灵山县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知f（x）=4+ax﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是（ ） A．（1，5） B．（1，4） C．（0，4） D．（4，0）
2． 已知x∈R，命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（ ） A．0
B．1
C．2
D．3
3． 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，则集合{0，1}可以表示为（ ） A．M∪N
B．（?UM）∩N C．M∩（?UN） D．（?UM）∩（?UN）
，若z=ax﹣y（a＞0）取得最大值的最优解有数多个，则实数a
4． 设x，y满足线性约束条件的值为（ ） A．2
B．
C．
D．3
5． 已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）
6． 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（ ） A．90种 B．180种
C．270种
D．540种
7． 如图，棱长为的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E,F是侧面对角线BC1,AD1上一点，若 BED1F 是菱形，则其在底面ABCD上投影的四边形面积（ ） A．
3?2213 B． C. D． 4224π，则a，b，c的大小关系是（ ）
8． 已知a=log23，b=8﹣0.4，c=sin
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
9． 给出下列两个结论：
①若命题p：?x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：?x∈R，x2+x+1≥0；
②命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0没有实数根，则m≤0”；
则判断正确的是（ ） A．①对②错
B．①错②对
C．①②都对
D．①②都错
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精选高中模拟试卷
10．5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（ ） A．35
B．
C．
D．53
11．已知复数z满足zi=1﹣i，（i为虚数单位），则|z|=（ ） A．1
B．2
C．3
D．
D．（0，1）
12．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ） A．（0，+∞）
B．（0，2） C．（1，+∞）
二、填空题
13．数据﹣2，﹣1，0，1，2的方差是 ． 14．函数y=1﹣
（x∈R）的最大值与最小值的和为 2 ．
15．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函
kk+1
数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）?（2，2）”；其中所有正确
结论的序号是 ．
?x2?1,x?0x16．已知函数f(x)??，g(x)?2?1，则f(g(2))? ，f[g(x)]的值域为 ．
?x?1,x?0【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 17．过抛物线y2=4x的焦点作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则|AB|等于 ． 18．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为 ．
三、解答题
x2y2
19．（本小题满分12分）椭圆C：2＋2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，A，B
ab
1
是C的长轴上的两个顶点，已知|PF|＝1，kPA·kPB＝－.
2
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（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的中心O的直线l交椭圆于M，N两点，求三角形PMN面积的最大值，并求此时l的方程．
20．在平面直角坐标系xOy中，过点C(2,0)的直线与抛物线y?4x相交于点A、B两点，设
2A(x1,y1)，B(x2,y2)．
（1）求证：y1y2为定值；
（2）是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程 和弦长，如果不存在，说明理由．
21．已知函数f（x）=
和直线l：y=m（x﹣1）．
（1）当曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l垂直时，求原点O到直线l的距离； （2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范围； （3）求证：ln
＜
+
（n∈N）
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22．某实验室一天的温度（单位：
）随时间（单位;h）的变化近似满足函数关系；
(1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于
，则在哪段时间实验室需要降温？
23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3． （1）当a=2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（2）设a＞，且当x∈[，a]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
24．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲． 已知函数f（x）＝|x＋1|＋2|x－a2|（a∈R）． （1）若函数f（x）的最小值为3，求a的值；
（2）在（1）的条件下，若直线y＝m与函数y＝f（x）的图象围成一个三角形，求m的范围，并求围成的三角形面积的最大值．
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灵山县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A
x1
【解析】解：令x﹣1=0，解得x=1，代入f（x）=4+a﹣得，f（1）=5，
则函数f（x）过定点（1，5）． 故选A．
2． 【答案】C
22
【解析】解：命题“若x＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x＞0”，是真命题； 2
否命题是“若x≤0，则x≤0”，是真命题； 2
逆否命题是“若x≤0，则x≤0”，是假命题；
综上，以上3个命题中真命题的个数是2． 故选：C
3． 【答案】B
【解析】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}， ∴?UM={0，1}， ∴N∩（?UM）={0，1}， 故选：B．
【点评】本题主要考查集合的子交并补运算，属于基础题．
4． 【答案】B
