C正确； D．根据GMmma得 2raGM1∝ r2r2已知火星质量与地球质量之比为1:10，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为

3:2，火星与地球绕太阳运动的向心加速大小之比为 11:4:9 3222故D错误。 故选C。

8．2020年7月23日，我国第一个火星探测器“天问一号”成功升空，计划飞行约7个月抵达火星，已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，则火星表面的重力加速度为（ ） A．0.2g 解析：B

B．0.4g

C．2g

D．4gB

根据地球表面的物体万有引力近似等于重力，有

G得

Mmmg 2RGM2 Rg同理，火星表面的重力加速度为

g故选B。

GMG0.1MGM0.40.4g 222RR0.5R9．2020年7月23日，我国火星探测器“天问一号”首次在海南文昌航天发射场由长征五号运载火箭发射升空，随后准确地进入预定地火转移轨道。如图所示为探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示意图，其中轨道I、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆。探测器经轨道I、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道I、Ⅱ、Ⅲ的交点，轨道上的O、P、Q三点与火星中心在同一直线上，O、Q分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点。已知火星的半径为R，

OQ4R，轨道Ⅱ上经过O点的速度为v，关于探测器，下列说法正确的是（ ）

A．沿轨道Ⅰ运动时，探测器与P点连线在相等时间内扫过的面积相等 B．沿轨道Ⅱ的运动周期小于沿轨道Ⅲ的运动周期 C．沿轨道Ⅲ运动时，经过O点的速度大于v

v2D．沿轨道Ⅲ运动时，经过O点的加速度等于D

3R解析：D

A．根据开普勒第二定律可知，在同一轨道上探测器与火星中心的连线在相等的时间内扫过的相等的面积，P点不是火星中心，故A错误。

B．根据开普勒第三定律，轨道半长轴越长周期也越大，所以沿轨道Ⅱ的运动周期大于沿轨道Ⅲ的运动周期，故B错误。

C．在轨道Ⅱ上做匀速圆周运动的速度为v，沿轨道Ⅲ运动时，经过O点时要做近心运动，所以经过O点的速度应该小于v，故C错误。 D．O点到火星中心的距离为

4RR=3R

根据向心力公式可得

mv2ma 3Rv2 a3R故D正确。 故选D。

10．已知太阳系的两个行星A和B的公转轨道半径分别为rA、rB，且rAA．A行星的线速度比B行星的线速度小，即vA由万有引力提供向心力得

GMm42v22m2rmrmma 2rTr可得

GMGMr3 aGM

，，， vT223rrrGM由于rAvA>vB，ωA>ωB，TAaB

故选C。

二、填空题

11．火星半径是地球半径的

11，火星质量是地球质量的，忽略火星的自传，如果地球210上的质量为60Kg的人到火星上去，那么此人在火星表面所受的重力是___________N，在火星表面由于火星的引力产生的加速度是___________m/s2；在地球表面上可举起60Kg杠铃的人，到火星上用同样的力，可举起质量为___________kg的物体。2392150 解析：2 3.92 150

[1][2]人到火星上去后质量不变，仍为60Kg，根据

mg则

GMm R2GM R2g所以

g火g地2M火R地1220.4 2M地R火10所以

g火9.80.4m/s23.92m/s2

人的重力为

mg火603.92N235.2N

[3]在火星表面由于火星的引力产生的加速度是3.92m/s2；在地球表面上可举起60㎏杠铃的人,到火星上用同样的力,可以举起质量为

mmg地602.5kg150kg. g火12．两颗卫星1、2同绕某一行星做匀速圆周运动，周期分别为T1、T2，如图所示是某时刻的位置示意，则经过时间_________两者第一次相距最远，经过时间________两者第一次相距最近。

T1T2T1T2 解析：

2T1T2T1T2[1]行星1比行星2多转动半圈时，第一次相距最远，有

2π2πttπ T1T2解得

tTT12

2(T2T1)[2]行星1比行星2多转动一圈时，第一次相距最近，有

2π'2π'tt2π T1T2解得

t'T1T2 T2T113．若月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a，则在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度为_________。若月球表面的重力加速度值和引力常量已知，还需已知_________，就能得求月球的质量。a月球半径

解析：a 月球半径

[1][2]由于万有引力提供向心力，因此有地球引力产生的加速度即为月球做匀速圆周运动的向心加速度，即地球引力产生的加速度为a。

月球表面的一质量为m的物体受到的万有引力等于在月球上的重力，即

G由此可得

M月mmg月 R月2g月R月2 M月G因此还需要知道月球的半径，即可求得月球的质量。

14．宇宙飞船相对于地面以速度v=0.1c匀速直线运动，c为光速。某时刻飞船头部的飞行员向尾部平面镜垂直发出一个光信号，反射后又被头部接收器收到，飞船仪器记录了光从发射到接受经历时间为t0，则地面观察者观测光被平面镜反射前后的速度______（相等、不等），地面观察者观测光从发射到接受过程经历时间t______t0（大于、等于、小于）相

