【单元练】2021年高中物理必修2第七章【万有引力与宇宙航行】经典习题(答案解析)(2)

一、选择题

1．如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）

A．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的速度都相同 B．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同 C．卫星在轨道1的任何位置都具有相同的加速度 D．卫星在轨道2的任何位置都具有相同的速度B 解析：B

A．卫星从轨道1在P点加速才能进入轨道2，则卫星在轨道2上P点的速度大于在轨道1上P点的速度，A错误； B．根据

G解得

Mmma 2rGM r2a可知，不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同，B正确； C．根据

G解得

Mmma 2rGM2 ra可知，卫星在轨道1的不同位置具有的加速度不同，C错误；

D．卫星在轨道2的任何位置都具有相同大小的速度，但是方向不同，D错误。 故选B。

2．如图所示，A为地球表面赤道上的待发射卫星，B为轨道在赤道平面内的实验卫星，C为在赤道上空的地球同步卫星，已知卫星C和卫星B的轨道半径之比为2：1，且两卫星的环绕方向相同，下列说法正确的是（ ）

A．卫星B、C运行速度之比为2：1 B．卫星B的向心力大于卫星A的向心力

C．同一物体在卫星B中对支持物的压力比在卫星C中大 D．卫星B的周期为62hD 解析：D A．根据

GMmv2m r2r知

vGM r所以B、C的运行速度之比为2:1，故A错误；

B．由于不知两卫星质量关系，所以无法比较两卫星向心力大小，故B错误； C．物体在B、C卫星中均处于完全失重状态物体对支持物的压力均为零，故C错误； D．根据

Mm2G2mr rT得

2r3 T2GM所以B、C的运行周期之比为

TBrB32 TCrC34又

TC24h

所以卫星B的周期为62h，故D正确。 故选D。

3．下列说法正确的是（ ）

A．在赤道上随地球一起转动的物体的向心力等于物体受到地球的万有引力 B．地球同步卫星与赤道上物体相对静止，且它跟地面的高度为某一确定的值

C．人造地球卫星的向心加速度大小应等于9.8m/s2 D．人造地球卫星运行的速度一定大于7.9km/sB 解析：B

A．在赤道上随地球一起转动的物体的向心力是物体受到地球的万有引力的一个分力，另一个分力是重力，故A错误；

B．地球同步卫星与赤道上物体相对静止，且它跟地面的高度为某一确定的值，故B正确； C．由

G可知

Mmma 2rGM2 ra则人造地球卫星的向心加速度大小应小于9.8m/s2，故C错误； D．由

Mmv2G2m RR得

vGM7.9km/s R人造地球卫星运行的轨道半径大于R，所以速度一定小于7.9km/s，故D错误。 故选B。

4．假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的半径为（ ）

(g0g)T2A． 24解析：A

(g0g)T2B． 24g0T2C． 24gT2D．A 24在地球两极，物体所受重力等于万有引力，即有

mg0GMm 2R在赤道处，物体所受万有引力和支持力的合力提供向心力，其中支持力的大小等于物体的重力，则有

GMm42mg=m2R 2RT联立解得

(g0g)T2 R42故选A。

5．图甲是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的真实情形，图乙中圆a、b、c的圆心均在地球的自转轴线上，b、c的圆心与地心重合，已知万有引力常量G。关于卫星环绕地球做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）

A．b轨道上卫星的周期比c轨道卫星周期要长 B．同步卫星的轨道可能为a

C．根据c轨道卫星的角速度和线速度能够求出地球的质量 D．根据b轨道卫星的角速度和周期能够求出卫星的质量C 解析：C 【分析】

卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，应用牛顿第二定律求出卫星的周期，然后比较b、c卫星的周期关系；同步卫星在地球赤道平面内，位于赤道正上方；应用万有引力公式与牛顿第二定律分析答题。

A．设地球质量为M，卫星质量为m，卫星做圆周运动的周期为T，轨道半径为r，卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得

G解得

Mm22m()r 2rTr3 T2GM由图示可知，b轨道半径比c轨道半径小，b轨道上卫星的周期比c轨道卫星周期短，故A错误；

B．同步卫星位于赤道平面内，由图示可知，轨道a没有位于赤道平面内，轨道a不可能是同步卫星轨道，故B错误；

C．已知c轨道卫星的角速度与线速度v，卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，根据vr可知求出轨道半径，由