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=ax﹣y（a＞0）得y=ax﹣z， ∵a＞0，∴目标函数的斜率k=a＞0． 平移直线y=ax﹣z，
由图象可知当直线y=ax﹣z和直线2x﹣y+2=0平行时，当直线经过B时，此时目标函数取得最大值时最优解只有一个，不满足条件．
当直线y=ax﹣z和直线x﹣3y+1=0平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，满足条件． 此时a=． 故选：B．
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5． 【答案】C
【解析】解：∵f（x）=﹣log2x， ∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0， 满足f（2）f（4）＜0，
∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，
故选：C
6． 【答案】D
1212
【解析】解：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：C3C6C2C4=540种． 故选D．
7． 【答案】B 【解析】
试题分析：在棱长为的正方体ABCD?A1B1C1D1中，BC1?AD1?2，设AF?x，则2?x?1?x2，2322?，即菱形BED1F的边长为2?，则BED1F在底面ABCD上的投影四边形是底边44433为，高为的平行四边形，其面积为，故选B. 44解得x?考点：平面图形的投影及其作法. 8． 【答案】B
0.41.2
【解析】解：1＜log23＜2，0＜8﹣=2﹣
，sinπ=sinπ，
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∴a＞c＞b， 故选：B．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据对数函数，指数函数以及三角函数的图象和性质是解决本题的关键．
9． 【答案】C
【解析】解：①命题p是一个特称命题，它的否定是全称命题，￢p是全称命题，所以①正确．
②根据逆否命题的定义可知②正确． 故选C．
【点评】考查特称命题，全称命题，和逆否命题的概念．
10．【答案】D
3【解析】解：每一项冠军的情况都有5种，故5名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是 5，
故选：D．
【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题．
11．【答案】D
【解析】解：∵复数z满足zi=1﹣i，（i为虚数单位）， ∴z=∴|z|=故选：D．
【点评】本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目．
12．【答案】D
22
【解析】解：∵方程x+ky=2，即
=﹣i﹣1，
=
．
表示焦点在y轴上的椭圆
∴故0＜k＜1
故选D．
【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．
二、填空题
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13．【答案】 2 ．
【解析】解：∵数据﹣2，﹣1，0，1，2， ∴=
，
222222
∴S= [（﹣2﹣0）+（﹣1﹣0）+（0﹣0）+（1﹣0）+（2﹣0）]=2，
故答案为2；
【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数，是一道基础题；
14．【答案】2
【解析】解：设f（x）=﹣
，则f（x）为奇函数，所以函数f（x）的最大值与最小值互为相反数，
即f（x）的最大值与最小值之和为0． 将函数f（x）向上平移一个单位得到函数y=1﹣的最大值与最小值的和为2． 故答案为：2．
【点评】本题考查了函数奇偶性的应用以及函数图象之间的关系，奇函数的最大值和最小值互为相反数是解决本题的关键．
15．【答案】 ①②④ ．
【解析】解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x． ∴f（2）=0．f（1）=f（2）=0． ∵f（2x）=2f（x），
kk
∴f（2x）=2f（x）．
的图象，所以此时函数y=1﹣（x∈R）
①f（2m）=f（2?2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，故正确； ②设x∈（2，4]时，则x∈（1，2]，∴f（x）=2f（）=4﹣x≥0． 若x∈（4，8]时，则x∈（2，4]，∴f（x）=2f（）=8﹣x≥0． …
mm+1
一般地当x∈（2，2），
m+1
∈（1，2]，f（x）=2﹣x≥0，
则
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从而f（x）∈[0，+∞），故正确；
③由②知当x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0，
nn+1nnn
∴f（2+1）=2﹣2﹣1=2﹣1，假设存在n使f（2+1）=9， nn
即2﹣1=9，∴2=10，
∵n∈Z，
n
∴2=10不成立，故错误；
④由②知当x∈（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x单调递减，为减函数， ∴若（a，b）?（2，2
k
k+1
）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确．
故答案为：①②④．
16．【答案】2，[?1,??). 【
解
析
】
17．【答案】 6 ．
2
【解析】解：由抛物线y=4x可得p=2． 设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵线段AB的中点M的横坐标为2，∴x1+x2=2×2=4． ∵直线AB过焦点F， ∴|AB|=x1+x2+p=4+2=6． 故答案为：6．
【点评】本题考查了抛物线的过焦点的弦长公式、中点坐标公式，属于基础题．
18．【答案】 3+
．
【解析】解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式． 前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个， 即
个，
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因此第n行第3个数是全体正整数中第3+即为3+故答案为：3+
．
．
个，
三、解答题
19．【答案】 【解析】解：
（1）可设P的坐标为（c，m）， c2m2
则2＋2＝1， ab
b2
∴m＝±，
a∵|PF|＝1 ，
即|m|＝1，∴b2＝a，①
又A，B的坐标分别为（－a，0），（a，0），
1
由kPA·kPB＝－得
2
22bbaa11·＝－，即b2＝a2，②
22c＋ac－a
由①②解得a＝2，b＝2，
x2y2∴椭圆C的方程为＋＝1.
42
1
（2）当l与y轴重合时（即斜率不存在），由（1）知点P的坐标为P（2，1），此时S△PMN＝×22×2＝
2
2.
x2k2x22
当l不与y轴重合时，设其方程为y＝kx，代入C的方程得＋＝1，即x＝±，
422
1＋2k
2k
∴y＝±，
2
1＋2k即M（
21＋2k
2
，2k1＋2k
2
），N（－21＋2k
2
，
－2k1＋2k
2
），
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∴|MN|＝ ＝4?4?2?4k?2?2?＋?2? 1＋2k1＋2k????
