灵山县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B．
C．
D．
2． 若双曲线﹣
=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，则此双曲线的离心率等于（ A．
B．
C．
D．2
3． 对“a，b，c是不全相等的正数”，给出两个判断： ①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≠0；②a≠b，b≠c，c≠a不能同时成立，
下列说法正确的是（ ）
A．①对②错
B．①错②对
C．①对②对 D．①错②错
4． i是虚数单位，i2015等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
5． 数列﹣1，4，﹣7，10，…，（﹣1）n
（3n﹣2）的前n项和为Sn，则S11+S20=（ ）
A．﹣16
B．14
C．28
D．30
6． 若f?x?是定义在???,???上的偶函数，?x1,xf?x2??f?x1?2??0,????x1?x2?，有x?0，则
2?x1（ ）
A．f??2??f?1??f?3? B．f?1??f??2??f?3? C．f?3??f?1??f?2? D．f?3??f??2??f?1? 7． 下列说法正确的是（ ） A．类比推理是由特殊到一般的推理 B．演绎推理是特殊到一般的推理 C．归纳推理是个别到一般的推理 D．合情推理可以作为证明的步骤
8． 已知向量a?(m,2)，b?(?1,n)（n?0），且a?b?0，点P(m,n)在圆x2?y2?5上，则
|2a?b|?（ ）
A．34 B． C．42 D．329． 过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（ ）
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） 精选高中模拟试卷
A．x﹣2y+7=0 B．2x+y﹣1=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=0 ，则f（﹣2）等于（ ）
10．已知偶函数f（x）满足当x＞0时，3f（x）﹣2f（）=A．
B．
C．
D．
11．若A（3，﹣6），B（﹣5，2），C（6，y）三点共线，则y=（ ） A．13
12．曲线y=
B．﹣13
C．9
D．﹣9
在点（1，﹣1）处的切线方程为（ ）
A．y=x﹣2 B．y=﹣3x+2 C．y=2x﹣3 D．y=﹣2x+1
二、填空题
13．如图，一船以每小时20km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为 km．
?y?2x?14．设x,y满足约束条件?x?y?1，则z?x?3y的最大值是____________．
?y?1?0?15．已知函数f（x）=xm过点（2，），则m= ．
16．已知直线l：ax﹣by﹣1=0（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1），则ab的最大值是 ．
17．圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长为12cm，内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖．A点正对面的外壁（不是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少 cm．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）
18．若“x＜a”是“x2﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件，则a的取值范围为 ．
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三、解答题
?3x?a19．【淮安市淮海中学2018届高三上第一次调研】已知函数f?x??x?1.
3?bx（1）当a?b?1时，求满足f?x??3的x的取值；
（2）若函数f?x?是定义在R上的奇函数
①存在t?R，不等式ft2?2t?f2t2?k有解，求k的取值范围； ②若函数g?x?满足f?x????g?x??2???求实数m的最大值.
20．在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ2﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为
（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的普通方程；
（t为参数）．
????1?x3?3x，若对任意x?R，不等式g?2x??m?g?x??11恒成立，3??（Ⅱ）设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，求这条切线长的最小值．
21．若点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现． 落在上述区域的概率？
（1）点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M（x，y）
22
（2）试求方程x+2px﹣q+1=0有两个实数根的概率．
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22．在直角坐标系xOy中，过点P（2，﹣1）的直线l的倾斜角为45°．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极
2
坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsinθ=4cosθ，直线l和曲线C的交点为A，B．
（1）求曲线C的直角坐标方程； （2）求|PA|?|PB|．
23．如图，已知椭圆C：
+y2=1，点B坐标为（0，﹣1），过点B的直线与椭圆C另外一个交点为A，且
线段AB的中点E在直线y=x上 （Ⅰ）求直线AB的方程
（Ⅱ）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，证明：OM?ON为定值．
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24．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc． （Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）如果cosB=，b=2，求a的值．
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灵山县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D 【解析】
因为，有可能为负值，所以排除A，C，因为函数故选D
答案：D
2． 【答案】B
【解析】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，
22
圆（x﹣2）+y=2的圆心（2，0），半径为
为减函数且，所以，排除B，
，
双曲线可得：
﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，
， a，
22