GMmv2mr2r vr可以求出地球的质量，故C正确；

D．已知b轨道卫星的角速度和周期T，角速度

2 T知道角速度可以求出周期，只知道一个量，不能应用万有引力公式与牛顿第二定律求出地球质量，故D错误。 故选C。 【点睛】

本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力、知道同步卫星的特点是解题的前提，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题。

6．2020年7月23日，我国首次火星探测任务“天问一号”在中国文昌航天发射场踏上征程，使中国人探索火星的梦想更进一步。已知火星半径大致是地球的一半，火星质量约为地球的

110，火星绕太阳公转的周期约为地球的2倍，忽略火星和地球自转，则（

A．火星表面的重力加速度约为地球表面的0.2 B．火星绕太阳的轨道半径约为地球的4倍 C．火星表面的第一宇宙速度约为地球的55 D．火星受到太阳的万有引力约为地球的140C 解析：C A．根据

gGMR2 可知

g火MR2火地g地M2=1地R火1022=0.4 火星表面重力加速度为地球的0.4，A错误；

B．根据开普勒第三定律

r3T2k 可知，火星公转轨道半径为地球的34倍，B错误： C．根据

vGMR 可知

）v火v地选项C正确。 D．根据

M火R地M地R火=152= 105F可知，火星受到太阳的引力为地球的

GMm r2F火F地选项D错误。 故选C。

2M火r地2M地r火=11132=3 10(4)10167．某颗中子星的质量为地球质量的a倍，半径为地球半径的b倍，忽略星球自转影响，则该中子星与地球的（ ） A．表面重力加速度比值为B．第一宇宙速度比值为

a b2a bC．同步卫星轨道半径比值为D．密度比值为解析：A

a baA b2A．忽略星球自转影响，在星球表面有

G解得

Mmmg 2RGM R2g所以它们表面重力加速度比值为

a，故A正确； b2B．卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，由向心力公式有

Mmv2G2m RR解得

v所以第一宇宙速度比值为为GM Ra，故B错误； bC．因为不知道两个星球的自转周期，根据题目所给条件无法求出同步卫星轨道半径比值，故C错误； D．由密度公式得

得密度比值为故选A。

M3M V4R3a，故D错误。 b38．嫦娥工程分为三期，简称“绕、落、回”三步走。我国发射的“嫦娥三号”卫星是嫦娥工程第二阶段的登月探测器，该卫星先在距月球表面高度为h的轨道上绕月球做周期为T的匀速圆周运动，再经变轨后成功落月。已知月球的半径为R，引力常量为G，忽略月球自转及地球对卫星的影响。则以下说法正确的是（ ） A．“嫦娥三号”绕月球做匀速圆周运动时的线速度大小为B．物体在月球表面自由下落的加速度大小为C．月球的平均密度为

2R T

234（Rh）TR2232 GTD．在月球上发射月球卫星的最小发射速度为解析：B

2RTRhB RA．“嫦娥三号”卫星绕月球做匀速圆周运动，轨道半径为

rRh

则它绕月球做匀速圆周运动的线速度大小为

v故A错误；

BC．在月球表面，重力等于万有引力，则得

2r2Rh TTGMmmg R2对于“嫦娥三号”卫星绕月球做匀速圆周运动过程，由万有引力提供向心力得

GMm42m(Rh)  2(Rh)T2联立解得月球的质量为

42(Rh)3 MGT2物体在月球表面自由下落的加速度大小为

42(Rh)3 g22TR月球的平均密度为

MM3(Rh)3234VGTR 3 R3故B正确，C错误；

D．设在月球上发射卫星的最小发射速度为v，则有

GMmmv2 2RR解得在月球上发射月球卫星的最小发射速度为

vgR故D错误； 故选B。

2RhRh TR9．如图所示为某卫星绕地球运动的椭圆轨道，F1和F2为椭圆的焦点。卫星由A经B到C点的过程中，卫星的动能逐渐增大，且路程AB与路程BC相等。已知卫星由A运动到B、由B运动到C的过程中，卫星与地心的连线扫过的面积分别为S1和S2.下列说法正确的是（ ）

A．地球位于焦点F1处

C．卫星由A运动到C，引力势能增加 解析：B

B．S1一定大于S2

D．卫星由A运动到C，加速度减小B

A．已知卫星由A经B到C点的过程中，卫星的动能逐渐增大，可知地球的引力对卫星做正功，所以地球位于焦点F2处，故A错误；

B．根据开普勒行星运动定律得卫星由A经B到C点的过程中，卫星的动能逐渐增大，且路程AB与路程BC相等，所以卫星由A到B运动的时间大于由B到C的时间，所以S1一定大于S2，故B正确；