等大于

解析：相等 大于

[1]根据光速不变原理，地面观察者观测光被平面镜反射前后的速度不变，即平面镜反射前后的速度相等；

[2]飞船仪器记录了光从发射到接受经历时间为t0；在根据相对论时空观，地面观察者观测光从发射到接受过程经历时间t 满足

tt0v212ct00.01c21c2t00.99

即

tt0

15．如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面发射后，以加速度加速运动，升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为发射前压力的

g竖直向上匀217。已知地球半径为18R，则火箭此时离地面的高度为________。（g为地面附近的重力加速度）

解析：

R 2[1]设高度为h时，重力加速度为g，根据牛顿第三定律及平衡条件可知，高h处测试仪器受到的支持力为

FN由牛顿第二定律得

17mg 18g 2FNmgm解得

g由万有引力定律知

4g 9GMmmg 2(Rh)GMmmg R2联立解得

hR 216．假设地球为质量均匀分布的球体。已知地球表面的重力加速度在两极处的大小为g0，在赤道处的大小为g，地球半径为R，则地球自转的周期T为________。

解析：2R g0gMmmg0① 2R2以M表示地球质量，m表示物体质量，根据万有引力与重力的关系，有在两极处有

G在赤道处有

Mm2②G2mgmR RT联立①②式，解得

T2R g0g17．科学家测得一行星A绕一恒星B运行一周所用的时间为1200年，A、B间距离为地球到太阳距离的100倍。设A相对于B的线速度为v1，地球相对于太阳的线速度为v2，则v1:v2=_________，该恒星质量与太阳质量之比为________。1:1225:36 解析：1:12 25:36 [1]行星A绕恒星B运行，有

v1地球绕太阳运行，有

2RAB T1v22R日地 T2因为RAB=100R日地，T1=1200年，T2=1年 所以

v1RABT21001== v2R日地T1120012[2]根据万有引力提供向心力有：

MBMA42GMARAB2

RAB2T1M日M地42GM地R日地2 R日地2T2解得恒星质量与太阳质量之比为

MBRAB3T221003252 32M日T1R日地12003618．若“天宫1号”宇宙飞船的质量为m，距离地面的高度hR (其中R为地球半径)。假设飞船绕地球做匀速圆周运动，地球表面处的重力加速度为g，则“天宫1号”飞船运动的加速度大小为____，旋转周期为____。

解析：

gR2Rh2πRhgR23 ［1］设地球质量为M，在地球表面，可以认为重力等于万有引力，即

mg=G

mM2 R在距离地面的高度h=R的轨道上，飞船绕地球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有

G

“天宫1号”飞船运动的加速度大小为

a=

［2］由于飞船运动的加速度

mMRh2=ma

gR2Rh22

2（R+h）

a= T飞船运动的周期

T=2πRhgR23 19．甲、乙两颗绕地球作匀速圆周运动人造卫星，其线速度大小之比为2：1，则这两颗

卫星的运转半径之比为_____，运转周期之比为________．1：2； 解析：1：2； 1:22

GMmv2根据卫星绕地球做匀速圆周运动由万有引力提供向心力，m，得v2rr2r1v21GM即r2，所以：2；

r2v12vGM，2rT1r1311GMm42r3. 根据，得：，所以周期之比为：mrT23Tr8r2T222GM22【点睛】

该题考查人造卫星的应用，解决本题的关键掌握万有引力提供向心力，知道线速度、周期与轨道半径的关系．

20．经典相对性原理：________规律在任何________中都是相同的．还可以表述为：在一个________内进行的任何力学实验都不能判断这个________是否相对于另一个惯性系做匀速直线运动；或者说，任何惯性参考系都是________的．力学惯性系惯性参考系惯性

系平权

解析：力学 惯性系 惯性参考系 惯性系 平权

经典力学的相对性原理是力学规律在任何惯性系中都是相同的．或者说在一个惯性参考系内进行的任何力学实验都不能判断这个惯性系是否相对于另一个惯性系做匀速直线运动；换言之，经典力学定律在任何一个惯性系中数学形式不变，所有惯性系都是等价（平权）的．

三、解答题

21．木星的卫星“埃欧”是太阳系中火山活动最剧烈的星体，“埃欧”的火山会喷出硫磺、二氧化硫及矽酸盐岩块，如果喷发的岩块竖直初速度为 20 m/s，上升高度可达 100 m。已知“埃欧”的半径为 R＝2000 km，忽略“埃欧”的自转及岩块运动过程中受到稀薄气体的阻力，m2 /kg2，（结果均保留 2 位有效数字）求： 引力常量 G＝6.67×10－11 N·（1）“埃欧”的质量； （2）“埃欧”的第一宇宙速度。