可得a=b，c=
e==．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．
3． 【答案】A
【解析】解：由：“a，b，c是不全相等的正数”得：
①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2中至少有一个不为0，其它两个式子大于0， 故①正确； 故②错． 故选A．
但是：若a=1，b=2，c=3，则②中a≠b，b≠c，c≠a能同时成立，
【点评】本小题主要考查不等关系与不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力．属于基础题．
4． 【答案】D
2015503×4+33
=i=﹣i， 【解析】解：i=i
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故选：D
【点评】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．
5． 【答案】B
n
【解析】解：∵an=（﹣1）（3n﹣2），
∴S11=（=﹣16，
）+（a2+a4+a6+a8+a10）
=﹣（1+7+13+19+25+31）+（4+10+16+22+28） S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20） =﹣（1+7+…+55）+（4+10+…+58） =﹣=30， 故选：B．
+
∴S11+S20=﹣16+30=14．
【点评】本题考查数列求和，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和等差数列的性质的合理运用．
6． 【答案】D 7． 【答案】C
【解析】解：因为归纳推理是由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；合情推理的结论不一定正确，不可以作为证明的步骤， 故选C．
【点评】本题考查合情推理与演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
8． 【答案】A 【解析】
考点：1、向量的模及平面向量数量积的运算；2、点和圆的位置关系. 9． 【答案】A
【解析】解：由题意可设所求的直线方程为x﹣2y+c=0
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∵过点（﹣1，3） ∴x﹣2y+7=0 故选A． 2y+c=0．
10．【答案】D
代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7
【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x﹣
【解析】解：∵当x＞0时，3f（x）﹣2f（）=…①，
∴3f（）﹣2f（x）=①×3+③×2得： 5f（x）=故f（x）=
， ，
=…②，
又∵函数f（x）为偶函数， 故f（﹣2）=f（2）=故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中根据已知求出当x＞0时，函数f（x）的解析式，是解答的关键．
11．【答案】D
【解析】解：由题意，∵
∥故选D．
，
=（﹣8，8），=（3，y+6）．
，∴﹣8（y+6）﹣24=0，∴y=﹣9，
【点评】本题考查三点共线，考查向量知识的运用，三点共线转化为具有公共点的向量共线是关键．
12．【答案】D
【解析】解：y′=（
）′=
，
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∴k=y′|x=1=﹣2．
l：y+1=﹣2（x﹣1），则y=﹣2x+1． 故选：D
二、填空题
13．【答案】
【解析】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°， 在△ABC中，根据正弦定理得：BC=则这时船与灯塔的距离为故答案为
．
海里．
=
海里，
14．【答案】【解析】
试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点A?,7 37?12?处取得最大值为. ?3?33?第 9 页，共 16 页
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考点：线性规划． 15．【答案】 ﹣1 ．
【解析】解：将（2，）代入函数f（x）得： =2m， 解得：m=﹣1； 故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式问题，是一道基础题． 16．【答案】
．
【解析】解：∵直线l：ax﹣by﹣1=0（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1）， ∴a+b﹣1=0，即a+b=1， ∴ab≤
=
当且仅当a=b=时取等号， 故ab的最大值是 故答案为：
【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题．
17．【答案】 10 cm
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【解析】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A关于茶杯口的对称点为A′， 则A′A=4cm，BC=6cm，∴A′C=8cm， ∴A′B=
=10cm．
故答案为：10．
【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决．
18．【答案】 a≤﹣1 ．
2
【解析】解：由x﹣2x﹣3≥0得x≥3或x≤﹣1，
2
若“x＜a”是“x﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件，
则a≤﹣1， 故答案为：a≤﹣1．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件求出不等式的等价是解决本题的关键．
三、解答题
19．【答案】（1）x??1（2）①??1,???，②6
【解析】试题
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2?3x?1x?3，化简得3??3x??2?3x?1?0 解析：（1）由题意，x?13?11xx解得3??1?舍?或3?，
3所以x??1
?3x?a?3x?a?x?1?0 （2）因为f?x?是奇函数，所以f??x??f?x??0，所以?x?13?b3?bx?x化简并变形得：?3a?b??3?3??2ab?6?0
要使上式对任意的x成立，则3a?b?0且2ab?6?0 解得：{a?1a??1a??1或{ ，因为f?x?的定义域是R，所以{ 舍去 b?3b??3b??3?3x?1所以a?1,b?3，所以f?x??x?1
3?3?3x?11?2?①f?x??x?1???1?x?
3?33?3?1?对任意x1,x2?R,x1?x2有：
1?22?2?3x2?3x1f?x1??f?x2???x1?x2???3?3?13?1?3?3x1?13x2?1?xx因为x1?x2，所以32?31?0，所以f?x1??f?x2?，
?????? ??因此f?x?在R上递减．
2222因为ft?2t?f2t?k，所以t?2t?2t?k，
????2即t?2t?k?0在
时有解
所以??4?4t?0，解得：t??1， 所以的取值范围为??1,???