C．已知卫星由A经B到C点的过程中，卫星的动能逐渐增大，可知地球的引力对卫星做正功，所以引力势能减小，故C错误；

D．根据万有引力公式知卫星在A处的引力小于在C处的引力，根据牛顿第二定律可知卫星由A运动到C，加速度增大，故D错误。 故选B。

10．我国北斗系统主要由同步轨道卫星和中圆轨道卫星组成．已知两种卫星的轨道为圆轨

道，中圆轨道卫星的周期为8小时，则（ ） A．中圆轨道卫星的线速度大于7.9km/s

B．中圆轨道卫星的角速度大于地球同步卫星的角速度 C．中圆轨道卫星的轨道半径大于地球同步卫星的轨道半径

D．中圆轨道卫星做圆周运动所需向心力一定大于地球同步卫星所需的向心力B 解析：B

A．第一宇宙速度7.9km/s是地球卫星在轨道上运行的最大速度，所以中圆轨道卫星的线速度小于7.9km/s，故A错误； BC．由

Mm42G2m2r rT得

42r3 TGM故中圆轨道卫星的轨道半径小于地球同步卫星， 又由

G得

Mmm2r 2rGM r3故中圆轨道卫星的角速度大于地球同步卫星的角速度，故B正确C错误； D．因不知道卫星的质量大小，故无法比较两卫星所受向心力的大小，故D错误。 故选B。

二、填空题

11．某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的一半，该星球表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比____________。36：1 解析：36：1

在地球表面附近重力与万有引力近似相等，则有

G解得

Mmmg R2gGMR2

所以

2g星M星R地9361:2 1g地M地R星412．天体飞临某个行星，并进入行星表面的圆轨道飞行，设该行星为一个球体，已经测出该天体环绕行星一周所用的时间为T，那么这颗行星的密度是___________。（已知万有引力常量为G）

解析：

3πGT2

[1]根据万有引力提供向心力得

GMmR2解得

42m2R T42R3 M2GT根据密度公式得

42R32M3GT 24VGTR3313．两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们均以其连线上某一点O为圆心做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示。已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，求双星的运行轨道半径r1________和r2__________及运行周期T___________。

Lm2Lm142L3 解析：

m1m2m1m2Gm1m2[1][2]由双星系统的特点可知

r1＋r2=L

对m1

G

对m2

G

联立解得

r1=

m1m2=m1ω2r1 2Lm1m2=m2ω2r2 2LLm2

m1m2r2=

[3]由于

Lm1

m1m2m1m242G2=m12r1 LTLm2r1= m1m2解得周期

42L3T= G(m1m2)14．如图所示，飞行器P绕某星球做周期为T的匀速圆周运动，星球相对于飞行器的张角为，已知引力常量为G，则该星球的密度为________。

3解析：

GT2sin3

2[1]设星球半径为R，飞行器轨道半径为r，那么根据几何关系有

Rrsin根据万有引力提供向心力有

2

GMm42m2r r2T解得

2GMT r324所以

M3M3M3V4R34r3sin3GT2sin3

22g竖直向上匀215．如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面发射后，以加速度加速运动，升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为发射前压力的

17。已知地球半径为18R，则火箭此时离地面的高度为________。（g为地面附近的重力加速度）

解析：

R 2[1]设高度为h时，重力加速度为g，根据牛顿第三定律及平衡条件可知，高h处测试仪器受到的支持力为

FN由牛顿第二定律得

17mg 18g 2FNmgm解得

g由万有引力定律知

4g 9GMmmg 2(Rh)GMmmg R2联立解得

hR 216．一宇航员站在某质量分布均匀的星球表面的斜坡上的P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为，已知该星球半径为