，
1＋k21＋2k2
|2k－1|11
点P（2，1）到l：kx－y＝0的距离d＝，∴S△PMN＝|MN|d＝·
22
k2＋14
1＋k2|2k－1|
· 1＋2k2k2＋1
2k2＋1－22k
1＋2k2
|2k－1|＝2·＝2
2
1＋2k＝2
22k1－， 1＋2k2
22k22k
当k＞0时，≤＝1，
1＋2k222k此时S≥0显然成立， 当k＝0时，S＝2.
－22k1＋2k2
当k＜0时，2≤2＝1， 1＋2k1＋2k当且仅当2k2＝1，即k＝－
2时，取等号． 2
此时S≤22，综上所述0≤S≤22. 22
即当k＝－时，△PMN的面积的最大值为22，此时l的方程为y＝－x.
2220．【答案】（1）证明见解析；（2）弦长为定值，直线方程为x?1. 【解析】
（2）根据两点间距离公式、点到直线距离公式及勾股定理可求得弦长为?4(1?a)x1?8a?4a ，进而得
2a?1时为定值.
?my?x?2,试题解析：（1）设直线AB的方程为my?x?2，由?2
?y?4x,第 12 页，共 16 页
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得y?4my?8?0，∴y1y2??8， 因此有y1y2??8为定值．111]
2x1?2y1,)，AC?(x1?2)2?y12， 22111因此以AC为直径圆的半径r?AC?(x1?2)2?y12?x12?4，E点到直线x?a的距离
222x?2d?|1?a|，
2x?21222(x1?4)?(1?a)2?x12?4?(x1?2?2a)2 所以所截弦长为2r?d?242（2）设存在直线：x?a满足条件，则AC的中点E(??4(1?a)x1?8a?4a2．
当1?a?0，即a?1时，弦长为定值2，这时直线方程为x?1．
考点：1、直线与圆、直线与抛物线的位置关系的性质；2、韦达定理、点到直线距离公式及定值问题. 21．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：由f（x）=∴
，得
，
，于是m=﹣2，直线l的方程为2x+y﹣2=0．
；
，也就是
，
原点O到直线l的距离为
+∞）fx）≤m（Ⅱ）解：对于任意的x∈[1，，（（x﹣1）恒成立，即设
，即?x∈[1，+∞），g（x）≤0成立．
．
①若m≤0，?x使g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾； ②若m＞0，方程﹣mx2+x﹣m=0的判别式△=1﹣4m2， 当△≤0，即m
时，g′（x）≤0，
∴g（x）在（1，+∞）上单调递减， ∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立．
2
当0＜m＜时，方程﹣mx+x﹣m=0的两根为x1，x2（x1＜x2），
，，
当x∈（x1，x2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0与题设矛盾．
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综上所述，m；
成立．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当x＞1，m=时，不妨令∴ln
，
， （k∈N）．
*
∴． ．
…
．
累加可得：即ln
＜
（n∈N）．
*
*
，（n∈N）．
【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了利用导数证明函数表达式，对于（Ⅲ）的证明，引入不等式
是关键，要求考生具有较强的逻辑思维能力和灵活变形能力，是
压轴题．
22．【答案】
【解析】（1）∵f（t）=10﹣∴当
≤t+
t+=
＜
，故当
t+
=
=10﹣2sin（
t+
），t∈[0，24），
时，函数取得最大值为10+2=12，
时，函数取得最小值为10﹣2=8，
故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃。
（2）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（
t+
），
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由10﹣2sin（23．【答案】
t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即 ≤t+＜，
解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温。
【解析】解：（1）由|2x﹣1|+|2x+2|＜x+3，得： ①
得x∈?； 得0＜x≤；
②
③得…
…
综上：不等式f（x）＜g（x）的解集为（2）∵a＞，x∈[，a]， ∴f（x）=4x+a﹣1…
由f（x）≤g（x）得：3x≤4﹣a，即x≤依题意：[，a]?（﹣∞，∴a≤
即a≤1…
]
．
∴a的取值范围是（，1]…
24．【答案】
【解析】解：（1）f（x）＝|x＋1|＋2|x－a2|
??
＝?－x＋2a＋1，－1＜x＜a， ??3x－2a＋1，x≥a，
2
2
2
2
－3x＋2a2－1，x≤－1，
当x≤－1时，f（x）≥f（－1）＝2a2＋2， －1＜x＜a2，f（a2）＜f（x）＜f（－1）， 即a2＋1＜f（x）＜2a2＋2， 当x≥a2，f（x）≥f（a2）＝a2＋1，
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所以当x＝a2时，f（x）min＝a2＋1，由题意得a2＋1＝3，∴a＝±2. （2）当a＝±2时，由（1）知f（x）＝ －3x＋3，x≤－1，??
?－x＋5，－1＜x＜2， ??3x－3，x≥2，
由y＝f（x）与y＝m的图象知，当它们围成三角形时，m的范围为（3，6]，当m＝6时，围成的三角形面积
1
最大，此时面积为×|3－（－1）|×|6－3|＝6.
2
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