解析：（1）1.210kg；（2）2.0×103 m/s （1）岩块做竖直上抛运动，有

2vt2v02gh

23解得

2v0202gm/s2=2.0m/s2

2h2100忽略“埃欧”的自转，则有

mgG解得

Mm2 RgR22.0200010323 1.210kg。 M kg11G6.6710（2）某卫星在“埃欧”表面绕其做圆周运动时有

2Mmv2G2m RR则

v代入数据解得

GMgR Rv＝2.0×103 m/s。

22．火星可视为半径为r0的均匀球体，它的一个卫星绕火星运行的圆轨道半径为r，周期为T。求：

（1）火星表面的重力加速度；

（2）在火星表面离地h处以水平速度v0抛出的物体，落地时速度多大。（不计火星空气阻力）

42r382r3h2解析：（1）22；（2）v022 Tr0Tr0（1）根据公式

Mm2G2mr rT解得

242r3 GMT2在火星表面

GMmmg r02解得

M42r3gG222

r0Tr0（2）在火星表面离地h处以水平速度v0抛出的物体，落地时竖直方向的速度为

42r32rvy2gh2h222hr TrTr00落地时的速度为

v2v0v2y2v082r3h22 Tr023．木星的卫星之一叫“艾奥”，它上面的珈火山喷出的岩块初速度为18m/s时，上升高度可达90m。已知“艾奥”的半径为R=1800km。忽略“艾奥”的自转及岩块运动过程中受到稀薄

m2/kg2，求： 气体的阻力，引力常量G=6.67×10-11N·(1)“艾奥”的质量； (2)“艾奥”的第一宇宙速度。 解析：(1)8.7×1022kg；(2)1800m/s (1)根据v2=2gh可得

v2182gm/s21.8m/s2

2h290根据

G可得

Mmmg 2RgR21.8(1800103)2Mkg8.71022kg 11G6.6710(2)根据

v2mg=m

R可得

vgR1.81800103m/s1800m/s

24．一组宇航员乘太空穿梭机，去修理位于离地球表面高度为h的圆形轨道上的哈勃太空望远镜H，机组人员驾驶穿梭机S进入与H相同的轨道并关闭推动火箭，而望远镜在穿梭机前方数公里处，如图所示，设G为万有引力常量，M为地球质量。（已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g）

(1)在穿梭机内，一个质量为m1的人站在台秤上，则其示数是多少？ (2)计算轨道上的重力加速度值g； (3)计算穿梭机在轨道上的速率v和周期T。

R2GM(Rh)3 g(3)解析：(1)零；(2)；，2π(Rh)2GMRh解：(1)穿梭机内的人处于完全失重状态，故视重为零。 (2)赤道表面上的物体，忽略向心力，则有

mgGMm R2变形可得

gR2GM

轨道处的重力加速度g，则有

mgG解得

Mm

(Rh)2R2gg 2(Rh)3穿梭机做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有

Mmv24π2Gmm2Rh 2(Rh)RhT解得

vGM Rh(Rh)3 T2πGM25．若已知某星球的质量为M、半径为R，在星球表面某一高度处自由下落一重物，经过t时间落到星球表面，不计星球自转和空气阻力，引力常量为G。试求： （1）该星球的第一宇宙速度v； （2）物体自由下落的高度h。 解析：（1）（1）由

GMGMt；（2）

2R2RGMmmv2 R2R得该星球的第一宇宙速度

v（2）设星球表面重力加速度为g，则有

GM RGMmmg 2Rh12gt 2GMt2 h22R26．某课外小组经长期观测某行星及其周围的一颗卫星，观测发现，卫星绕该行星做匀速圆周运动的轨道半径为r，周期为T，行星的半径为R。已知万有引力常量为G，求：

(1)该行星的平均密度； (2)该行星的第一宇宙速度。

2r3r3 (2)解析：(1)vTGT2R3r RMm22m()r 2rT(1)卫星做圆周运动的向心力由行星对卫星的万有引力提供，则

G解得

42r3 MGT2行星的密度

=解得

M4 R333r3 GT2R3(2)绕行星表面做圆周运动的卫星

2Mm''v G2mRR该行星的第一宇宙速度

vGM2rRTr R27．如图所示，“嫦娥三号”探测器在月球上着陆的最后阶段为：当探测器下降到距离月球表面高度为h时，探测器速度竖直向下，大小为v，此时关闭发动机，探测器仅在重力（月球对探测器的重力）作用下落到月面．已知从关闭发动机到探测器着地时间为t，月球半径为R且h<

（1）月球表面附近重力加速度g的大小； （2）月球的质量M．

2(hvt)2(hvt)R2解析：（1）g；（2）M

t2Gt2（1）探测器在月球表面附近竖直下落，做匀加速直线运动，有

hvt解得月球表面附近重力加速度的大小为

12gt 2g2(hvt) t2Mm 2 R（2）在月球表面附近，探测器和月球之间的万有引力与其重力近似相等，有

mgG月球质量

gR22(hvt)R2 M2GGt28．地球同步卫星在离地面高度为h的上空绕地球做匀速圆周运动，已知地球平均密度为

，地球半径为R，引力常量为G，求：

(1)同步卫星的速度大小；

(2)地球赤道上的物体随地球自转时的加速度大小。

24GR44πρGR解析：(1)；(2)3 3(Rh)3(1)由

v2MmG2m Rr解得

4πρGR2 v3(2)对同步卫星有

G解得

MmRh22mRh

T23Rh T234GR由

232mamR

T解得

4GR4a

3(Rh)3