R，引力常量为G，该星球表面的重力加速度为__________；该星球的密度为

_________；该星球的第一宇宙速度为_____________；人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期为__________。

【分析】由题可知本题考查万有引力定律的应用以及

平抛运动的规律

解析：

Rt2v03vtan2v0tan 0 Rtan 22v0tant2GtRt【分析】

由题可知本题考查万有引力定律的应用以及平抛运动的规律。 [1]设该星球表面的重力加速度为g，根据平抛运动规律，水平方向有

xv0t

竖直方向有

y平抛位移与水平方向的夹角的正切值

12gt 2ygt x2v0tan解得

g[2]在星球表面有

2v0tan tGMmmg 2R解得

gR2 MG该星球的密度

M43R33v0tan2RtG

[3]根据万有引力提供向心力，万有引力等于重力，则有

GMmmv2mg R2R可得

v该星球的第一宇宙速度

GMgR Rv2v0Rtan t[4]绕星球表面运行的卫星具有最小的周期，即

T2RRt2 v2v0tan17．A、B两颗地球卫星绕地球作匀速圆周运动，运转的周期之比为22:1，则两颗卫星的轨道半径之比为______________，加速度之比为___________________。2:11:4 解析：2:1 1:4

[1]人造卫星绕地球做圆周运动受到的万有引力提供向心力得

GMm22m()r 2rT2GMT r324周期之比为T1：T2=22：1，则A．B的轨道半径之比为2：1； [2]根据GMmma得： 2ra=GM2 rA、B的轨道半径之比为2：1，所以向心加速度之比为1：4。

18．2011年11月3日，“神州八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接。任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神州九号”第二次交会对接。变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，对应的角速度和向心加速度分别为1、2和a1、a2，则1:2_____________，

a1:a2____________。

23a1R21R2 解析：

2R13a2R12[1]万有引力提供圆周运动的向心力，根据

GMm2mr， 2r可得：

则：

GM， r331R2； 2R13[2]万有引力提供圆周运动的向心力，根据：

GMmma， 2r可得：

2a1R22。 a2R119．按照爱因斯坦狭义相对论，以速度v运动的物体的相对论质量m（即运动质量）与静止质量m0的关系为

mm0v2．那么速度为7.9km/s的运动火箭的相对论质量m约是静12c止质量m0的________倍；速度为0.9c的运动电子的相对论质量m是静止质量m0的________倍．2294 解析：2.294

[1]．速度为7.9km/s的运动火箭的相对论质量m与静止质量m0的比值：

mm0即

11vc22=1(17.9102)831031

m≈m0

[2] ．速度为0.9c的运动电子的相对论质量m是静止质量m0的

mm0即

1v212c=110.9c20.19， 1()cm=2.294m0.

20．经典相对性原理：________规律在任何________中都是相同的．还可以表述为：在一个________内进行的任何力学实验都不能判断这个________是否相对于另一个惯性系做匀速直线运动；或者说，任何惯性参考系都是________的．力学惯性系惯性参考系惯性

系平权

解析：力学 惯性系 惯性参考系 惯性系 平权

经典力学的相对性原理是力学规律在任何惯性系中都是相同的．或者说在一个惯性参考系内进行的任何力学实验都不能判断这个惯性系是否相对于另一个惯性系做匀速直线运动；换言之，经典力学定律在任何一个惯性系中数学形式不变，所有惯性系都是等价（平权）的．

三、解答题

21．宇宙中有一种双子星，质量分别是m1和m2的两个星球，绕着同一圆心做匀速圆周运动，他们之间的距离恒为L，不考虑其他星体的影响，这两颗星的轨道半径各是多少？

解析：R1m2m1L ，R2L

m1m2m1m2由于万有引力提供向心力，对m1有

G对m2有

m1m22mR1 12Lm1m22mR2 22LR1R2L

G由几何关系有

联立解得

R1m2m1L ，R2L

m1m2m1m222．某同步卫星围绕地球运行的轨道的近似圆形，它的质量为m，已知地球的半径为r，卫星离地面的高度为h，卫星绕地球公转的线速度为v，求： (1)求地球的质量M。

(2)求地球表面的重力加速度g。

v2(rh)v2(rh)解析：（1）M（2）g

r2G（1）根据万有引力定律提供圆周运动向心力有：

mMv2Gm (rh)2rh地球的质量为

v2(rh)M

G（2）忽略自转，地球表面重力与万有引力相等有：

G地球表面的重力加速度为

mMmg 2rv2(rh)g

r223．2007年10月我国发射了绕月运行探月卫星“嫦娥1号”，该卫星的轨道是圆形的，若已知绕月球运动的周期T及月球的半径R，月球表面的重力加速度g月，引力常量为G。求：