1?x3?x?3xx②因为f?x????g?x??2???33?3，所以g?x??3fx?2
????即g?x??3?3
x?x所以g?2x??32x?3?2x?3x?3?x不等式g?2x??m?g?x??11恒成立， 即3x?3?x??2?2
??2?2?m?3x?3?x?11，
9恒成立
3x?3?x??x?x即：m?3?3?第 12 页，共 16 页
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令t?3x?3?x,t?2，则m?t?令h?t??t?9在t?2时恒成立 t99，h'?t??1?2， ttt??2,3?时，h'?t??0，所以h?t?在?2,3?上单调递减
所以h?t?min?h?3??6，所以m?6 所以，实数m的最大值为6
考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题
【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。 20．【答案】
【解析】
t??3,???时，h'?t??0，所以h?t?在?3,???上单调递增
【专题】计算题；直线与圆；坐标系和参数方程． 简曲线C2的参数方程为普通方程； 股定理，即可得到最小值．
22
可化为直角坐标方程x+y﹣2x+4y+4=0， 22
即圆（x﹣1）+（y+2）=1；
【分析】（Ⅰ）运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，即可得到曲线C1的直角坐标方程，再由代入法，即可化
（t为参数），
（Ⅱ）可经过圆心（1，﹣2）作直线3x+4y﹣15=0的垂线，此时切线长最小．再由点到直线的距离公式和勾
2
【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C1的方程为ρ﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，
曲线C2的参数方程为
可化为普通方程为：3x+4y﹣15=0．
（Ⅱ）可经过圆心（1，﹣2）作直线3x+4y﹣15=0的垂线，此时切线长最小． 则由点到直线的距离公式可得d=则切线长为
=
．
．
=4，
故这条切线长的最小值为
【点评】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程、普通方程的互化，考查直线与圆相切的切线长问题，考查运算能力，属于中档题． 21．【答案】
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【解析】解：（1）根据题意，点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中，即在如图的正方形区域， 其中p、q都是整数的点有6×6=36个，
点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，即x、y都是整数，且1≤x≤3，1≤y≤3， （3，2），（3，3），有9个点， 所以点M（x，y）落在上述区域的概率P1=
；
点M（x，y）落在上述区域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），
（2）|p|≤3，|q|≤3表示如图的正方形区域，易得其面积为36；
2222
若方程x+2px﹣q+1=0有两个实数根，则有△=（2p）﹣4（﹣q+1）＞0， 22
解可得p+q≥1，为如图所示正方形中圆以外的区域，其面积为36﹣π， 22
即方程x+2px﹣q+1=0有两个实数根的概率，P2=
．
【点评】本题考查几何概型、古典概型的计算，解题时注意区分两种概率的异同点．
22．【答案】
222
【解析】（1）∵ρsinθ=4cosθ，∴ρsinθ=4ρcosθ，…
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，
2
∴曲线C的直角坐标方程为y=4x …
（2）∵直线l过点P（2，﹣1），且倾斜角为45°．∴l的参数方程为
22
代入 y=4x 得t﹣6
（t为参数）．…
t﹣14=0…
设点A，B对应的参数分别t1，t2 ∴t1t2=﹣14… ∴|PA|?|PB|=14．…
23．【答案】
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【解析】（Ⅰ）解：设点E（t，t），∵B（0，﹣1），∴A（2t，2t+1）， ∵点A在椭圆C上，∴
2
整理得：6t+4t=0，解得t=﹣或t=0（舍去），
，
∴E（﹣，﹣），A（﹣，﹣）， ∴直线AB的方程为：x+2y+2=0； （Ⅱ）证明：设P（x0，y0），则
，
直线AP方程为：y+=（x+），
联立直线AP与直线y=x的方程，解得：xM=直线BP的方程为：y+1=
，
，
，
联立直线BP与直线y=x的方程，解得：xN=∴OM?ON==2?|
|xM|
|xN| |?|
|
=||
=||
=|=．
|
【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
24．【答案】
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222222
【解析】解：（Ⅰ）∵b+c=a+bc，即b+c﹣a=bc，
∴cosA=
又∵A∈（0，π）， ∴A=
；
=，
（Ⅱ）∵cosB=∴sinB=
，B∈（0，π）， =
，
由正弦定理=，得a===3．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．
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