南工程 概率论试卷2

05/06学年概率统计试卷B

一、单项选择题(每小题3分,共18分)

1. 设P(A)=0.8, P(B)=0.7, P(A/B)=0.8, 则下列式子中正确的是 ( ) (A) 事件A与B相互独立;(B) 事件A与B互斥; (C). B  A ; (D) P(A∪B)=P(A)+P(B). 2.. 在1、2、3、4、5中, 不放回地抽取两个数, 一次一个, 则第二次取到奇数的概率为 ( ) (A).

3; 4 (B).

3; 5 (C).

4; 5 (D).

3. 10

( )

2ex,x0, 3. 设随机变量X的概率密度为f(x), 则常数 =

0,x0,

(A). 9; (B). 1; (C). 2; (D) 3.

4. 已知相互独立的随机变量X与Y的方差分别为D(X) = 2, D(Y) = 1, 则D(X  2Y ) = ( )

(A). 3; (B). 0; (C). 6; (D). 9. 5. 对于任意两个随机变量X和Y, 若E(XY) = E(X)E(Y), 则有 ( ) (A) X和Y独立; (B) X和Y不独立; (C) D(XY)=D(X)D(Y); (D) D(X+Y)=D(X)+D(Y). 6. 设X1、X2、…、X9是正态总体N(0, 4)的样本, 则在下列各式中正确的是 ( ) 1(A)

4i19Xi2~(9);

21(B)

4i19Xi21~(8); (C)

22i19Xi21~(9); (D)

22Xi192i~2(8).

二、填空题(每空2分,共20分)

132, P(B), P(B/A), 则P(A/B) , P(A∩B) = .

324 2. 设X的分布列为

X 0 2 2 1 111 a 概率 448则a = ; E(X) . 1. 已知P(A) 3. 已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)＝A＋Barctanx, 则A = , B = .

4. 设X1、X2、…、Xn为总体X的一个样本, E(X) = μ, D(X) = σ2, X为样本均值, 则有E(X)= , D(X)= .

2 5. 设总体X~N(0,1), X1、X2、…、Xn为X的一个样本, 则X12X2~ ,

n1X1Xi2n~ . 2i三、(8分)设 a、b、c三元件安置在如图所示的线路中, 各元件发生故障与否是相互独立的, 且概率分别为 0.3, 0.2, 0.1. 求该线路由于元件发生故障而中断的概率. b 四、(8分) 甲袋中装有3个白球, 5个红球, 乙袋中装有4个白 球, 2个红球, 从甲袋中任取2个球放入乙袋, 然后再从乙袋中 任取一球, 求这个球是白球的概率.

c,2五、(10分) 设随机变量X的密度函数为f(x)1x0,x1,x1,a c

其中c为待定常数. 求:

(1)常数c的值;

11(2) X落入(,)内的概率.

22

六、(8分) 一复杂的系统由n个相互独立起作用的部件所组成, 每个部件的可靠性为0.90, 且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统正常工作, 问n至少为多大时才能使系统的可靠性不低于0.95? ((1.64)0.95, (1.96)0.975, (1.33)0.9082)

Ae(2x3y),x0,y0,七、(12分) 设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度函数为f(x,y) 求:

0,其它.(1) 常数A; (2) 概率P{(X, Y)D}, 其中D为三角行区域: x  0, y  0, 2x + 3y  6; (3) X与Y是否相互独

立.

八、(8分) 设总体X具有分布律

X pk 1 2 2 (1 ) 3 2 (1)2 其中 (0 <  < 1)为未知参数. 已知取得了样本值x11,x22,x31. 试求 的矩估计值和最大似然估计值.

九、 (8分) 证明: 样本均值与样本方差都是总体均值与总体方差的无偏估计量.

南京工程学院(05/06)概率统计试卷(B)解答

三、单项选择题(本大题分6小题, 每小题3分, 共18分) 1. A ; 2.B ; 3. C ; 4.C ; 5. D ; 6. A. 二、填空题(本大题分5小题, 每空2分, 共20分)

411. , ;

93312. , ;

28113. , ;

224. , ; 5. 2(2), t (n  1).

n三、解: 设A、B、C分别表示元件a、b、c发生故障, (1分)则线路中断可表示为A∪(BC), (3分) 所以所求概率为P{ A∪(BC)}== P(A) + P(BC)  P(ABC) (2分)= 0.3 + 0.02  0.006 = 0.314. (2分) 四、解:设A1 = {从甲袋取两个红球}, A2 = {从甲袋取一个红球, 一个白球}, A3 = {从甲袋中取两个白球}, B = {从乙袋中取一个白球}, 则

112C5C3C320306, (1分)P(A2), (1分), (1分) P(A1)2P(A)322565656C8C8C82C5由全概率公式得所求概率为

P(B)P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+P(A3)P(B/A3)(3分)=

20430566133. (2分) =

568568568224五、解: (1) 由

f(x)dx1(3分)得

121211c1x2dxcarcsinx1(2分)=  c = 1, 所以, c

1211

.(1分)

11(2) 所求概率为P{X)=

2211x2dx(2分)=

1arcsinx1=. (2分) 132六、解: 设X表示正常工作的部件数, 则由中心极限定理知

Xnpnp(1p)0.8nnpnp(1p)近似服从N(0, 1), (3分)其中 p = 0.9,

因此, 根据已知条件, 有P{X  0.8n}= P{ 0.8n  X  n}=P{0.1n0.3nX0.9n0.3n0.1n0.3nXnpnp(1p)nnpnp(1p)}(2分)

=P{}=(1111n)(n)=2(n)1 0.95, (2分)即(n)0.975. 33331n1.96, n  34.57. (1分)所以当n至少为35时才能使系统的可靠性不低于0.95. 3七、解: (1) 由

0f(x,y)dxdy1(2分)得

Ae2xdx0e3y11Ady=A(e2x)(e3y)=1, 故A= 6.(2分)

23600(2) 所求概率为P{(X, Y)D}f(x,y)dxdy(2

D分) 6eD(2x3y)dxdy=630e2xdx1(62x)3e3ydy0=

17e6.(2分)

6(3) 关于X的边缘概率密度为fX(x)02xe(2x3y)dy,x0,2e,x0,= (2分)

x0.0,x00,6关于Y的边缘概率密度为fY(x)0e(2x3y)dx,0,y0,3e2y, =0,y0y0, (1分) y0.因为f(x,y)fX(x)fY(y), 所以X与Y相互独立. (1分)

八、解: 总体X的数学期望为E(X)24(1)3(1)2= 3  2. (2分) 又x令324, 3

4ˆ5.(1分) (1分)解得未知参数 的矩估计值为36似然函数为L()P(X11,X22,X31)=P(X11)P(X22)P(X31). 故

L()22(1)2=25(1), lnL()ln25lnln(1)(2分)

dlnL51dlnLˆ5.(1分) . 令0, (1分)解得 的最大似然估计值为d1d6

九、解: 设X1、X2、…、Xn是总体X的一个样本, E(X) =  , D(X)2, 则

1样本均值Xn1因为E(X)E(n1E(S)E(n12i1n1Xi, 样本方差Sn12(XX)ii1n2(2分)

i1nn1Xi)ni12nE(Xi)1n= ; (2分) nnn221122(XXi))=E((XinX))=(E(Xi)nE(X))

n1i1n1i1i1n1222=(()n(2))=2. (4分) n1i1n所以, 样本均值与样本方差都是总体均值与总体方差的无偏估计量.