(1)月球质量；

(2)探月卫星“嫦娥1号”离月球表面的高度； (3)探月卫星的运行速度。

222g月R2gRT2gR月解析：(1)；(2)3月 R；(3)32G4T(1)由由万有引力的公式

G得

Mmmg月 R2g月R2 MG(2)由月球的万有引力提供向心力得

Mm42Gm2(Rh) (Rh)2T得

222gRTGMT月3h3RR 2244(3)由

v得

2(Rh) T22gR2GM月 v33TT【名师点睛】

该题中已知卫星的运行周期和轨道半径，可求出月球的质量，关键要能正确运用万有引力

提供向心力。

24．火星将成为中国深空探测第二颗星球。2020年4月24日，中国行星探测任务被命名为“天问系列”，预计年内首次发射火星探测器“天问一号”。若火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动N圈，用时为t，已知火星的半径为R，引力常量为G，求： (1)探测器在轨道上运动的周期T； (2)火星的质量M；

(3)火星表面的重力加速度g。

t42R3N242RN2解析：(1)T；(2)；(3) 2NGtt2（1） 探测器在轨道上运动的周期

T（2）根据万有引力提供向心力，有

t NMm42RG2m2 RT得

42R342R3N2 M22GTGt（3）由万有引力提供重力，有

G得

Mmmg R2GM42RN2 g22Rt25．航空航天技术是一个国家综合国力的反映，我国准备2020年发射首个火星探测器，一次实现火星环绕和着陆巡视探测．假设航天员登上火星后进行科学探测与实验，航天员在火星表面以速度v0竖直上拋一小球，经t时间小球返回抛出点。已知火星的半径为R，引力常量为G，不计阻力。 （1）求火星的质量；

（2）求火星的第一宇宙速度大小；

（3）已知火星的自转周期为T，若想让航天器进入火星的同步轨道运行，则航天器应位于火星表面多高处？

2v0R2解析：（1）M；（2）vGt2v0Rv0R2T23；（3）hR 22ttMm＝mg① 2R（1）对火星，由万有引力近似等于重力，有

G

对小球

1v0gt ②

2由①②式联立解得

2v0R2 MGt（2）对航天器，由万有引力提供向心力，有

Mmv2G2＝m③ RR由①②③式联立解得

v2v0R t（3）设航天器的同步轨道半径为r，由万有引力提供向心力，有

Mm42rG2＝m④ 2rT由于

r=R+h⑤

由①④⑤式联立解得

22vRT0h3R 22t26．已知地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，自转周期为T，引力常量为G。如图所示，A为在地面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星，B为地球的同步卫星。 (1)求地球的质量及第一宇宙速度；

(2)若已知地球质量为M，不知道地球表面的加速度g，求卫星A运动的速度大小v； (3)求卫星B到地面的高度h。

2GMgR2GMT解析：(1)，gR；(2)；(3)3R 2RG4π(1)由公式

mg得

GmM R2gR2 MG对卫星A，设其质量为mA，由牛顿第二定律得

GmAMv2mA R2R联立解得

vgR (2)对卫星A，设其质量为mA，由牛顿第二定律得

GmAMv2mA 2RR解得

vGM R(3)对卫星B，设它到地面高度为h，质量为mB，同理

GmBM4π2mB2(Rh) 2(Rh)T解得

2GMTh=3－R 24π27．一宇航员为了估测某一星球表面的重力加速度和该星球的质量，在该星球的表面做自由落体实验：让小球在离地面h高处自由下落，他测出经时间t小球落地，又已知该星球的半径为R，忽略一切阻力，求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的质量。

2h2hR2解析：(1)2；(2)

tGt2(1)根据

h可得该星球表面的重力加速度

12gt 2g(2)在星球表面，万有引力等于重力，则

2h t2G解得

Mmmg R2gR22hR2 M2GGt28．地球上一个昼夜的时间T1（地球自转周期）、一年的时间T2（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离r1，地球中心到太阳中心的距离r2，万有引力常量G，根据以上数据：

(1)你能算出哪个天体的质量？求其质量； (1)若(1)中天体的半径为R，求其密度。

4π2r233πr23(2)解析：(1)太阳的质量；M太 2；

GT2GT22R3(1)地球绕太阳旋转，万有引力提供向心力，则

GM太m地 4π2r2m地 2r2T22所以

4π2r23M太2 GT2所以可以计算出太阳的质量，质量为

42r23M太

GT22(2)球体体积V43πR，则太阳的密度 34π2r23M太GT223πr23 234VπR3GT2R3